2. Algèbre ECG2-Appro (Août 2024)

Si \( P \) et \( Q \) sont deux polynômes de degré \( n \) alors (plusieurs réponses possibles) :

Soit \( P \) un polynôme à coefficients réels. Le reste de la division euclidienne de \( P \) par le polynôme \( (X-1)(X-2) \) est :

Si \( \lambda \) est racine d’ordre \( 3 \) de \( P \) alors \( P^{(3)}(\lambda) = 0 \).

L’ordre de multiplicité de la racine \( -2 \) pour le polynôme \( (X^2-4)^3(X^2+4X+4) \) est

Compléter les valeurs manquantes.

Si \( P \) est un polynôme appartenant à \( \mathbb{R}_n[x] \) alors :
\[
\forall x\in \mathbb{R},\ P(x) = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(a)}{u_k}\, x^k
\]

On considère le système linéaire suivant, d’inconnue \( (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \) :
\[
(S) : \begin{cases}
x+y+z=0\\
x-y+2z=0 \\
2x +4y +z=0
\end{cases}
\]

Soit \( a,b,c,d \) des réels fixés. On considère le système suivant, d’inconnue \( (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) :
\[
\begin{cases}
ax + by = -1 \\
cx+dy = 2
\end{cases}
\]

Ce système a une unique solution si et seulement si :

Soit \( a \) un réel fixé. On considère le système suivant, d’inconnue \( (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \) :
\[
(S) : \begin{cases}
-x+y+z = -1 \\
2x + \left( a-1 \right) y – z = 2a+2 \\
x +ay – 2z = 3
\end{cases}
\]

Quelles sont les affirmations vraies ?

On considère les matrices
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
2 & 0& -1\\
1 & 1& 1
\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1\\
3 & -1 &0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui sont exactes.

On note :
\[
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1& 0\\
1 & 0& 0
\end{pmatrix}
\]

Quelles sont les affirmations correctes ?

On considère la matrice
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1& 1\\
0 & 0& 1
\end{pmatrix}
\]

Soit \( n \in \mathbb{N} \). Il existe trois réels \( a_n \) et \( b_n \) tels que :
\[
A^n = \begin{pmatrix}
a_n & 0 & b_n \\
0 & a_n & c_n \\
0 & 0& a_n
\end{pmatrix}
\]

Compléter les valeurs manquantes :

La matrice \( M = \begin{pmatrix}
-1 & 1\\
2 & 1
\end{pmatrix} \) est inversible.

Si \( A \) est inversible, alors \( {}^t \! A \) est inversible.

Soit \( A \) une matrice carrée d’ordre \( n \). Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui sont vraies.

On note \( E = \{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4,\ x-y+z+t = 2x+y-t=0 \} \).

Quelles sont les affirmations exactes ?

Si \( F \) et \( G \) sont deux-espaces vectoriels de dimensions finies et si \( f \) est une application linéaire de \( F \) dans \( G \) alors :

Soit \( f \) l’application de \( \mathbb{R}^3 \) dans \( \mathbb{R}^2 \) définie par :
\[
\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3,\ f(x,y,z) = ( x+y-z, x-y+z )
\]

Indiquer les affirmations correctes.

Soit \( E \) un espace vectoriel admettant pour base \( \mathcal{B} = (e_1,e_2,e_3) \) et \( f \) l’endomorphisme de \( E \) dont la matrice dans la base \( \mathcal{B} \) est
\[
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
0 & -1 & 2\\
0 & 0 &3
\end{pmatrix}
\]

Indiquer les affirmations exactes.

On note :
\[
E= \left\lbrace \begin{pmatrix}
1 & a & b\\
a & 1 & b\\
b & a & 1
\end{pmatrix},\ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace
\]

\( E \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathcal{M}_3( \mathbb{R}) \).

Soit \( E \) un espace vectoriel, de dimension finie, et \( F, G \) deux sous-espaces vectoriels de \( E \) tels que :
\[
\mathrm{dim}( F) + \mathrm{dim}( G ) = \mathrm{dim}( E )
\]

\( F \) et \( G \) sont supplémentaires dans \( E \).