Comment calculer la probabilité d’une union d’événements ?
Une méthode pour calculer efficacement \(\mathbb{P} \!\left(\bigcup A_i\right)\) selon la structure des événements.
Le calcul de la probabilité d’une union d’événements apparaît très fréquemment en probabilités. Selon la nature des événements considérés (disjonction, indépendance, nombre d’événements, structure infinie), la méthode de calcul varie fortement.
Le but de cette méthode est d’identifier rapidement la bonne stratégie afin d’éviter les erreurs classiques et les calculs inutiles.
Les questions réflexes
Pour calculer \(\mathbb{P} \! \left(\bigcup A_i\right)\), on se pose systématiquement les questions suivantes.
Les événements sont-ils deux à deux disjoints ?
Démarche
Lorsqu’on cherche à calculer la probabilité d'une union, comme \(\mathbb{P}\! \left(\bigcup_{i\in I} A_i\right)\), le premier réflexe est de vérifier si les événements de la famille \((A_i)_{i\in I}\) sont deux à deux disjoints (ou incompatibles deux à deux, ce qui revient à dire que \( A_i \) et \( A_j \) ne peuvent se réaliser simultanément si \( i \neq j \)).
Si c’est le cas, l’union correspond à une « somme » de cas qui ne peuvent pas se produire simultanément, et on a alors :
\[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right)=\sum_{i\in I}\mathbb{P}(A_i). \]
Erreur classique. Confondre « disjoints » et « indépendants ». Des événements disjoints ne sont pas indépendants (sauf cas triviaux).
Union d’événements disjoints
Dire que des événements sont deux à deux disjoints signifie que deux quelconques de ces événements ne peuvent pas se produire simultanément.
Mathématiquement, cela signifie :
\[ \forall i \neq j,\quad A_i \cap A_j=\varnothing. \]
Si \((A_i)_{i\in I}\) est une famille d’événements deux à deux disjoints, alors :
\[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right)=\sum_{i\in I}\mathbb{P}(A_i). \]
Réflexe. Lorsque les événements ne peuvent pas se produire simultanément, la probabilité de leur union est la somme de leurs probabilités.
Exemple
On effectue \(n\) lancers indépendants d’un dé équilibré à six faces. On cherche la probabilité que tous les lancers donnent le même résultat.
Pour \(k \in \{1,2,3,4,5,6\}\), on note \(A_k\) l’événement « tous les lancers donnent le résultat \(k\) ».
L’événement étudié s’écrit :
\[ A=\bigcup_{k=1}^{6} A_k. \]
Les événements \(A_1,\dots,A_6\) sont deux à deux disjoints, car tous les lancers ne peuvent pas être simultanément égaux à deux valeurs différentes, donc :
\[ \mathbb{P}(A)=\sum_{k=1}^{6}\mathbb{P}(A_k). \]
Calculons \(\mathbb{P}(A_k)\). L’événement \(A_k\) correspond à obtenir le résultat \(k\) à chacun des \(n\) lancers.
Comme les \(n\) lancers sont indépendants et comme, à chaque lancer, la probabilité d’obtenir le numéro \(k\) vaut \(\dfrac{1}{6}\), on obtient :
\[ \mathbb{P}(A_k)=\left(\frac{1}{6}\right)^n. \]
Donc :
\[ \mathbb{P}(A)=6 \times \left(\frac{1}{6}\right)^n=6^{1-n}. \]
L’union porte-t-elle sur deux événements ?
Démarche
Lorsque l’union porte sur deux événements \(A\) et \(B\), et si \(A\) et \(B\) ne sont pas disjoints, on utilise la formule générale :
\[ \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B). \]
Cette formule permet d’éviter de compter deux fois les cas où \(A\) et \(B\) se réalisent simultanément.
Elle s’applique toujours, quels que soient les événements \(A\) et \(B\).
Erreur classique. Oublier le terme \(\mathbb{P}(A \cap B)\) ou supposer à tort que les événements sont disjoints.
Union de deux événements
Pour tous événements \(A\) et \(B\), on a :
\[ \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B). \]