• On dit que la suite $u$ est croissante si : $\forall n \in\mathbb{N},\ u_n \leqslant u_{n+1}$
• On dit que la suite $u$ est décroissante si : $\forall n \in\mathbb{N},\ u_n \geqslant u_{n+1}$
• On dit que la suite $u$ est monotone si elle est croissante ou décroissante

On dit que la suite $u$ est arithmétique de raison $a$ si : $\forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = u_n+a$.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $a\in \mathbb{R}$ et $p$ un entier naturel.

• $\forall n \in\mathbb{N},\ u_n = u_0+na$
• $\forall n\geqslant p,\ u_n=u_p+ \left( n-p \right) a$
• $\displaystyle \forall n\geqslant p,\ \sum_{k=p}^n u_k=\underbrace{(n-p+1)}_{\substack{\text{nb de termes}\\\text{dans la somme}}}\times \underbrace{\frac{u_p+u_n}{2}}_{\substack{\text{valeur moyenne}\\\text{des termes}}}= \left( n-p+1 \right) u_p+\frac{(n-p)(n-p+1)}{2} \, a$

On dit que la suite $u$ est géométrique de raison $q$ si : $\forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = q u_n$.

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle et $q$ un réel.

• $\forall n \in\mathbb{N},\ u_n =u_0 \, q^n$
• $\forall n\geqslant p,\ u_n=u_p \, q^{n-p}$
• $\displaystyle \forall n\geqslant p,\ \sum_{k=p}^n u_k=\begin{cases} \displaystyle \frac{u_p-u_{n+1}}{1-q}=u_p\times \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q} &\text{si } q\neq 1\\ \hfill (n-p+1)u_m \hfill &\text{si } q=1 \end{cases}$

On dit que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est arithmético-géométrique s’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $a \neq 1$ et :

$$\forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = au_n + b$$

L’équation $x=ax+b$, d’inconnue $x$ réelle, admet une unique solution $c=\frac{b}{1-a}$ et la suite $(u_n-c)_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison $a$ ; par conséquent on a :

$$\forall n \in\mathbb{N},\ u_n-c =a^{n} \left( u_0-c \right)$$

et plus généralement, pour tout $p \in \mathbb{N}$ :

$$\forall n \geqslant p,\ u_n-c =a^{n-p} \left( u_p-c \right)$$

On dit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite récurrente linéaire d’ordre $2$ s’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :

$$\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$$

Avec ces notations, l’équation $(E) : x^2 – a x – b = 0$ est appelée équation caractéristique de la suite ; son discriminant est $\Delta = a^2+4b$.

• Si $\Delta > 0$, l’équation $E$ admet deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ et il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que :

$$\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$$

• Si $\Delta = 0$, l’équation $E$ admet une unique solution réelle $r$ et il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que :

$$\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = \left( \lambda + n \mu \right) r^n$$

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle et $\ell$ un réel.

• On dit que la suite $u$ converge vers $\ell$ si :

$$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} ,\ \forall n \geqslant n_\varepsilon,\ \vert u_n – \ell \vert < \varepsilon$$

• On dit que la suite $u$ diverge vers $+\infty$ si :

$$\forall A \in \mathbb{R},\ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} ,\ \forall n \geqslant n_\varepsilon,\ u_n \geqslant A$$

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle et $\ell$ un réel.

La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\ell$ si et seulement si les deux suites $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent vers $\ell$.

Soit $u$ et $v$ deux suites réelles et $L,L’$ deux réels.

• Addition

$$\begin{array}{| l | c | c | c | c |c |c |}\hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L & L & -\infty & +\infty & +\infty \\\hline \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ & -\infty & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty \\\hline \lim\limits_{n\to +\infty} (u_n + v_n) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& L + L’ & -\infty & +\infty & -\infty & +\infty & ? \\\hline \end{array}$$

• Multiplication par un réel

$$\begin{array}{| l | c | c | c |} \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & -\infty & +\infty \\ \hline \text{Si } \lambda>0 \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} \lambda u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \lambda L & -\infty & +\infty \\ \hline \text{Si } \lambda>0 \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} \lambda u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \lambda L & +\infty & -\infty \\ \hline \text{Si } \lambda =0 \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} \lambda u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \lambda L & ? & ? \\ \hline \end{array}$$

• Multiplication

$$\begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | c |} \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L>0 & L<0 & L>0 & L<0 & L=0 & -\infty & +\infty & +\infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ & -\infty &-\infty & +\infty & +\infty & \pm \infty & -\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& L L’ & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty & ? & +\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \end{array}$$

• Quotient (si la suite $v$ ne s’annule pas à partir d’un certain rang)

$$\begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | } \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L & L & -\infty & -\infty & +\infty & +\infty & \pm \infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ \neq 0 & -\infty &+\infty & L’>0 & L'<0 & L’>0 & L'<0 & \pm \infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \dfrac{L}{L’} & 0 & 0 & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty & ? \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | c |} \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L>0 & L>0 & L<0 & L<0 & L=0 & -\infty & -\infty & +\infty & +\infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- & L’=0 & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& +\infty & -\infty & -\infty & +\infty & ? & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \end{array}$$

• Composition par une fonction

Si $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = a \in \mathbb{R}$ et si $f$ est une fonction continue sur un intervalle ouvert contenant $a$ alors :

$$\lim\limits_{n\to +\infty} f(u_n ) = f(a)$$

$$\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} q^n = \begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } -1 < q < 1 \\ \hfill 1 \hfill & \text{si } q = 1 \\ +\infty & \text{si } q>1 \\ \text{n’existe pas} & \text{si } q \leqslant -1 \end{cases}$$

$$\lim\limits_{n\to +\infty} n^\alpha = \begin{cases} +\infty & \text{si } \alpha > 0 \\ \hfill 1 \hfill & \text{si } \alpha = 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si } \alpha < 0 \end{cases}$$

Soit $a,b$ et $q$ trois réels quelconques.

• Si $b>0$, alors : $\lim_{n\to + \infty} \dfrac{(\ln(n))^a}{n^b}=0$
• Si $b>0$, alors : $\lim_{n\to + \infty} \dfrac{n^a}{\mathrm{e}^{bn}}=0$
• Si $q>1$, alors : $\lim_{n\to + \infty} \dfrac{n^a}{q^n}=0$
• $\lim_{n\to + \infty} \dfrac{a^n}{n!}=0$

Soit $u$ et $v$ deux suites réelles telles que :

$$\forall n \in\mathbb{N},\ u_n \leqslant v_n$$

Si les suites $u$ et $v$ convergent, alors : $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n \leqslant \lim\limits_{n\to +\infty} v_n$

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé $I$ de $\mathbb{R}$ telle que $f(I) \subset I$ et $u$ une suite définie par son premier terme $u_0 \in I$ et par la relation $\forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = f(u_n)$.

Si la suite $u$ converge vers $\ell$, alors : $\ell = f(\ell)$.

Toute suite réelle monotone admet une limite, finie ou infinie.

Plus précisément, si $u$ est une suite réelle, alors :

• si $u$ est croissante et majorée, elle converge,
• si $u$ est croissante et non majorée, elle diverge vers $+\infty$,
• si $u$ est décroissante et minorée, elle converge,
• si $u$ est décroissante et non minorée, elle diverge vers $-\infty$.