• On dit que la suite \( u \) est croissante si : \( \forall n \in\mathbb{N},\ u_n \leqslant u_{n+1} \)
• On dit que la suite \( u \) est décroissante si : \( \forall n \in\mathbb{N},\ u_n \geqslant u_{n+1} \)
• On dit que la suite \( u \) est monotone si elle est croissante ou décroissante

On dit que la suite \( u \) est arithmétique de raison \( a \) si : \( \forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = u_n+a \).

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite arithmétique de raison \( a\in \mathbb{R} \) et \( p \) un entier naturel.

• \( \forall n \in\mathbb{N},\ u_n = u_0+na \)
• \( \forall n\geqslant p,\ u_n=u_p+ \left( n-p \right) a \)
• \( \displaystyle \forall n\geqslant p,\ \sum_{k=p}^n u_k=\underbrace{(n-p+1)}_{\substack{\text{nb de termes}\\\text{dans la somme}}}\times \underbrace{\frac{u_p+u_n}{2}}_{\substack{\text{valeur moyenne}\\\text{des termes}}}= \left( n-p+1 \right) u_p+\frac{(n-p)(n-p+1)}{2} \, a \)

On dit que la suite \( u \) est géométrique de raison \( q \) si : \( \forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = q u_n \).

Soit \( (u_n)_{n\in \mathbb{N}} \) une suite réelle et \( q \) un réel.

• \( \forall n \in\mathbb{N},\ u_n =u_0 \, q^n \)
• \( \forall n\geqslant p,\ u_n=u_p \, q^{n-p} \)
• \( \displaystyle \forall n\geqslant p,\ \sum_{k=p}^n u_k=\begin{cases} \displaystyle \frac{u_p-u_{n+1}}{1-q}=u_p\times \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q} &\text{si } q\neq 1\\ \hfill (n-p+1)u_m \hfill &\text{si } q=1 \end{cases} \)

On dit que la suite \( (u_n)_{n\in \mathbb{N}} \) est arithmético-géométrique s’il existe deux réels \( a \) et \( b \) tels que \( a \neq 1 \) et :

\[ \forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = au_n + b \]

L’équation \( x=ax+b \), d’inconnue \( x \) réelle, admet une unique solution \( c=\frac{b}{1-a} \) et la suite \( (u_n-c)_{n\in \mathbb{N}} \) est géométrique de raison \( a \) ; par conséquent on a :

\[ \forall n \in\mathbb{N},\ u_n-c =a^{n} \left( u_0-c \right) \]

et plus généralement, pour tout \( p \in \mathbb{N} \) :

\[ \forall n \geqslant p,\ u_n-c =a^{n-p} \left( u_p-c \right) \]

On dit que la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est une suite récurrente linéaire d’ordre \( 2 \) s’il existe deux réels \( a \) et \( b \) tels que :

\[ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \]

Avec ces notations, l’équation \( (E) : x^2 – a x – b = 0 \) est appelée équation caractéristique de la suite ; son discriminant est \( \Delta = a^2+4b \).

• Si \( \Delta > 0 \), l’équation \( E \) admet deux solutions réelles distinctes \( r_1 \) et \( r_2 \) et il existe deux réels \( \lambda \) et \( \mu \) tels que :

\[ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n \]

• Si \( \Delta = 0 \), l’équation \( E \) admet une unique solution réelle \( r \) et il existe deux réels \( \lambda \) et \( \mu \) tels que :

\[ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n = \left( \lambda + n \mu \right) r^n \]

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite réelle et \( \ell \) un réel.

• On dit que la suite \( u \) converge vers \( \ell \) si :

\[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} ,\ \forall n \geqslant n_\varepsilon,\ \vert u_n – \ell \vert < \varepsilon \]

• On dit que la suite \( u \) diverge vers \( +\infty \) si :

\[ \forall A \in \mathbb{R},\ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} ,\ \forall n \geqslant n_\varepsilon,\ u_n \geqslant A \]

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite réelle et \( \ell \) un réel.

La suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) converge vers \( \ell \) si et seulement si les deux suites \( (u_{2n})_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}} \) convergent vers \( \ell \).

Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles et \( L,L’ \) deux réels.

• Addition

\[ \begin{array}{| l | c | c | c | c |c |c |}\hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L & L & -\infty & +\infty & +\infty \\\hline \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ & -\infty & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty \\\hline \lim\limits_{n\to +\infty} (u_n + v_n) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& L + L’ & -\infty & +\infty & -\infty & +\infty & ? \\\hline \end{array}\]

• Multiplication par un réel

\[ \begin{array}{| l | c | c | c |} \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & -\infty & +\infty \\ \hline \text{Si } \lambda>0 \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} \lambda u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \lambda L & -\infty & +\infty \\ \hline \text{Si } \lambda>0 \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} \lambda u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \lambda L & +\infty & -\infty \\ \hline \text{Si } \lambda =0 \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} \lambda u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \lambda L & ? & ? \\ \hline \end{array} \]

• Multiplication

\[ \begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | c |} \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L>0 & L<0 & L>0 & L<0 & L=0 & -\infty & +\infty & +\infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ & -\infty &-\infty & +\infty & +\infty & \pm \infty & -\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& L L’ & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty & ? & +\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \end{array} \]

• Quotient (si la suite \( v \) ne s’annule pas à partir d’un certain rang)

\[ \begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | } \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L & L & -\infty & -\infty & +\infty & +\infty & \pm \infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ \neq 0 & -\infty &+\infty & L’>0 & L'<0 & L’>0 & L'<0 & \pm \infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \dfrac{L}{L’} & 0 & 0 & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty & ? \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | c |} \hline \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L>0 & L>0 & L<0 & L<0 & L=0 & -\infty & -\infty & +\infty & +\infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} v_n = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- & L’=0 & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& +\infty & -\infty & -\infty & +\infty & ? & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \end{array} \]

• Composition par une fonction

Si \( \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = a \in \mathbb{R} \) et si \( f \) est une fonction continue sur un intervalle ouvert contenant \( a \) alors :

\[ \lim\limits_{n\to +\infty} f(u_n ) = f(a) \]

\[ \displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} q^n = \begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } -1 < q < 1 \\ \hfill 1 \hfill & \text{si } q = 1 \\ +\infty & \text{si } q>1 \\ \text{n’existe pas} & \text{si } q \leqslant -1 \end{cases} \]

\[ \lim\limits_{n\to +\infty} n^\alpha = \begin{cases} +\infty & \text{si } \alpha > 0 \\ \hfill 1 \hfill & \text{si } \alpha = 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si } \alpha < 0 \end{cases} \]

Soit \( a,b \) et \( q \) trois réels quelconques.

• Si \( b>0 \), alors : \( \lim_{n\to + \infty} \dfrac{(\ln(n))^a}{n^b}=0 \)
• Si \( b>0 \), alors : \( \lim_{n\to + \infty} \dfrac{n^a}{\mathrm{e}^{bn}}=0 \)
• Si \( q>1 \), alors : \( \lim_{n\to + \infty} \dfrac{n^a}{q^n}=0 \)
• \( \lim_{n\to + \infty} \dfrac{a^n}{n!}=0 \)

Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles telles que :

\[ \forall n \in\mathbb{N},\ u_n \leqslant v_n \]

Si les suites \( u \) et \( v \) convergent, alors : \( \lim\limits_{n\to +\infty} u_n \leqslant \lim\limits_{n\to +\infty} v_n \)

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle fermé \( I \) de \( \mathbb{R} \) telle que \( f(I) \subset I \) et \( u \) une suite définie par son premier terme \( u_0 \in I \) et par la relation \( \forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = f(u_n) \).

Si la suite \( u \) converge vers \( \ell \), alors : \( \ell = f(\ell) \).

Toute suite réelle monotone admet une limite, finie ou infinie.

Plus précisément, si \( u \) est une suite réelle, alors :

• si \( u \) est croissante et majorée, elle converge,
• si \( u \) est croissante et non majorée, elle diverge vers \( +\infty \),
• si \( u \) est décroissante et minorée, elle converge,
• si \( u \) est décroissante et non minorée, elle diverge vers \( -\infty \).