Une semaine, un classique

On cherche les réels \(\lambda\) tels que \(\det(A-\lambda I_2)=0\).

\[ \det(A-\lambda I_2)=\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda&3\\3&1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2-9 \]

\[ (1-\lambda)^2-9=0 \iff (1-\lambda)=3 \ \text{ ou }\ (1-\lambda)=-3 \]

\[ \lambda_1=4 \qquad \lambda_2=-2 \]

Sous-espace propre associé à \(\lambda_1=4\).

\[ A-4I_2=\begin{pmatrix}-3&3\\3&-3\end{pmatrix} \]

Résoudre \((A-4I_2)\binom{x}{y}=0\) donne \(x=y\). Donc

\[ E_{4}=\mathrm{Vect}\!\left(\binom{1}{1}\right) \]

Sous-espace propre associé à \(\lambda_2=-2\).

\[ A+2I_2=\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix} \]

Résoudre \((A+2I_2)\binom{x}{y}=0\) donne \(x=-y\). Donc

\[ E_{-2}=\mathrm{Vect}\!\left(\binom{1}{-1}\right) \]

Les valeurs propres \(4\) et \(-2\) sont distinctes, donc \(A\) est diagonalisable.

Comme \(X\) et \(Y\) prennent leurs valeurs dans \(\[\!\[1,n]\!\]\), la variable aléatoire \(S=X+Y\) prend ses valeurs dans \(\[\!\[2,2n]\!\]\).

Soit \(k\in\[\!\[2,2n]\!\]\). Le système \(\big([X=i]\big)_{1\le i\le n}\) est un système complet d’événements, donc, d’après la formule des probabilités totales :

\[ \begin{align*} \mathbb{P}(X+Y=k) &=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}\big([X=i]\cap[X+Y=k]\big)\\ &=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}\big([X=i]\cap[Y=k-i]\big) \end{align*} \]

Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, on obtient :

\[ \forall k\in\[\!\[2,2n]\!\],\quad \mathbb{P}(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(X=i)\,\mathbb{P}(Y=k-i) \]

De plus \(Y\) prend ses valeurs dans \(\[\!\[1,n]\!\]\), donc \(\mathbb{P}(Y=k-i)=0\) si \(k-i<1\) ou \(k-i>n\), c’est-à-dire si \(i>k-1\) ou \(i<k-n\). On distingue alors deux cas.

• Si \(2\le k\le n+1\). On a \(k-n\le 1\), donc les seuls termes nuls correspondent à \(i>k-1\), d’où

  \[ \begin{align*} \mathbb{P}(X+Y=k) &=\sum_{i=1}^{k-1}\mathbb{P}(X=i)\,\mathbb{P}(Y=k-i)\\ &=\sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n} =\frac{k-1}{n^2} \end{align*} \]

• Si \(n+1\le k\le 2n\). Les seuls termes non nuls correspondent à \(i\ge k-n\), donc

  \[ \begin{align*} \mathbb{P}(X+Y=k) &=\sum_{i=k-n}^{n}\mathbb{P}(X=i)\,\mathbb{P}(Y=k-i)\\ &=\sum_{i=k-n}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n} =\frac{2n-k+1}{n^2} \end{align*} \]

On a finalement :

\[ \forall k\in\{2,\dots,2n\},\quad \mathbb{P}(S=k)= \begin{cases} \dfrac{k-1}{n^2} & \text{si } 2\le k\le n+1\\[4pt] \dfrac{2n+1-k}{n^2} & \text{si } n+1\le k\le 2n \end{cases} \]

import numpy.random as rd

p = float(input("Donner p : "))
a = float(input("Donner a : "))

X = rd.geometric(p)
Y = rd.poisson(a)

print(X + Y)

La commande rd.geometric(p) simule une variable aléatoire géométrique de paramètre \(p\) (à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\)) et rd.poisson(a) simule une variable aléatoire de Poisson de paramètre \(a\) (à valeurs dans \(\mathbb{N}\)).