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Simulation de lois continues usuelles

Le module numpy.random permet de simuler directement des variables aléatoires à densité suivant les lois usuelles, sans avoir à modéliser explicitement l’expérience aléatoire correspondante.

Simulation d’une variable aléatoire de loi usuelle

On peut notamment simuler :

• une loi uniforme sur [0,1[ à l’aide de rd.random,
• une loi exponentielle à l’aide de rd.exponential,
• une loi normale à l’aide de rd.normal,
• une loi gamma à l’aide de rd.gamma (option maths approfondies uniquement).

On rappelle ci-dessous les paramètres de chacune de ces fonctions.

• rd.random() permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0,1[.
• rd.exponential(a) permet de simuler une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \( \dfrac{1}{a} \). Le paramètre a correspond donc à l’espérance de la variable aléatoire simulée.
• rd.normal(m,s) permet de simuler une variable aléatoire suivant une loi normale \( \mathcal{N}(m,s^2) \). Le paramètre m est l’espérance et s l’écart-type.
• rd.gamma(a,1) permet de simuler une variable aléatoire suivant une loi gamma \( \gamma(a) \).

Dans chacun des cas précédents, la fonction renvoie une seule réalisation de la variable aléatoire considérée.

Par exemple, l’instruction

X = rd.normal(0,1)

renvoie une simulation d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

De même, l’instruction

Y = rd.exponential(2)

renvoie une simulation d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle d’espérance 2.

Simulation de plusieurs variables aléatoires indépendantes

Les fonctions de numpy.random permettent également de simuler plusieurs réalisations indépendantes d’une même variable aléatoire en une seule instruction. Pour cela, on ajoute un second paramètre indiquant le nombre de réalisations souhaitées.

X = rd.loi(parametres, n)

où loi est à remplacer par l’une des lois précédentes (random, exponential, normal, gamma) et parametres par les paramètres adéquats.

La variable X est alors un tableau numpy contenant n réalisations indépendantes de la variable aléatoire considérée.

On peut également demander une matrice contenant des réalisations indépendantes en fournissant un couple de dimensions :

X = rd.loi(parametres, [n,p])

Dans ce cas, X est une matrice de taille n × p dont les coefficients sont des réalisations indépendantes de la même variable aléatoire.

X = rd.normal(0,1,1000)

La variable X est alors un tableau contenant 1000 réalisations indépendantes d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

import numpy as np
import numpy.random as rd

N = 200000
X = rd.normal(0, 1, N)

Y=np.abs(X) 

print(np.mean(Y <= 1.96))