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Simulation de lois discrètes usuelles

Le module numpy.random permet de simuler directement des variables aléatoires discrètes suivant les lois usuelles, sans avoir à modéliser explicitement l’expérience aléatoire correspondante.

Simulation d’une variable aléatoire de loi usuelle

On peut notamment simuler :

• une loi uniforme discrète à l’aide de rd.randint,
• une loi binomiale à l’aide de rd.binomial,
• une loi géométrique à l’aide de rd.geometric,
• une loi de Poisson à l’aide de rd.poisson.

On rappelle ci-dessous les paramètres de chacune de ces fonctions.

• rd.randint(a,b+1) permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme discrète sur l’ensemble des entiers compris entre a et b inclus, où a et b sont deux entiers tels que a ≤ b.
• rd.binomial(n,p) permet de simuler une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Le paramètre n correspond au nombre d’épreuves indépendantes, et p à la probabilité de succès d’une épreuve.
• rd.geometric(p) permet de simuler une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p. La valeur renvoyée correspond au rang d’apparition du premier succès dans une suite d’épreuves indépendantes de probabilité de succès p.
• rd.poisson(lam) permet de simuler une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre lam.

Dans chacun des cas précédents, la fonction renvoie une seule réalisation de la variable aléatoire considérée.

Par exemple, l’instruction

X = rd.binomial(n,p)

renvoie une simulation d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p.

De même, l’instruction

Y = rd.geometric(p)

renvoie une simulation d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p, c’est-à-dire le rang du premier succès dans une suite d’épreuves indépendantes de probabilité de succès p.

Simulation de plusieurs variables aléatoires indépendantes

Les fonctions de numpy.random permettent également de simuler plusieurs réalisations indépendantes d’une même variable aléatoire en une seule instruction. Pour cela, on ajoute un second paramètre indiquant le nombre de réalisations souhaitées.

X = rd.loi(parametres, n)

où loi est à remplacer par l’une des lois précédentes (binomial, geometric, poisson, randint) et parametres par les paramètres adéquats.

La variable X est alors un tableau numpy contenant n réalisations indépendantes de la variable aléatoire considérée.

On peut également demander une matrice contenant des réalisations indépendantes en fournissant un couple de dimensions :

X = rd.loi(parametres, [n,p])

Dans ce cas, X est une matrice de taille n × p dont les coefficients sont des réalisations indépendantes de la même variable aléatoire.

X = rd.poisson(lam,1000)

La variable X est alors un tableau contenant 1000 réalisations indépendantes d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre lam.

import numpy.random as rd

N = 10000
n = 0

for k in range(N):
    X = rd.binomial(10, 0.3)
    if X >= 4:
        n += 1

print(n / N)