Soit $u$ une suite réelle. On suppose que les suites $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N} }$ et $(u_{3n})_{n \in \mathbb{N} }$ convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell ‘$.

Indiquer les affirmations vraies.

$\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} \frac{1-3n}{n+5} =$

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a \neq 1$ et $u$ une suite vérifiant :
$$\forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = a u_n + b$$

Soit $u,v,w$ trois suites vérifiant :
$$\forall n \in\mathbb{N},\ u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$$

et :
$$\begin{align*} & \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = -1 \\ & \lim\limits_{n\to +\infty} w_n = 1 \end{align*}$$

$\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}$

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note :
$$\begin{align*} & u_n = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} \\ & v_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \end{align*}$$

Soit $u$ une suite réelle telle que $u_0 \in \mathbb{R}_+$ et :
$$\forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = \frac{1+u_n^2}{2}$$

Si les suites $u$ et $v$ convergent, alors la suite $u+v$ converge.

Si la suite $u + v$, alors les suites $u$ et $v$ convergent.

Soit $u$ et $v$ deux suites réelles telles que :
$$\forall n \in\mathbb{N},\ 0 \leqslant u_n \leqslant v_n$$

Si la suite $v$ converge alors la suite $u$ converge également.