15 minutes de Python

Rappels fondamentaux

Dans le module numpy.random (souvent importé sous le nom rd), on dispose de fonctions permettant de générer des nombres aléatoires. Ces fonctions sont à la base de la simulation d’expériences aléatoires en Python.

• La commande U = rd.random() renvoie un nombre réel U choisi uniformément dans l’intervalle \( [0,1[ \). Autrement dit, tout sous-intervalle de \( [0,1[ \) de même longueur a la même probabilité d’être atteint.
• La commande rd.randint(a,b) renvoie un entier choisi uniformément dans l’ensemble \( \{a,a+1,\dots,b-1\} \). Attention : dans numpy.random, la borne supérieure b est exclue.

Simuler une expérience aléatoire consiste à remplacer un phénomène aléatoire réel (par exemple un tirage de boule, un lancer de dé, un choix au hasard) par une règle simple appliquée à un nombre aléatoire généré par l’ordinateur.

Par exemple, comme la probabilité que la valeur renvoyée par un appel de rd.random() appartienne à l’intervalle \( [0,\tfrac13[ \) est égale à \( \tfrac13 \), on peut simuler le tirage d’une boule dans une urne contenant un tiers de boules rouges et deux tiers de boules vertes de la manière suivante :

import numpy.random as rd

U = rd.random()
if U < 1/3:
    couleur = "rouge"
else:
    couleur = "verte"

Dans ce code :

• un nombre est choisi au hasard dans \( [0,1[ \),
• un nombre strictement inférieur à \( \tfrac13 \) correspond à une boule rouge,
• un nombre supérieur ou égal à \( \tfrac13 \) correspond à une boule verte.

On peut de la même manière utiliser rd.randint pour simuler des tirages discrets. Par exemple, pour simuler le lancer d’un dé équilibré à six faces :

import numpy.random as rd

X = rd.randint(1,7)

Ici, la variable X prend l’une des valeurs \( 1,2,3,4,5,6 \) avec la même probabilité, ce qui correspond exactement au modèle mathématique d’un dé équilibré.

La loi des grands nombres affirme que, lorsque l’on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire indépendante, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche de sa probabilité théorique.

En pratique, pour déterminer une valeur approchée de la probabilité \( \mathbb{P}(A) \) d'un événement \( A \) avec Python, on procède donc ainsi :

• on répète l’expérience un grand nombre de fois (par exemple \( N = 10\,000 \)),
• on compte le nombre de fois où l'événement \( A \) s'est réalisé à l'aide d'un compteur compteur / N,
• on renvoie la fréquence compteur / N.

import numpy.random as rd

N = 10000
compteur = 0

for i in range(N):
    if rd.randint(6) == rd.randint(6):
        compteur = compteur + 1

estimation = compteur / N
print(estimation)

Plus la valeur de N est grande, plus l’estimation obtenue est proche de la probabilité théorique recherchée.

import random as rd

N = int(input("N = "))
compteur = 0

for k in range(N):
    U = rd.random()
    if U < 1/2:
        compteur += 1

print(compteur)