LPA ECG1-Quiz 7 (Suites)

Soit \( u \) une suite réelle. On suppose que les suites \( (u_{2n})_{n \in \mathbb{N} } \) et \( (u_{3n})_{n \in \mathbb{N} } \) convergent respectivement vers \( \ell \) et \( \ell ‘ \).

Indiquer les affirmations vraies.

\( \displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} \frac{1-3n}{n+5} = \)

Soit \( a \) et \( b \) deux réels tels que \( a \neq 1 \) et \( u \) une suite vérifiant :
\[
\forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = a u_n + b
\]

Soit \( u,v,w \) trois suites vérifiant :
\[
\forall n \in\mathbb{N},\ u_n \leqslant v_n \leqslant w_n
\]

et :
\begin{align*}
& \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = -1 \\
& \lim\limits_{n\to +\infty} w_n = 1
\end{align*}

\( \displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \)

Pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), on note :
\begin{align*}
& u_n = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} \\
& v_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}
\end{align*}

Soit \( u \) une suite réelle telle que \( u_0 \in \mathbb{R}_+ \) et :
\[
\forall n \in\mathbb{N},\ u_{n+1} = \frac{1+u_n^2}{2}
\]

Si les suites \( u \) et \( v \) convergent, alors la suite \( u+v \) converge.

Si la suite \( u + v \), alors les suites \( u \) et \( v \) convergent.

Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles telles que :
\[
\forall n \in\mathbb{N},\ 0 \leqslant u_n \leqslant v_n
\]

Si la suite \( v \) converge alors la suite \( u \) converge également.