LPA ECG1-Quiz 1 (Logique)

Une fonction \( f \) est décroissante sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \) si :

La négation de la proposition “La fonction \( f \) est nulle sur \( I \)” est :

Si \( A \) et \( B \) sont deux propositions, la contraposée de \( A \Rightarrow B \) est :

Si \( f \) est une application de \( I \) dans \( \mathbb{R} \), que signifie la proposition suivante ?

\[
\exists m \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ f(x) = m
\]

Si \( f \) est une application de \( I \) dans \( \mathbb{R} \), quelle est la négation de la proposition suivante :
\[
\forall (x,y) \in I^2,\ x < y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y) \]

\( f \) étant une applications de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \), les propositions suivantes sont elles équivalentes?

\begin{align*}
& (P_1) : \forall x\in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant y \\
& (P_2) : \exists y \in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant y
\end{align*}

\( f \) étant une applications de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \), les propositions suivantes sont elles équivalentes?

\begin{align*}
& (P_1) : \exists x\in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant y \\
& (P_2) : \exists y \in \mathbb{R},\ \exists x\in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant y
\end{align*}

Quel symbole peut compléter la proposition suivante (plusieurs réponses possibles) ?
\[
\cdots x \in \mathbb{R},\ x^2+3x+2=0
\]

Quel symbole peut compléter la proposition suivante (plusieurs réponses possibles) ?
\[
\cdots x \in \mathbb{R},\ x^2+3x+2=(x+2)(x+1)
\]

Quel symbole peut compléter la proposition suivante (plusieurs réponses possibles) ?
\[
\cdots x \in \mathbb{R},\ x^2+2x+1=0
\]

Parmi les assertions suivantes, indiquer celles qui sont correctes :

Quelle est la négation de la proposition suivante ?

\[
\forall x\in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x^2 +y^2 = xy
\]