Quiz Réduction des matrices carrées

On considère la matrice
\[
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\]
Choisir les affirmations correctes.

On considère la matrice
\[
A =
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}
\]
Choisir les affirmations correctes.

On considère la matrice
\[
A =
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\]
Choisir les affirmations correctes.

On considère la matrice
\[
A =
\begin{pmatrix}
0&-1&-1\\1&0&-1\\1&1&0
\end{pmatrix}
\]

Choisir les affirmations correctes.

Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \). Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui sont des conditions suffisantes pour que \( A \) soit diagonalisable.

Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \). Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui sont des conditions nécessaires et suffisantes pour que \( A \) soit diagonalisable.

Si \( A \in \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) possède \( n \) valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable.

Si \( A \in \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) est diagonalisable, elle possède \( n \) valeurs propres distinctes.

Tous les réels sont valeur propre de la matrice nulle de \( \mathcal{M}_{n}( \mathbb{R}) \).

Si \( A \) est une matrice triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.

Si \( A \) est une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \), ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.

Tous les vecteurs de \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \) sont vecteurs propres de la matrice nulle de \( \mathcal{M}_{n}( \mathbb{R}) \).

Si \( A \) est une matrice triangulaire alors (choisissez les affirmations correctes) :

Si \( A \) est une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) et si \( P \) est un polynôme tel que \( P(A) = 0 \) alors :

Si \( A \) est une matrice diagonalisable de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) possédant une unique valeur propre alors \( A = \mathrm{I}_n \).

Si \( A \) est une matrice diagonalisable de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) possédant une unique valeur propre alors il existe un réel \( \lambda \) tel que \( A = \lambda\, \mathrm{I}_n \).

Si \( A \) est une matrice diagonalisable de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) et si \( 0 \) est sa seule valeur propre alors \( A = 0 \).

Si \( A = \begin{pmatrix}
a & b\\ c & d
\end{pmatrix} \) est une matrice de \( \mathcal{M}_2( \mathbb{R}) \) possédant deux valeurs propres \( \lambda \) et \( \mu \) alors :
\[
\lambda + \mu = a+b \quad \text{et} \quad \lambda \mu = ad -bc
\]

Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) dont le rang est égal à \( 1 \).

Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui sont exactes.

Toute matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) possède au moins une valeur propre.

Si \( A \) est une matrice triangulaire, alors \( A \) est diagonalisable.

Si \( A \) est une matrice diagonalisable tel que \( A^n=0 \) alors \( A=0 \).

Si \( A \) est une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts, alors \( A \) est diagonalisable.

Si \( A \) est une matrice diagonalisable alors \( A^2 \) est diagonalisable.

Si \( A \) est une matrice carrée telle que \( A^2 \) est diagonalisable alors \( A \) est diagonalisable.

Si \( A \) est une matrice diagonalisable et inversible alors \( A^{-1} \) est diagonalisable.

Si \( A \) est une matrice diagonalisable et inversible alors \( {}^t A \) est diagonalisable.

Si \( A \) est une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) alors \( A \) et \( {}^t \! A \) ont les mêmes valeurs propres.

Si \( A \) est une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) alors \( A \) et \( {}^t \! A \) ont les mêmes vecteurs propres.

Si \( A \) est une matrice de \( \mathcal{M}_3( \mathbb{R}) \) possédant exactement deux valeurs propres alors :

Si \( A \) est une matrice de \( \mathcal{M}_3( \mathbb{R}) \) dont les valeurs propres sont \( 1 \) et \( 3 \) et dont le sous-espace propre associé à la valeur propre \( 1 \) est de dimension \( 1 \) alors \( A \) est diagonalisable si et seulement si le sous-espace propre associé à la valeur propre \( 3 \) est de dimension (compléter) :

Si \( A \) est une matrice de \( \mathcal{M}_3( \mathbb{R}) \) et si \( A+ \mathrm{I}_3 \) est de rang \( 1 \) alors (plusieurs réponses possibles) :

Si \( A \) est une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) et si \( X\) est un vecteur de \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \) tel que \( AX=X \) alors \( 1 \) est valeur propre de \( A \).

Si \( A \) est semblable à une matrice \( B \) diagonalisable alors (sélectionner les affirmations correctes) :

Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont diagonalisables ?

On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \)

Indiquer les affirmations correctes.

On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \)

Indiquer les affirmations correctes.