Probabilité, espace probabilisé (univers fini)
Définitions
Dans toute cette partie, on considère un espace probabilisable \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega))\).
Définition
On appelle probabilité sur \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega))\) toute application \(\mathbb{P}:\mathcal{P}(\Omega)\to \mathbb{R}^+\) telle que :
\(\mathbb{P}(\Omega)=1\)
\(\mathbb{P}\) est une application additive, c’est-à-dire que, pour tout couple \((A,B)\) d’événements disjoints, on a : \[\mathbb{P}( A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\]
Une telle probabilité \(\mathbb{P}\) étant fixée, le triplet \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\) est appelé espace probabilisé.
Proposition – Probabilité uniforme
Equip Si \(\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}\) est un ensemble fini non vide constitué de \(n\) éléments, il existe une unique probabilité \(\mathbb{P}\) telle que : \(\mathbb{P}(\{\omega_1\})=\mathbb{P}(\{\omega_2\})=\cdots =\mathbb{P}(\{\omega_n\})\).
Cette application \(\mathbb{P}\) est appelée probabilité uniforme sur \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega))\) et vérifie : \[\forall A\in\mathcal{P}(\Omega),\ \mathbb{P}(A)=\frac{\mathrm{Card}\,(A)}{\mathrm{Card}\,(\Omega)}\] Lorsque l’espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\) est muni de cette probabilité uniforme, on dit que les événements élémentaires sont équiprobables (ou plus simplement qu’il y a équiprobabilité).
Exercice
On dispose d’une urne contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\), \(n\) étant un entier naturel non nul. On effectue dans cette urne deux tirages au hasard d’une boule avec remise. Calculer la probabilité de l’événement \(E\) : on obtient deux fois le même numéro .
Solution
Comme on effectue deux tirages avec remise dans une urne contenant \(n\) boules discernables, on peut choisir comme univers des possibles \(\Omega=\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\). \(\Omega\) est fini donc on choisit comme tribu \(\mathcal{P}(\Omega)=\mathscr P(\Omega)\).
Enfin, comme les tirages sont effectués, toutes les boules ont la même probabilité d’être obtenues, donc la probabilité est uniforme et donc : \[\mathbb{P}(E)=\frac{\mathrm{Card}(E)}{\mathrm{Card}(\Omega)}=\frac{\mathrm{Card}(E)}{n^2}\]
De plus, on a : \(E=\{(k,k),k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\}\) et donc : \(\mathrm{Card}(E)=n\), donc finalement : \[\mathbb{P}(E)=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\]
Propriétés
Dans la suite de cette partie, on considère un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\).
Théorème
\(\mathbb{P}(\varnothing)=0\)
\(\forall (A,B)\in \mathcal{P}(\Omega)^2,\ A\subset B \Rightarrow \mathbb{P}(A)\leqslant \mathbb{P}(B)\)
\(\forall (A,B)\in \mathcal{P}(\Omega)^2,\ A\subset B \Rightarrow\mathbb{P}(B\setminus A)=\mathbb{P}(B\cap \overline{A})=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)\)
\(\forall A\in\mathcal{P}(\Omega),\ \mathbb{P}(A)\in [0,1]\)
\(\forall A\in \mathcal{P}(\Omega),\ \mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)\)
Exercice
On se propose de démontrer le théorème.
Démontrer le point 1.
En remarquant que, pour tout couple \((A,B)\) d’événements, \(B=A\cup \left(B\cap \overline{A}\right)\), démontrer les points 2 et 3.
Démontrer le point 4.
Démontrer le point 5.
Solution
En remarquant que \(\varnothing=\overline{\Omega}\) et en utilisant la définition d’une probabilité : \[\mathbb{P}(\varnothing)=1-\mathbb{P}(\Omega)=1\]
Soit \((A,B)\) un couple d’éléments de \(\mathcal{P}(\Omega)\) tel que : \(A\subset B\). On a alors : \(B=A\cup (B\cap \overline{A})\) et donc, comme \(A\) et \(B\cap \overline{A}\) sont disjoints : \[\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\cap \overline{A})\] et donc : \[\mathbb{P}(A)\leqslant \mathbb{P}(B) \quad\text{et}\quad\mathbb{P}(B\cap \overline{A})=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)\]
Pour tout événement \(A\), on a : \(\varnothing\subset A \subset \Omega\) donc, d’après les résultats précédents : \(0\leqslant \mathbb{P}(A)\leqslant 1\).
Pour tout événement \(A\), \(A\) et \(\overline{A}\) sont disjoints et vérifient : \(A\cup \overline{A}=\Omega\) et donc : \[\mathbb{P}(A)\;\mathbb{P}(\overline{A})=\mathbb{P}(\Omega)=1\] d’où : \[\mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)\]
Exercice
On effectue \(n\) lancers d’une pièce équilibrée, \(n\) étant un entier naturel non nul. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois pile .
Solution
Comme on effectue \(n\) lancers, on choisit : \(\Omega=\{P,F\}^{n}\) et, comme \(\Omega\) est fini, on choisit : \(\mathcal{P}(\Omega)=\mathscr P(\Omega)\). De plus, la pièce est équilibrée, donc donne pile ou face avec la même probabilité, donc la probabilité \(\mathbb{P}\) est uniforme. En notant \(E_n\) l’événement on obtient au moins une fois pile , on remarque que l’événement \(\overline{E_n}\) est plus simple à étudier, puisqu’il s’agit de l’événement on n’obtient que des faces . Or il y a \(2^{n}\) suites de lancers possibles, parmi lesquelles une seule ne donne que des faces, donc : \[\mathbb{P}(\overline{E_n})=\frac{1}{2^{n}}\] et alors : \[\mathbb{P}(E_n)=1-\mathbb{P}(\overline{E})=1-\frac{1}{2^{n}}\]
Théorème – Formule de Poincaré
Si \(A,B\) et \(C\) sont trois événements, on a : \[\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\] et : \begin{multline*} \mathbb{P}(A\cup B\cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A\cap B) \\-\mathbb{P}(A\cap C)-\mathbb{P}(B\cap C)+\mathbb{P}(A\cap B\cap C)\end{multline*}
Preuve
Soit \(A\) et \(B\) deux événements. On note : \(A_1=A\cap B\), \(A_2=A\cap \overline{C_1}\) et \(A_3=B\cap \overline{C_1}\). On a alors : \begin{align*}&A=A_1\cup A_2\\ &B=A_1\cup A_3 \\ & A\cup B=A_1\cup A_2\cup A_3\end{align*}
De plus, \(A_1,A_2\) et \(A_3\) sont deux à deux disjoints par construction donc : \begin{align*}&\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2) \\ & \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A_2)+\mathbb{P}(A_3) \\ &\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)+\mathbb{P}(A_3)\end{align*}
et donc : \begin{align*}\mathbb{P}(A\cup B)&=[\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)]+[\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_3)]-\mathbb{P}(A_1) \\ &=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\end{align*}
Pour trois événements \(A,B\) et \(C\), on pourrait procéder de façon analogue. Mais on peut aussi utiliser ce qui vient d’être démontrer, en remarquant que : \[\begin{aligned} \mathbb{P}(A\cup B\cup C)&=\mathbb{P}((A\cup B)\cup C)\\ &=\mathbb{P}(A\cup B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}((A\cup B)\cap C) \end{aligned}\] soit encore : \begin{multline*} \mathbb{P}(A\cup B\cup C)= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(C)\\-\mathbb{P}((A\cap C)\cup (B\cap C)) \end{multline*} d’où: \begin{multline*} \mathbb{P}(A\cup B\cup C) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A\cap B)\\-\mathbb{P}(A\cap C)-\mathbb{P}(B\cap C)+\mathbb{P}(A\cap B\cap C) \end{multline*}