Probabilité conditionnelle (univers fini)
Dans toute cette partie, on considère un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\).
Définition
Définition
Soit \(A\) un événement de probabilité non nulle.
Si \(B\) est un événement, on appelle probabilité de B conditionnée par A, ou probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre \(\mathbb{P}_A(B)\) défini par : \[\mathbb{P}_A(B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}\]
Remarques
Si \(\mathbb{P}(A)\neq 0\), on a donc : \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\times \mathbb{P}_A(B)\).
Attention : avant d’envisager une probabilité conditionnelle à l’événement \(A\), il est fondamental de s’assurer que \(A\) n’est pas un événement négligeable ; sinon le quotient n’a pas de sens.
Proposition
Si \(A\) est un événement de probabilité non nulle, l’application \(B\mapsto \mathbb{P}_A(B)\) est une probabilité sur \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\), appelée probabilité conditionnelle sachant \(A\) (ou aussi probabilité conditionnelle à l’événement \(A\)), et \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P}_A)\) est un espace probabilisé.
Remarques
On rencontre aussi parfois la notation \(\mathbb{P}(B\,\vert\,A)\) au lieu de \(\mathbb{P}_A(B)\) mais ce n’est pas la notation choisie par le programme.
Attention, la notion de conditionnement se rapporte à la probabilité, pas à l’événement : il est donc correct de parler de la probabilité sachant \(A\) de l’événement \(B\) mais pas de l’événement \(B\) sachant \(A\) .
\(\mathbb{P}_A\) étant une probabilité, toutes les méthodes usuelles de calcul des probabilités sont à disposition et il n’est donc pas toujours nécessaire d’utiliser la définition pour calculer une probabilité conditionnelle).
Proposition
Si \(A\) est un événement de probabilité non nulle, on a :
\(\mathbb{P}_A(A)=1\)
\(\forall B\in \mathcal{P}(\Omega),\ \mathbb{P}_A(\overline{B})=1-\mathbb{P}_A(B)\)
\(\forall (B,C)\in\mathcal{P}(\Omega)^2,\ \mathbb{P}_A(B\cup C)=\mathbb{P}_A(B)+\mathbb{P}_A(C)-\mathbb{P}_A(B\cap C)\)
Remarques
Ces résultats découlent de manière immédiate du fait que l’application \(\mathbb{P}_A\) est une probabilité.
Attention, il n’y a pas de formule générale simple (à part la définition), permettant de calculer \(\mathbb{P}_{\overline{A}}(B)\) ou \(\mathbb{P}_{A\cup B}(C)\).
Formule des probabilités composées
Théorème – Formule des probabilités composées
Si \(A\) et \(B\) sont deux événements tels que \(\mathbb{P}(A)\neq 0\), alors : \[\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\;\mathbb{P}_A(B)\] Plus généralement, si \((A_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) (\(n\geqslant 2\)) est une famille d’événements telle que \(\mathbb{P}\!\left(\bigcap\limits_{i=1}^{n-1} A_i\right)\neq 0\), alors : \[\mathbb{P}\!\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right)=\mathbb{P}(A_1)\;\mathbb{P}_{A_1}(A_2)\;\mathbb{P}_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots \mathbb{P}_{A_1\cap A_2\cap \dots\cap A_{n-1}}(A_n)\]
Remarques
Retenir que, pour écrire ce résultat, il faut que chaque probabilité \(\mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_k)\), pour \(1\leqslant k\leqslant n-1\), ne soit pas nulle. Mais comme \((A_1\cap \dots A_{n-1})\subset (A_1\cap \dots A_k)\) si \(1\leqslant k\leqslant n-1\), il suffit que la probabilité \(\mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_{n-1})\) ne soit pas nulle pour que les autres ne le soient pas.
Le plus souvent, on ne sait pas à l’avance que la probabilité \(\mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_{n-1})\) n’est pas nulle. Dans ce cas, il faudrait procéder par récurrence pour être parfaitement rigoureux.
Preuve
On procède par récurrence, en notant, pour \(p\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\mathscr H(p)\) la proposition : \[ “\ \mathbb{P}\!\left(\bigcap_{i=1}^{p} A_i\right)=\mathbb{P}(A_1)\;\mathbb{P}_{A_1}(A_2)\;\mathbb{P}_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots \mathbb{P}_{A_1\cap A_2\cap \dots\cap A_{p-1}}(A_p)\ ” \]
Si \(p=2\). On sait que : \[\mathbb{P}_{A_1}(A_2)=\frac{\mathbb{P}(A_1\cap A_2)}{\mathbb{P}(A_1)}\]
et donc, en multipliant par \(\mathbb{P}(A_1)\) : \[\mathbb{P}(A_1\cap A_2)=\mathbb{P}(A_1)\;\mathbb{P}_{A_1}(A_2)\]
Ainsi, \(\mathscr H(2)\) est vraie.
Soit \(p\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Supposons que \(\mathscr H(p)\) soit vraie. En appliquant \(\mathscr H(2)\), on peut écrire : \[\mathbb{P}\!\left(\bigcap_{i=1}^{p+1} A_i\right)=\mathbb{P}\!\left(\bigcap_{i=1}^{p} A_i\right)\;\mathbb{P}_{A_1\cap \dots \cap A_p}(A_{p+1})\] et donc, d’après \(\mathscr H(p)\) : \begin{multline*}\mathbb{P}\!\left(\bigcap_{i=1}^{p+1} A_i\right)=\mathbb{P}(A_1)\;\mathbb{P}_{A_1}(A_2)\;\mathbb{P}_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots \\ \times \mathbb{P}_{A_1\cap A_2\cap \dots\cap A_{p-1}}(A_p)\;\mathbb{P}_{A_1\cap A_2\cap \dots\cap A_{p}}(A_{p+1})\end{multline*}
Ainsi : \(\mathscr H(p) \Rightarrow \mathscr H(p+1)\).
Finalement, on a prouvé que, pour tout \(p\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\mathscr H(p)\) est vraie.
Exercice
On dispose d’une urne contenant initialement deux boules : une boule noire et une boule blanche. On effectue une suite de tirages selon le protocole suivant : à chaque tirage, la boule tirée est remise dans l’une et on rajoute une boule de la même couleur avant de procéder au tirage suivant. On suppose qu’à chaque tirage, chaque boule de l’urne a la même probabilité d’être obtenue et on note \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\) un espace probabilisé permettant de modéliser cette expérience.
Calculer la probabilité d’obtenir une boule blanche à chacun des \(n\) premiers tirages, \(n\) étant un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Solution
Pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(B_k\) l’événement on obtient une boule blanche au \(k^{\grave{e}me}\) tirage . On cherche la probabilité de l’événement \[E=\bigcap_{k=1}^n B_k\]
Comme on effectue un nombre fini de tirages et comme, à chaque tirage, la probabilité d’obtenir une boule blanche n’est pas nulle (car il y a toujours au moins une boule blanche dans l’urne et que toutes les boules ont la même probabilité d’être obtenue), il est raisonnable d’admettre (pour faire l’économie d’une récurrence) que : \[\mathbb{P}\!\left(\bigcap_{k=1}^{n-1} B_k\right)\neq 0\]
D’après la formule des probabilités composées, on a donc : \[\mathbb{P}(E)=\mathbb{P}(B_1)\;\mathbb{P}_{B_1}(B_2)\;\dots \;\mathbb{P}_{B_1\cap \dots \cap B_{n-1 }}(B_n)\]
De plus, l’urne contient initialement \(2\) boules, dont une blanche et, pour tout \(k\geqslant 2\), sachant \(B_1\cap \dots \cap B_{k-1}\), l’urne contient \(k+1\) boules, dont \(k\) blanches (la boule initiale, à laquelle se sont ajoutées \(k-1\) boules, une par tirage ayant donné une boule blanche), au moment de procéder au \(k^{\grave{e}me}\) tirage et donc, chaque boule ayant la même probabilité d’être obtenue : \[\mathbb{P}(B_1)=\frac{1}{2} \quad\text{et}\quad\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}_{B_1\cap \dots \cap B_{k-1 }}(B_k)=\frac{k}{k+1}\] et donc : \[\mathbb{P}(E)=\prod_{k=1}^n \frac{k}{k+1}\] et comme les termes se simplifient en cascade : \[\mathbb{P}(E)=\frac{1}{n+1}\]
Formule des probabilités totales
Théorème – Formule des probabilités totales
Si \((A_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) est un système complet d’événements de probabilités toutes non nulles : \[\forall A\in \mathcal{P}(\Omega),\ \mathbb{P}(A)=\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A\cap A_i)=\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)\;\mathbb{P}_{A_i}(A)\]
Remarques
Encore une fois, quand on écrit des probabilités conditionnelles, il ne faut pas oublier de s’assurer que les événements par lesquels on conditionne sont tous de probabilité non nulle, même quand ce sont des éléments d’un système complet d’événements. En effet, par définition, les événements d’un système complet d’événements ne sont pas impossibles, mais ils peuvent être négligeables (même si ce cas de figure est rare).
Cette formule est sans doute l’une des formules les plus utiles en probabilité : on l’utilisera dès qu’on recherche la probabilité d’un événement dont la réalisation dépend d’un résultat antérieur.
Ce résultat sera démontré dans un cas plus général dans la partie sur les espaces probabilisés quelconques.
Exercice
On dispose de deux urnes : l’urne \(U\) contient \(10\) boules, dont \(4\) rouges et \(6\) noires, l’urne \(V\) contient \(10\) boules, dont \(8\) rouges et \(2\) noires. On lance un dé cubique équilibré. Si le dé donne \(1\) ou \(2\), on tire une boule de l’urne \(U\), sinon, on tire une boule de l’urne \(V\). On suppose que chaque boule de l’urne choisie a la même probabilité d’être obtenue. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
Solution
On note \(U\) (respectivement \(V\)) l’événement l’urne \(U\) est choisie (resp. l’urne \(V\) est choisie ) et \(R\) l’événement on tire une boule rouge . \((U,V)\) est un système complet d’événements de probabilités non nulles donc, d’après la formule des probabilités totales : \[\mathbb{P}(R)=\mathbb{P}(U)\;\mathbb{P}_U(R)+\mathbb{P}(V)\;\mathbb{P}_V(R)\]
De plus, par hypothèse et comme le dé est équilibré, on a : \[\mathbb{P}(U)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \quad\text{et}\quad\mathbb{P}(V)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]
Par ailleurs, et comme chaque boule de l’urne choisie a la même probabilité d’être obtenue, on a : \[\mathbb{P}_U(R)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \quad\text{et}\quad\mathbb{P}_V(R)=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\]
On a donc : \[\mathbb{P}(R)=\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{3}\]
Formule de Bayes
Théorème – Formule de Bayes
Si \(A\) et \(B\) sont deux événements de probabilité non nulle, alors : \[\mathbb{P}_A(B)=\frac{\mathbb{P}(B)\;\mathbb{P}_B(A)}{\mathbb{P}(A)}\]
Remarques
Cette formule sert le plus souvent lorsqu’on cherche à calculer la probabilité sachant \(A\) d’un événement antérieur à \(A\) , c’est-à-dire, en quelque sorte, quand on peut voir en \(A\) une conséquence de \(B\).
Il peut arriver que l’on ne connaisse pas la valeur de \(\mathbb{P}(A)\). Dans ce cas, il arrivera souvent que l’on utilise la formule des probabilités totales pour calculer le dénominateur.
Preuve
Soit \(A\) et \(B\) deux événements de probabilités non nulles. On a alors, par définition d’une probabilité conditionnelle : \[\mathbb{P}_A(B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}\] et donc, d’après la formule des probabilités composées : \[\mathbb{P}_A(B)=\frac{\mathbb{P}(B)\;\mathbb{P}_B(A)}{\mathbb{P}(A)}\]
Exercice
On reprend l’expérience étudiée dans l’exercice précédent. Calculer la probabilité d’avoir tiré une boule de l’urne \(U\) sachant que la boule tirée est rouge.
Solution
On cherche la probabilité \(\mathbb{P}_R(U)\). D’après la formule de Bayes, \(R\) et \(U\) étant tous deux de probabilité non nulle, on a : \[\mathbb{P}_R(U)=\frac{\mathbb{P}(U)\;\mathbb{P}_U(R)}{\mathbb{P}(R)}\] et donc, d’après les calculs précédents : \[\mathbb{P}_R(U)=\frac{\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{5}\]