Moments d’une VAR finie
Dans toute cette partie, on considère un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\) (\(\Omega\) étant un ensemble fini) sur lequel toutes les variables aléatoires envisagées sont définies.
Espérance d’une variable aléatoire discrète
Définition
Si \(X\) est une variable aléatoire telle que \(X(\Omega)=\{x_1,\dots,x_n\}\) (où \(n\) est un entier naturel non nul), on appelle espérance de le réel noté \(\mathbb{E}(X)\) défini par : \[\mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^n x_i\;\mathbb{P}(X=x_i)=\sum_{x_i\in X(\Omega)} x_i\;\mathbb{P}(X=x_i)\]
Exercice
On effectue trois lancers indépendants d’une pièce équilibrée et on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de face obtenus. On a vu en exercice dans le paragraphe précédent que la loi de \( X \) est donnée par : \[\begin{array}{|c| c|c| c|c| } \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \mathbb{P}(X=k) & \dfrac{1}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{1}{8} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ \hline \end{array}\] Étudier l’existence et la valeur éventuelle de l’espérance de \(X\).
Solution
\(X\) est une variable aléatoire discrète finie (elle prend ses valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,3} \right]\kern-0.15em\right]\)), donc elle admet une espérance et : \[\begin{aligned} \mathbb{E}(X) &= 0\times \mathbb{P}(X=0)+1\times \mathbb{P}(X=1)+2\times \mathbb{P}(X=2)+3\times \mathbb{P}(X=3) \end{aligned}\] et donc, d’après les calculs effectués dans le premier exercice :\[\begin{aligned} \mathbb{E}(X) &= \frac{3}{8}+2\times \frac{3}{8}+3\times \frac{1}{8}\\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}\]
Remarque
L’espérance d’une variable aléatoire finie \(X\) est la moyenne des valeurs prises par \(X\), pondérée par leurs probabilités. Compte tenu de cette remarque, on retiendra en particulier que si les valeurs prises par \(X\) sont comprises entre deux réels \(a\) et \(b\), ce sera aussi le cas de l’espérance de \(X\).
Théorème de transfert
Soit \(\varphi\) une application de \(X(\Omega)\) dans \(\mathbb{R}\). \(\varphi(X)\) admet une espérance et : \[\mathbb{E}(\varphi(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} \varphi( x)\;\mathbb{P}(X=x)\]
Exercice
On effectue trois lancers indépendants d’une pièce équilibrée et on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de face obtenus. On a vu dans le premier exerice que la loi de \(X\) est donnée par : \[\begin{array}{|c| c|c| c|c| } \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \mathbb{P}(X=k) & \dfrac{1}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{1}{8} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ \hline \end{array}\] Étudier l’existence et la valeur éventuelle de l’espérance de \(X^2\).
Solution
\(X\) est une variable aléatoire discrète finie et \(\varphi : t\mapsto t^2\) est une application de \(X(\Omega)\) dans \(\mathbb{R}\), donc, d’après le théorème de transfert, \(X^2\) admet une espérance et : \[\begin{aligned} \mathbb{E}(X^2) &= 0^2\times \mathbb{P}(X=0)+1^2\times \mathbb{P}(X=1)+2^2\times \mathbb{P}(X=2)+3^2\times \mathbb{P}(X=3) \end{aligned}\] et donc : \[\begin{aligned} \mathbb{E}(X^2) &= \frac{3}{8}+4\times \frac{3}{8}+9\times \frac{1}{8}\\ &= 3 \end{aligned}\]
Théorème
Si \(X\) est une variable aléatoire finie alors :
si \(X\) est positive : \(\mathbb{E}(X)\geqslant 0\) (positivité de l’espérance),
pour tout couple \((a,b)\) de réels, on a : \[\mathbb{E}(aX+b)=a\,\mathbb{E}(X)+b \quad (\textbf{linéarité de l'espérance})\]
Preuve
On suppose que \(X\) est une variable aléatoire finie positive. On a alors : \[\mathbb{E}(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} x\;\mathbb{P}(X=x)\]
et donc, comme \(x\;\mathbb{P}(X=x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in X(\Omega)\) (puisque \(X(\Omega)\) est inclus dans \(\mathbb{R}^+\) par hypothèse) : \[\mathbb{E}(X)\geqslant 0\]
On suppose que \(X\) est une variable aléatoire finie. Soit \((a,b)\in\mathbb{R}^2\). Comme \(X\) est une variable aléatoire finie et comme \(t\mapsto at+b\) est une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), d’après le théorème de transfert, on a : \[\begin{aligned} \mathbb{E}(aX+b) &= \sum_{x\in X(\Omega)} (ax+b)\,\mathbb{P}(X=x)\\ &= a\,\sum_{x\in X(\Omega)} x\;\mathbb{P}(X=x)+\sum_{x\in X(\Omega)} \mathbb{P}(X=x)\\ &= a\,\mathbb{E}(X)+b \end{aligned}\]
Variance d’une variable aléatoire discrète
Définition
Soit \(X\) une variable aléatoire finie. On appelle variance de \(X\) le réel noté \(\mathbb{V}(X)\) défini par : \[\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)=\sum_{x\in X(\Omega)} \left(x-\mathbb{E}(X)\right)^2\;\mathbb{P}(X=x)\]
Remarque
Se souvenir que, compte tenu de la définition, une variance, est toujours positive ou nulle.
Il est rare que la définition soit utile. En général, pour pour montrer l’existence et calculer la variance d’une variable aléatoire, on utilise la proposition suivante :
Proposition – Formule de Kœnig-Huygens
Si \(X\) est une variable aléatoire finie, alors : \[\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2\]
Exercice
On effectue trois lancers indépendants d’une pièce équilibrée et on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de face obtenus. On a rappelé la loi de \(X\) dans les exercices précédents. Étudier l’existence et la valeur éventuelle de la variance de \(X\).
Solution
\(X\) est une variable aléatoire discrète finie donc \(X\) admet une variance et : \[\begin{aligned} \mathbb{V}(X) =\mathbb{E}(X^2) – [\mathbb{E}(X)]^2 \end{aligned}\] et donc, d’après les calculs effectués dans les exercices précédents : \[\begin{aligned} \mathbb{V}(X) &= 3-\left(\frac{3}{2}\right)^2\\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}\]
Définition
Si \(X\) est une variable aléatoire finie, on appelle écart-type de \(X\) le réel \[\sigma(X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)}\]
Remarques
La variance étant la moyenne du carré de la distance entre les valeurs prises par \(X\) et \(\mathbb{E}(X)\), on peut en quelque sorte dire que l’écart-type permet de corriger la présence du carré pour mesurer la dispersion des valeurs prises par \(X\) par rapport à sa moyenne.
En particulier, on remarquera que, plus cet écart-type est grand, plus, en moyenne, \(X\) prend des valeurs éloignées de son espérance. Inversement, plus l’écart-type est proche de \(0\), plus \(X\) prend des valeurs proches de son espérance.
Il existe d’autres façons de mesurer la dispersion des valeurs prises par \(X\) lorsqu’elle admet une espérance. On pourrait également s’intéresser à l’espérance de \(\left| X-\mathbb{E}(X) \right|\) (ce qui pourrait paraître être un choix plus naturel), mais cette mesure est souvent moins pratique que la variance dans les calculs.
Proposition
Si \(X\) est une variable aléatoire finie, alors, pour tout couple \((a,b)\) de réels : \[\mathbb{V}(aX+b)=a^2\,\mathbb{V}(X) \quad\text{et}\quad\sigma(aX+b)=\left| a \right|\,\sigma(X)\]
Preuve
On suppose que \(X\) est une variable aléatoire finie et on considère un couple \((a,b)\) de réels. D’après la formule de Kœnig-Huygens, on a : \[\begin{aligned} \mathbb{V}(aX+b) &= \mathbb{E}\left((aX+b)^2\right)-\left[\mathbb{E}(aX+b)\right]^2 \end{aligned}\]
On sait de plus, d’après le théorème de transfert, que : \[ \mathbb{E}\left((aX+b)^2\right) = \sum_{x\in X(\Omega)} (ax+b)^2 \,\mathbb{P}(X=x)\] soit encore : \begin{multline*} \mathbb{E}\left((aX+b)^2\right)= a^2\,\sum_{x\in X(\Omega)} x^2\,\mathbb{P}(X=x)+2ab\, \sum_{x\in X(\Omega)} x\,\mathbb{P}(X=x)\\+b^2\, \sum_{x\in X(\Omega)} \mathbb{P}(X=x) \end{multline*} d’où : \[ \mathbb{E}\left((aX+b)^2\right)= a^2\,\mathbb{E}(X^2)+2ab\,\mathbb{E}(X)+b^2 \]
D’après la formule de Kœnig-Huygens et par linéarité de l’espérance, on en déduit : \[\begin{aligned} \mathbb{V}(aX+b) &= \left[a^2\,\mathbb{E}(X^2)+2ab\,\mathbb{E}(X)+b^2\right]- \left[a\,\mathbb{E}(X)+b\right]^2\\ &= \left[a^2\,\mathbb{E}(X^2)+2ab\,\mathbb{E}(X)+b^2\right]-\left[a^2\,[\mathbb{E}(X)]^2+2ab\,\mathbb{E}(X)+b^2\right]\\ &= a^2\left(\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2\right)\\ &= a^2\,\mathbb{V}(X) \end{aligned}\]
On obtient alors de manière immédiate, une variance étant toujours positive : \[\begin{aligned} \sigma(aX+b) &= \sqrt{\mathbb{V}(aX+b)}\\ &= \sqrt{a^2\,\mathbb{V}(X)}\\ &=\left| a \right|\,\sqrt{\mathbb{V}(X)}\\ &=\left| a \right|\,\sigma(X) \end{aligned}\]