Expérience aléatoire, événements (univers fini)
Expérience aléatoire. Univers des possibles
L’objet de ce chapitre est d’étudier les expériences dont le résultat est lié au hasard, aussi appelées expériences aléatoires. Plus précisément, on dit qu’une expérience est aléatoire si l’on ne peut pas a priori prévoir son résultat et si l’on peut la reproduire dans des conditions identiques (par exemple, lancer une pièce, un dé, tirer une carte dans un jeu, lancer une flèche sur une cible, attendre d’être servi à un guichet de la poste…) au moins en théorie.
Étant donné une expérience aléatoire \(\mathscr E\), l’ensemble des résultats possibles est appelé univers des possibles. Il est en général noté \(\Omega\) et ses éléments, appelés résultats, sont en général notés \(\omega\).
Par exemple, si l’expérience consiste à jeter successivement deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\), les résultats possibles sont des couples de nombres entiers compris entre \(1\) et \(6\) et il est raisonnable de définir l’univers des possibles comme \(\Omega=\left[\kern-0.15em\left[ {1,6} \right]\kern-0.15em\right]\times \left[\kern-0.15em\left[ {1,6} \right]\kern-0.15em\right]\), le premier élément donnant le résultat du premier lancer et le second élément le résultat du second lancer. Par exemple, le couple \((1,3)\) est associé au résultat obtenir \(1\) au premier lancer et \(3\) au deuxième ; il serait également possible de choisir \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\times \{a,b,c,d,e,f\}\), mais cela n’est ni pratique, ni réellement judicieux.
On se limitera dans ce chapitre au cas où l’ensemble \(\Omega\) des résultats de l’expérience est fini. Toutes les notions étudiées ici seront reprises et approfondies dans le cas général au chapitre 31.
Ensemble d’événements. Espace probabilisable
Étant donné un ensemble \(\Omega\) fini et non vide, l’ensemble \(\mathcal{P}(\Omega)\) des parties de \(\Omega\) est appelé ensemble des événements.
Le couple \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega))\) est appelé espace probabilisable.
Remarques
Si l’on réalise une expérience aléatoire \(\mathscr E\), un événement est un énoncé ou une proposition logique (par exemple obtenir un résultat par dans un lancer de dé cubique usuel). On dira que l’événement est réalisé ou non selon que la proposition s’avère vraie ou fausse une fois l’expérience réalisée.
Mathématiquement, une fois défini l’univers des possibles \(\Omega\) associé à une expérience aléatoire \(\mathscr E\), un événement pourra être représenté par l’ensemble des résultats qui le réalisent. Par exemple, si l’expérience consiste à lancer successivement deux dés cubiques usuels, l’événement le plus grand numéro obtenu est \(3\) peut être identifié à l’ensemble : \[\{(1,3),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2)\}.\]
Un événement qui s’identifie à un singleton (i.e. qui n’est réalisé que par un seul résultat) est appelé événement élémentaire.
Compte tenu de cette identification naturelle, on peut étendre aux événements les notations et opérations usuelles sur les ensembles, en notant \(\omega\) le résultat de l’expérience : \[\begin{array}{ | c | c | } \hline \textbf{Terminologue probabiliste} & \textbf{Notation ensembliste} \\ \hline \text{Événement certain} & \Omega \\ \hline \text{Événement impossible} & \varnothing\\ \hline \text{Événement $A$ est réalisé} & \omega \in A\\ \hline \text{L'événement $A$ n'est pas réalisé} & \omega \in \overline{A} \\ \hline \text{L'un des événements $A$ ou $B$ est réalisé} & \omega \in A\cup B \\ \hline \text{ Les événements $A$ et $B$ sont réalisés} & \omega \in A\cap B \\ \hline A \text{ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints)} & A\cap B=\varnothing\\ \hline A \text{ est réalisé, mais pas $B$} & \omega \in A\setminus B \text{ ou } \omega \in A\cap \overline{B} \\ \hline \text{Si $A$ est réalisé, alors $B$ est réalisé} & A \subset B \\ \hline \end{array}\]
De plus, on dit que les événements d’une famille \((A_i)_{i\in I}\) d’événements (\(I\) étant une partie de \(\mathbb{N}\)) sont deux à deux incompatibles si, pour tout couple \((i,j)\) d’éléments distincts de \(I\), on a : \(A_i\cap A_j=\varnothing\).
Exemples
Si l’expérience consiste à effectuer un lancer d’un dé cubique usuel et que l’on choisit pour univers des possibles \(\Omega=\left[\kern-0.15em\left[ {1,6} \right]\kern-0.15em\right]\), \(E=\{1,3,5\}\) est un événement, réalisé si le résultat affiché par le dé est un nombre impair. Son complémentaire est l’événement \(\overline{E}=\{2,4,6\}\), réalisé si le résultat est un nombre pair.
Si \(A\) est l’événement obtenir un résultat pair et \(B\) est l’événement obtenir un résultat inférieur ou égal à \(3\) , alors \(A\cup B=\{1,2,3,4,6\}\) et \(A\cap B=\{2\}\).
Si l’expérience consiste à effectuer deux lancers de pièce et que l’on choisit pour univers des possibles \(\Omega=\{P,F\}^2\), l’événement \(E\) : obtenir deux résultats différents est : \(E=\{(P,F),(F,P)\}\).
Définition
Soit \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega))\) un espace probabilisable.
On dit que deux événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles (ou disjoints) si \(A\cap B =\varnothing\) (autrement dit s’ils ne peuvent se réaliser en même temps),
On dit que les événements de la famille \((A_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) d’éléments de \(\mathcal{P}(\Omega)\) sont deux à deux incompatibles si, pour tout couple \((i,j)\) d’éléments distincts de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(A_i\) et \(A_j\) sont incompatibles.
Système complet d’événements
Définition
Soit \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega))\) un espace probabilisable.
On appelle système complet d’événements toute famille \((A_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) (où \(n\in\mathbb{N}^\ast\)) formée d’éléments de \(\mathcal{P}(\Omega)\) et vérifiant :
\(\forall (i,j)\in I^2,\ i\neq j\Rightarrow A_i\cap A_j=\varnothing\)
\(\displaystyle\bigcup_{i=1}^nA_i=\Omega\)
Exemple
On considère une expérience aléatoire consistant à effectuer trois lancers de pièces et on choisit pour univers des possibles \(\Omega=\{P,F\}^3\) On envisage les événements \(A_k\) : on obtient exactement \(k\) fois pile , pour \(0\leqslant k\leqslant 3\). Alors \((A_0,A_1,A_2,A_3)\) est un système complet d’événements.