Rappels élémentaires : les règles de calcul
Addition et multiplications dans une égalité
Proposition
Soit \(a,b,c\) trois réels quelconques. On a :
\(a=b \Longleftrightarrow a+c=b+c\)
\(a=b \Longrightarrow ac=bc\)
et même, si \(c\neq 0\) :
\(a=b \Longleftrightarrow ac=bc\)
\(a=b \Longleftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}\)
Remarques
On pourra retenir que si l’on ajoute (ou retranche) un nombre quelconque des deux côtés d’une équation, on obtient une équation équivalente.
De même, on retiendra que si l’on multiplie (ou divise) les deux côtés d’une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente.
La proposition suivante en est une conséquence immédiate :
Proposition
Soit \(a,b,c,d\) des réels quelconques. On a :
\(\begin{cases} a=b \\ c=d \end{cases} \Longrightarrow a+c=b+d\)
\(\begin{cases} a=b \\ c=d \end{cases} \Longrightarrow ac=bd\)
Addition et multiplications dans une inégalité
Proposition
Soit \(a,b,c\) trois réels quelconques. On a :
\(a \leqslant b \Longleftrightarrow a+c \leqslant b+c\)
si \(c > 0\) : \(a \leqslant b \Longleftrightarrow ac \leqslant bc\)
si \(c < 0\) : \(a \leqslant b \Longleftrightarrow ac \geqslant bc\)
Remarque
On pourra retenir que si l’on ajoute (ou retranche) un nombre quelconque des deux côtés d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente.
De même, on retiendra que :
si l’on multiplie (ou divise) les deux côtés d’une équation par un même nombre strictement positif, on obtient une équation équivalente en conservant l’ordre,
si l’on multiplie (ou divise) les deux côtés d’une équation par un même nombre strictement négatif, on obtient une équation équivalente en changeant l’ordre.
On en déduit les résultats suivants :
Proposition
Soit \(a,b,c\) trois réels quelconques. On a :
\(\begin{cases} a \leqslant b \\ c \leqslant d \end{cases} \Longrightarrow a+c \leqslant b+d\)
\(\begin{cases} 0 \leqslant a \leqslant b \\ 0 \leqslant c \leqslant d \end{cases} \Longrightarrow ac \leqslant bd\)
\(0< a\leqslant b \Longrightarrow \dfrac{1}{b} \leqslant \dfrac{1}{a}\)
Remarque
ATTENTION !!! Si l’on peut ajouter deux inégalités entre réels et multiplier deux inégalités entre réels positifs, on ne fera pas de soustraction ou de division.
Factorisation et développement
La factorisation étant à la base de la plupart des méthodes de résolution d’équations ou d’inéquations, on rappelle ici les formules les plus utiles, qui doivent être parfaitement maîtrisées :
Proposition
Pour tous réels \(a,b,c,d\), on a :
\(a\left(b+c \right) = ab+ac\)
\(\left(a+b \right) \left(c+d \right) = ac+ad+bc+bd\)
\(\left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2\)
\(\left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2\)
\(a^2-b^2= \left(a+b\right)\left(a-b\right)\)
\(a^3 -b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Composition par une fonction
Proposition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \((a,b)\) un couple d’éléments de \(I\).
Si \(f\) est croissante sur \(I\), alors : \[\begin{gathered} a=b \Longrightarrow f(a)=f(b) \\ a\leqslant b \Longrightarrow f(a) \leqslant f(b) \\ a<b \Longrightarrow f(a) \leqslant f(b) \end{gathered}\]
Si \(f\) est strictement croissante sur \(I\), alors : \[\begin{gathered} a=b \Longleftrightarrow f(a) = f(b) \\ a\leqslant b \Longleftrightarrow f(a) \leqslant f(b) \\ a<b \Longleftrightarrow f(a) < f(b) \end{gathered}\]
Si \(f\) est décroissante sur \(I\), alors : \[\begin{gathered} a=b \Longrightarrow f(a) = f(b) \\ a\leqslant b \Longrightarrow f(a) \geqslant f(b) \\ a<b \Longrightarrow f(a) \geqslant f(b) \end{gathered}\]
Si \(f\) est strictement décroissante sur \(I\), alors : \[\begin{gathered} a=b \Longleftrightarrow f(a) = f(b) \\ a\leqslant b \Longleftrightarrow f(a) \geqslant f(b) \\ a<b \Longleftrightarrow f(a) > f(b) \end{gathered}\]
Remarque
Noter que, lorsque la fonction \(f\) est strictement monotone, il y a équivalence, ce qui n’est pas le cas lorsque la fonction n’est que monotone au sens large. En pratique, dans la résolution d’équations ou d’inéquations, c’est donc le plus souvent la stricte monotonie qui sera utilisée.