Produits finis, factorielles
Produits finis
Définition
Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers relatifs tels que \(p \leqslant n\) et si \(x_p,x_{p+1},\dots, x_n\) sont \(n-p+1\) éléments de \(E\) , on note : \[\prod_{i=p}^n x_i = x_p\times x_{p+1} \times \cdots \times x_n\]
Le \(i\) intervenant dans la somme est appelé indice du produit.
Plus généralement, si \(I\) est une partie finie de \(\mathbb{Z}\) et si \((x_i)_{i\in I}\) est une famille d’éléments de \(E\) , on note \(\displaystyle\prod_{i\in I} x_i\) le produit de tous les éléments de la famille \((x_i)_{i\in I}\) .
Remarque
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En général, on convient de noter \(\displaystyle\prod_{i=p}^n x_i=1\) si \(p>n\) .
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Le lecteur remarquera que les résultats sur le changement d’indices, vus pour les sommes finies, sont encore valables dans le cas des produits finis.
Factorielles et combinaisons
Notation
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note : \[n!=\prod_{k=1}^n k = 1\times 2\times \cdots \times n\]
Si \(n=0\) , on convient de noter : \(0!=1\) .
Exemple
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\(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) et \(5! = 5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) .
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Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers naturels tels que \(p<n\) , on a : \[\begin{aligned} (2n)(2n-2)\cdots (2p+2) &=\prod_{k=p+1}^n (2k)\\ &= 2^{n-p} \,\prod_{k=p+1}^n k\\ &= 2^{n-p}\,\frac{n!}{p!} \end{aligned}\]
En particulier, si \(p=0\) , on a : \[(2n)(2n-2)\cdots 4\times 2= 2^n \,n!\]
Notation
Pour tout couple \((n,p)\) d’entiers naturels, on note : \[\binom np = \begin{cases} \dfrac{n!}{p! \left( n-p \right)!} &\text{si } p\leqslant n \\ \hspace{0.7cm} 0 &\text{si } p>n \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Proposition
propbino Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers naturels quelconques, alors :
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Si \(0\leqslant p\leqslant n\) : \(\displaystyle\binom np=\binom n{n-p}\)
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Si \(n\geqslant 1\) et \(p\geqslant 1\) , alors : \(\displaystyle\binom np=\frac{n}{p}\binom {n-1}{p-1}\)
Remarque
Comme il y a souvent des doutes sur la deuxième formule, il est important de savoir la retrouver rapidement.
Exercice
Démontrer la proposition
Solution
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Par définition, si \(0\leqslant p \leqslant n\) , on a : \[\binom np=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}=\frac{n!}{(n-(n-p))!\,(n-p)!}=\binom n{n-p}\]
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Par définition, on a, si \(n\geqslant 1\) et \(p\geqslant 1\) : \[\binom np=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}=\frac{n}{p}\times \frac{(n-1)!}{(p-1)!\,((n-1)-(p-1))!}=\frac{n}{p}\,\binom{n-1}{p-1}\]
Proposition – Formule du triangle de Pascal
Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers naturels quelconques, alors : \[\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p+1}+\binom np\]
Exercice
Démontrer la formule du triangle de Pascal.
Solution
Par définition, on a, si \(0\leqslant p\leqslant p+1\leqslant n\) : \[\begin{aligned} \binom n{p+1}+\binom np &= \frac{n!}{(p+1)!\,(n-p-1)!}+\frac{n!}{p!\,(n-p)!}\\ &=\frac{n!\,[(n-p)+(p+1)]}{(p+1)!\,(n-p)!}\\ &= \frac{(n+1)!}{(p+1)!\,((n+1)-(p+1))!}\\ &=\binom{n+1}{p+1} \end{aligned}\]
De plus, si \(p>n\) , on a : \[\binom n{p+1}=\binom np=\binom {n+1}{p+1}=0\]
donc on a encore : \[\binom n{p+1}+\binom np = \binom{n+1}{p+1}\]
Enfin, si \(n=p\) , on a : \[\binom n{p+1}=0 \quad\text{et}\quad\binom np=\binom {n+1}{p+1}=1\]
donc on a encore une fois : \[\binom n{p+1}+\binom np = \binom{n+1}{p+1}\]
Théorème – Formule du binôme de Newton
Pour tout couple \((a,b)\) de réels et pour tout entier naturel \(n\) , on a : \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k\, b^{n-k}\]
Remarque
En particulier, on a donc : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{p=0}^n \binom np=\binom n0+\binom n1+\cdots +\binom nn=2^n\]
Exercice
Démontrer la formule du binôme de Newton (on pourra raisonner par récurrence sur \(n\) ).
Solution
Soit \((a,b)\) un couple de nombres réels. Montrons par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) , la proposition \[\mathscr P(n):\text{ \og } (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n-k} \text{ \fg}\] est vraie.
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Par convention, on a : \[(a+b)^0=1 \quad\text{et}\quad\sum_{k=0}^0 \binom 0k\,a^k\,b^{0-k}=a^0\,b^0=1\] donc \(\mathscr P(0)\) est vraie.
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Soit \(n\in\mathbb{N}\) . Supposons que \(\mathscr P(n)\) soit vraie. On a alors : \[\begin{aligned} (a+b)^{n+1} &= (a+b)(a+b)^n\\ &= (a+b)\,\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^n \binom nk\,a^{k+1}\,b^{n-k}+\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n-k+1} \end{aligned}\] et donc, en faisant le changement d’indice \(k:=k+1\) dans la première somme : \[\begin{aligned} (a+b)^{n+1} &= \sum_{k=1}^{n+1} \binom n{k-1}\,a^{k}\,b^{n+1-k}+\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n+1-k}\\ &= \sum_{k=1}^{n+1} \left[\binom n{k-1}+\binom nk\right] a^{k}\,b^{n+1-k}+b^{n+1}-\binom n{n+1} a^{n+1} \end{aligned}\] et alors, d’après la formule du triangle de Pascal et en remarquant que \(\displaystyle\binom n{n+1} =0\) : \[\begin{aligned} (a+b)^{n+1} &= \sum_{k=1}^{n+1} \binom {n+1}k\,a^{k}\,b^{n+1-k}+b^{n+1}\\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom {n+1}k\,a^{k}\,b^{n+1-k}. \end{aligned}\] Finalement, on a prouvé : \(\mathscr P(n)\Rightarrow \mathscr P(n+1)\) .
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Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) , \(\mathscr P(n)\) est vraie, et donc :
pt \[\boxed{\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ \forall n \in \mathbb{N},\ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n-k}}\]