Produits finis, factorielles

Produits finis

Définition

Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers relatifs tels que \(p \leqslant n\) et si \(x_p,x_{p+1},\dots, x_n\) sont \(n-p+1\) éléments de \(E\) , on note : \[\prod_{i=p}^n x_i = x_p\times x_{p+1} \times \cdots \times x_n\]

Le \(i\) intervenant dans la somme est appelé indice du produit.

Plus généralement, si \(I\) est une partie finie de \(\mathbb{Z}\) et si \((x_i)_{i\in I}\) est une famille d’éléments de \(E\) , on note \(\displaystyle\prod_{i\in I} x_i\) le produit de tous les éléments de la famille \((x_i)_{i\in I}\) .

Remarque
  • En général, on convient de noter \(\displaystyle\prod_{i=p}^n x_i=1\) si \(p>n\) .

  • Le lecteur remarquera que les résultats sur le changement d’indices, vus pour les sommes finies, sont encore valables dans le cas des produits finis.

Factorielles et combinaisons

Notation

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note : \[n!=\prod_{k=1}^n k = 1\times 2\times \cdots \times n\]

Si \(n=0\) , on convient de noter : \(0!=1\) .

Exemple
  • \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) et \(5! = 5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) .

  • Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers naturels tels que \(p<n\) , on a : \[\begin{aligned} (2n)(2n-2)\cdots (2p+2) &=\prod_{k=p+1}^n (2k)\\ &= 2^{n-p} \,\prod_{k=p+1}^n k\\ &= 2^{n-p}\,\frac{n!}{p!} \end{aligned}\]

    En particulier, si \(p=0\) , on a : \[(2n)(2n-2)\cdots 4\times 2= 2^n \,n!\]

Notation

Pour tout couple \((n,p)\) d’entiers naturels, on note : \[\binom np = \begin{cases} \dfrac{n!}{p! \left( n-p \right)!} &\text{si } p\leqslant n \\ \hspace{0.7cm} 0 &\text{si } p>n \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

Proposition

propbino Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers naturels quelconques, alors :

  • Si \(0\leqslant p\leqslant n\) : \(\displaystyle\binom np=\binom n{n-p}\)

  • Si \(n\geqslant 1\) et \(p\geqslant 1\) , alors : \(\displaystyle\binom np=\frac{n}{p}\binom {n-1}{p-1}\)

Remarque

Comme il y a souvent des doutes sur la deuxième formule, il est important de savoir la retrouver rapidement.

Exercice

Démontrer la proposition

Solution
  • Par définition, si \(0\leqslant p \leqslant n\) , on a : \[\binom np=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}=\frac{n!}{(n-(n-p))!\,(n-p)!}=\binom n{n-p}\]

  • Par définition, on a, si \(n\geqslant 1\) et \(p\geqslant 1\) : \[\binom np=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}=\frac{n}{p}\times \frac{(n-1)!}{(p-1)!\,((n-1)-(p-1))!}=\frac{n}{p}\,\binom{n-1}{p-1}\]

Proposition – Formule du triangle de Pascal

Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers naturels quelconques, alors : \[\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p+1}+\binom np\]

Exercice

Démontrer la formule du triangle de Pascal.

Solution

Par définition, on a, si \(0\leqslant p\leqslant p+1\leqslant n\) : \[\begin{aligned} \binom n{p+1}+\binom np &= \frac{n!}{(p+1)!\,(n-p-1)!}+\frac{n!}{p!\,(n-p)!}\\ &=\frac{n!\,[(n-p)+(p+1)]}{(p+1)!\,(n-p)!}\\ &= \frac{(n+1)!}{(p+1)!\,((n+1)-(p+1))!}\\ &=\binom{n+1}{p+1} \end{aligned}\]

De plus, si \(p>n\) , on a : \[\binom n{p+1}=\binom np=\binom {n+1}{p+1}=0\]

donc on a encore : \[\binom n{p+1}+\binom np = \binom{n+1}{p+1}\]

Enfin, si \(n=p\) , on a : \[\binom n{p+1}=0 \quad\text{et}\quad\binom np=\binom {n+1}{p+1}=1\]

donc on a encore une fois : \[\binom n{p+1}+\binom np = \binom{n+1}{p+1}\]

Théorème – Formule du binôme de Newton

Pour tout couple \((a,b)\) de réels et pour tout entier naturel \(n\) , on a : \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k\, b^{n-k}\]

Remarque

En particulier, on a donc : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{p=0}^n \binom np=\binom n0+\binom n1+\cdots +\binom nn=2^n\]

Exercice

Démontrer la formule du binôme de Newton (on pourra raisonner par récurrence sur \(n\) ).

Solution

Soit \((a,b)\) un couple de nombres réels. Montrons par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) , la proposition \[\mathscr P(n):\text{ \og } (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n-k} \text{ \fg}\] est vraie.

  • Par convention, on a : \[(a+b)^0=1 \quad\text{et}\quad\sum_{k=0}^0 \binom 0k\,a^k\,b^{0-k}=a^0\,b^0=1\] donc \(\mathscr P(0)\) est vraie.

  • Soit \(n\in\mathbb{N}\) . Supposons que \(\mathscr P(n)\) soit vraie. On a alors : \[\begin{aligned} (a+b)^{n+1} &= (a+b)(a+b)^n\\ &= (a+b)\,\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^n \binom nk\,a^{k+1}\,b^{n-k}+\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n-k+1} \end{aligned}\] et donc, en faisant le changement d’indice \(k:=k+1\) dans la première somme : \[\begin{aligned} (a+b)^{n+1} &= \sum_{k=1}^{n+1} \binom n{k-1}\,a^{k}\,b^{n+1-k}+\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n+1-k}\\ &= \sum_{k=1}^{n+1} \left[\binom n{k-1}+\binom nk\right] a^{k}\,b^{n+1-k}+b^{n+1}-\binom n{n+1} a^{n+1} \end{aligned}\] et alors, d’après la formule du triangle de Pascal et en remarquant que \(\displaystyle\binom n{n+1} =0\) : \[\begin{aligned} (a+b)^{n+1} &= \sum_{k=1}^{n+1} \binom {n+1}k\,a^{k}\,b^{n+1-k}+b^{n+1}\\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom {n+1}k\,a^{k}\,b^{n+1-k}. \end{aligned}\] Finalement, on a prouvé : \(\mathscr P(n)\Rightarrow \mathscr P(n+1)\) .

  • Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) , \(\mathscr P(n)\) est vraie, et donc :

pt \[\boxed{\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ \forall n \in \mathbb{N},\ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk\,a^k\,b^{n-k}}\]