Opérations sur les ensembles
Union d’ensembles
Définition
Si \(F\) et \(G\) sont deux ensembles, on appelle réunion ou union de \(F\) et de \(G\) l’ensemble, noté \(F\cup G\) , formé en réunissant les éléments qui appartiennent à \(F\) et ceux qui appartiennent à \(G\) ; autrement dit : \[F\cup G=\{x \ / \ x\in F\text{ ou } x\in G\}\]
Plus généralement, si \(I\) est une partie (finie ou infinie) de \(\mathbb{N}\) et si \((F_i)_{i\in I}\) est une famille d’ensembles, la réunion de ces ensembles est l’ensemble \(\displaystyle\bigcup_{i\in I} F_i\) formé par les éléments appartenant à au moins l’un des ensembles \(F_i\) ; autrement dit : \[\bigcup_{i\in I} F_i=\{x \ / \ \exists\,i\in I \text{ tq } x\in F_i\}\]
Remarque
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Un élément \(x\) appartient à \(F \cup G\) s’il appartient à \(F\) ou à \(G\) (ou au deux).
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Plus généralement, un élément \(x\) appartient à \(\bigcup\limits_{i\in I} F_i\) s’il existe \(i\in I\) tel que \(x\) appartienne à \(F_i\) .
Exemples
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Si \(F= \left] -1,2 \right]\) et \(G=[0,3]\) , alors : \(F\cup G= \left]-1,3 \right]\) .
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Si, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\) , \(\displaystyle F_k=\left]\frac{1}{k},2-\frac{1}{k}\right[\) , alors : \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{+\infty}F_k= \left] 0,2 \right[\) .
Proposition
Étant donnés trois ensembles \(F\) , \(G\) et \(H\) , on a :
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\(F\cup G=G\cup F\) (la réunion est commutative),
-
\(F\cup (G\cup H)=(F\cup G)\cup H\) (la réunion est associative),
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\(F\cup \varnothing=\varnothing\cup F=F\) ( \(\varnothing\) est l’élément neutre de la réunion),
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si \(F\subset G\) , alors : \(F\cup G=G\) .
Intersection d’ensembles
Définition
Si \(F\) et \(G\) sont deux ensembles, on appelle intersection de \(F\) et de \(G\) l’ensemble, noté \(F\cap G\) , formé par les éléments qui appartiennent à la fois à \(F\) et à \(G\) ; autrement dit : \[F\cap G=\{x \ / \ x\in F\text{ et } x\in G\}\] Plus généralement, si \(I\) est une partie (finie ou infinie) de \(\mathbb{N}\) et si \((F_i)_{i\in I}\) est une famille d’ensembles, l’intersection de ces ensembles est l’ensemble \(\displaystyle\bigcap_{i\in I} F_i\) formé par les éléments appartenant à tous les ensembles \(F_i\) ; autrement dit : \[\bigcap_{i\in I} F_i=\{x \ / \ \forall i\in I,\ x\in F_i\}\]
Remarque
-
Un élément \(x\) appartient à \(F \cap G\) s’il appartient à \(F\) et à \(G\) .
-
Plus généralement, un élément \(x\) appartient à \(\bigcup\limits_{i\in I} F_i\) s’il appartient à \(F_i\) pour tout \(i\in I\) .
Exemples
-
Si \(F= \left] -1,2 \right]\) et \(G=[0,3]\) , alors : \(F\cap G=[0,2]\) .
-
Si, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\) , \(\displaystyle F_k=\left[-\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}\right]\) , alors : \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{+\infty}F_k=[0,1]\) .
Proposition
Étant donnés trois ensembles \(F\) , \(G\) et \(H\) , on a :
-
\(F\cap G=G\cap F\) (l’intersection est commutative),
-
\(F\cap (G\cap H)=(F\cap G)\cap H\) (l’intersection est associative),
-
\(F\cap \varnothing=\varnothing\cap F=\varnothing\) ,
-
si \(F\subset G\) , alors : \(F\cap G=F\) .
Définition
On dit que deux ensembles \(E\) et \(F\) sont disjoints s’ils n’ont aucun éléments commun ; autrement dit : \[E \text{ et } F \text{ sont disjoints} \Longleftrightarrow E\cap F=\varnothing\] Plus généralement, si \(I\) est une partie (finie ou infinie) de \(\mathbb{N}\) et si \((F_i)_{i\in I}\) est une famille d’ensembles, on dit que les ensembles de la famille \((F_i)_{i\in I}\) sont deux à deux disjoints si : \[\forall (i,j)\in I^2,\ i\neq j\Longrightarrow F_i\cap F_j=\varnothing\]
Propriétés de l’union et de l’intersection
Proposition
La réunion est distributive par rapport à l’intersection ; l’intersection est distributive par rapport à la réunion. Autrement dit, étant donnés trois ensembles \(F\) , \(G\) et \(H\) , on a :
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\((F\cap G)\cup H=(F\cup H)\cap (G\cup H)\) ,
-
\((F\cup G)\cap H=(F\cap H)\cup (G\cap H)\) .
Preuve
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On procède par double inclusion.
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Soit \(x\in (F\cap G)\cup H\) . Deux cas sont possibles :
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Soit \(x\in F\cap G\) . Alors \(x\) appartient à \(F\) , donc à \(F\cup H\) . De même, \(x\) appartient à \(G\) , donc à \(G\cup H\) . Finalement, \(x\) appartient à \(F\cup H\) et à \(G\cup H\) , donc : \(x\in (F\cup H)\cap (G\cup H)\) .
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Soit \(x\) appartient à \(H\) , et alors \(x\) appartient à \(F\cup H\) ainsi qu’à \(G\cup H\) , donc : \(x\in (F\cup H)\cap (G\cup H)\) . De ces deux cas, on peut déduire : \[(F\cap G)\cup H\subset (F\cup H)\cap (G\cup H)\]
-
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Soit \(x\in (F\cup H)\cap (G\cup H)\) . \(x\) appartient donc à \(F\cup H\) et à \(G\cup H\) . Deux cas sont possibles :
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Soit \(x\in H\) , et alors \(x\) appartient à \((F\cap G)\cup H\) .
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Soit \(x\notin H\) , et alors \(x\) appartient à \(F\) et à \(G\) , donc à \(F\cap G\) , et donc à \((F\cap G)\cup H\) . De ces deux cas, on peut déduire : \[(F\cup H)\cap (G\cup H) \subset (F\cap G)\cup H\]
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Finalement, par double inclusion on a l’égalité attendue.
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Exercice
Démontrer le second point de la proposition précédente.
Solution
On procède par double inclusion.
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Soit \(x\in (F\cup G)\cap H\) . Alors \(x\) appartient à \(F\cup G\) et à \(H\) . Deux cas sont possibles :
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Soit \(x\in F\) , et alors \(x\) appartient à \((F\cap H)\) , donc à \((F\cap H) \cup (G\cap H)\) .
-
Soit \(x\in G\) , et alors \(x\) appartient à \((G\cap H)\) , donc à \((F\cap H) \cup (G\cap H)\) . De ces deux cas, on peut déduire : \[(F\cup G)\cap H \subset (F\cap H)\cup (G\cap H)\]
-
-
Soit \(x\in (F\cap H)\cup (G\cap H)\) . \(x\) appartient donc à \(F\cap H\) ou à \(G\cap H\) . Deux cas sont possibles :
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Soit \(x\in (F\cap H)\) , et alors \(x\) appartient à \(F\) , donc à \(F\cup G\) , ainsi qu’à \(H\) , donc \(x\) appartient à \((F\cup G)\cap H\) .
-
Soit \(x\notin (G\cap G)\) , et alors \(x\) appartient à \(G\) , donc à \(F\cup G\) , ainsi qu’à \(H\) , donc \(x\) appartient à \((F\cup G)\cap H\) . De ces deux cas, on peut déduire : \[(F\cap H)\cup (G\cap H) \subset (F\cup G)\cap H\]
-
Finalement, par double inclusion on a l’égalité attendue.
Théorème – Lois de Morgan
Étant donnés deux parties \(F\) et \(G\) d’un même ensemble \(E\) , on a : \[\overline{F\cup G} =\overline{F}\cap \overline{G} \quad\text{et}\quad\overline{F\cap G} =\overline{F}\cup \overline{G}\] Plus généralement, si \(I\) est une partie de \(\mathbb{N}\) et si \((F_i)_{i\in I}\) est une famille de parties d’un même ensemble \(E\) , on a : \[\overline{\bigcup_{i\in I} F_i}=\bigcap_{i\in I} \overline{F_i} \quad\text{et}\quad\overline{\bigcap_{i\in I} F_i}=\bigcup_{i\in I} \overline{F_i}\]
Preuve
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Par définition, on a : \[\begin{aligned} \overline{F\cup G} &=\left\lbrace x \in E \ / \ x \notin (F\cup G)\right\rbrace\\ &= \left\lbrace x \in E \ / \ x \notin F \text{ et } x\notin G\right\rbrace\\ &= \left\lbrace x \in E \ / \ x \in \overline{F} \text{ et } x\in \overline{G}\right\rbrace\\ &= \overline{F} \cap \overline{G} \end{aligned}\]
-
De même, on a : \[\begin{aligned} \overline{F\cap G} &=\left\lbrace x \in E \ / \ x \notin (F\cap G)\right\rbrace\\ &= \left\lbrace x \in E \ / \ x \notin F \text{ ou } x\notin G\right\rbrace\\ &= \left\lbrace x \in E \ / \ x \in \overline{F} \text{ ou } x\in \overline{G}\right\rbrace\\ &= \overline{F} \cup \overline{G} \end{aligned}\]
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Les généralisations se démontrent de manière analogue.
Produit cartésien d’ensembles
Définition
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Si \(F\) et \(G\) sont deux ensembles, on appelle produit cartésien de \(F\) et de \(G\) l’ensemble, noté \(F\times G\) , formé par les couples \((x,y)\) où \(x\) est un élément de \(F\) et \(y\) est un élément de \(G\) : \[F\times G=\{(x,y) \ / \ x\in F\text{ et } y\in G\}\] Si \(F=G\) , on note plus simplement : \(F^2=F\times F\) .
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Si \(F\) et \(G\) sont deux ensembles, on appelle produit cartésien de \(F\) et de \(G\) l’ensemble, noté \(F\times G\) , formé par les couples \((x,y)\) où \(x\) est un élément de \(F\) et \(y\) est un élément de \(G\) : \[F\times G=\{(x,y) \ / \ x\in F\text{ et } y\in G\}\] Si \(F=G\) , on note plus simplement : \(F^2=F\times F\) .
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Si \(F_1,\dots,F_n\) sont \(n\) ensembles ( \(n\) désignant un entier supérieur ou égal à \(2\) ), on note \(F_1\times F_2\times \cdots \times F_n\) l’ensemble des \(n\) -uplets \((x_1,x_2,\dots,x_n)\) tels que \(x_i\in F_i\) pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[F_1\times F_2\times \cdots \times F_n=\{(x_1,\dots,x_n)\ / \ \forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ x_i\in F_i\}\] Si \(F_1=F_2=\cdots=F_n\) , on note plus simplement : \(F_1\times \cdots\times F_n=F^n\) .
Remarque
Attention, la notion d’ordre dans le couple \((x,y)\) de \(F\times G\) est importante, et les ensembles \(F\times G\) et \(G\times F\) ne sont a priori pas égaux. Par exemple, si \(F\) est l’ensemble des entiers naturels pairs et \(G\) est l’ensemble des entiers naturels impairs, le couple \((2,1)\) appartient à \(F\times G\) , mais pas à \(G\times F\) .
Exemple
Si \(n\) est un entier naturel non nul, \(\mathbb{R}^n\) désigne l’ensemble des \(n\) -uplets de réels. En particulier, \(\mathbb{R}^2\) , qui est l’ensemble des couples de réels, peut être assimilé au plan (lorsqu’il est muni d’un repère).
Définition
Si \(F_1,\dots,F_n\) sont \(n\) ensembles ( \(n\in\mathbb{N}^\ast\) ), alors, pour tout \(x=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) et \(y=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) appartenant à \(F_1\times \cdots \times F_n\) , on dit que \(x=y\) lorsque \(x_i=y_i\) pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) .
Définition
Si \(n\) est un entier naturel non nul, on définit sur \(\mathbb{R}^n\) les opérations suivantes :
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l’addition : pour tout \(x=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) et \(y=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) appartenant à \(\mathbb{R}^n\) , on note \(x+y\) l’élément de \(\mathbb{R}^n\) défini par : \[x+y=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}+(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}=(x_i+y_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\]
-
la multiplication par un réel : pour tout \(x=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) appartenant à \(\mathbb{R}^n\) et pour tout réel \(\alpha\) , on note \(\alpha\cdot x\) ou plus simplement \(\alpha x\) l’élément de \(\mathbb{R}^n\) défini par : \[\alpha x=(\alpha x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\]
Proposition
Pour tout triplet \((x,y,z)\) d’éléments de \(\mathbb{R}^n\) , on a :
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\(x+y=y+x\) (l’addition est commutative),
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\((x+y)+z=x+(y+z)\) (l’addition est associative),
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\(\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y\) (la mutliplication par un réel est distributive par rapport à l’addition).
Remarque
Ces résultats découlent immédiatement des propriétés de l’addition et de la multiplication de réels.
Exercice
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On considère les ensembles \(A=\{1,2,4,6\}\) et \(B=\{0,1,4\}\) .
Préciser les ensembles \(A \cup B,A\cap B\) et \(A\times B\) .
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On considère les ensembles \(C=\left[0,6\right]\) et \(D=\left[-1,2\right]\) .
Préciser les ensembles \(C \cup D,C\cap D\) et \(C\times D\) .
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Déterminer le complémentaire dans \(E=\mathbb{R}\) des ensembles \(F=\left[0,{+\infty}\right[, G=\left[0,1 \right]\) et \(H=\left] {-\infty},-1 \right[ \cup \left[2,3\right]\) .
Solution
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On a immédiatement :
\(A\cup B = \{0,1,2,4,6\},\ A\cap B=\{1\},\)
\(A\times B= \{ (1,0),(1,1),(1,4),(2,0),(2,1),(2,4),(4,0),(4,1),(4,4),(6,0),(6,1),(6,4) \}\)
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On a immédiatement : \[\boxed{C\cup D =\left[-1,6 \right],\ C\cap D= \left[0,2\right],\ C\times D=\left\lbrace (x,y) \ / \ x\in \left[0,6\right] \ \text{et } y\in\left[-1,2 \right]\right\rbrace}\]
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On a directement : \[\boxed{\overline{F}=\left]{-\infty},0\right[,\ \overline{G}=\left]{-\infty},0\right[ \cup \left]1,{+\infty}\right[,\ \overline{H}=\left[-1,2\right[ \cup \left]3,{+\infty}\right[}\]