L’ensemble R des nombres réels
Les résultats de ce paragraphe sont admis.
Notation
On adopte les notations suivantes :
-
\(\mathbb{R}\) désigne l’ensemble des nombres réels,
-
\(\mathbb{R}^\ast\) désigne l’ensemble des réels non nuls,
-
\(\mathbb{R}^+\) désigne l’ensemble des réels positifs ou nuls,
-
\(\mathbb{R}_+^\ast\) désigne l’ensemble des réels strictement positifs,
-
\(\mathbb{R}^-\) désigne l’ensemble des réels négatifs ou nuls,
-
\(\mathbb{R}_-^\ast\) désigne l’ensemble des réels strictement négatifs.
Définition
Soit \(P\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) .
-
On dit que \(P\) est majorée s’il existe un réel \(M\) tel que : \(\forall x\in P,\ x\leqslant M\) . Un tel réel \(M\) (non unique) est alors appelé majorant de \(P\) .
-
On dit que \(M\) est le maximum de \(P\) si \(M\) est un majorant de \(P\) et si \(M\) appartient à \(P\) .
-
On dit que \(P\) est minorée s’il existe un réel \(m\) tel que : \(\forall x\in P,\ x\geqslant m\) . Un tel réel \(m\) (non unique) est alors appelé minorant de \(P\) .
-
On dit que \(m\) est le minimum de \(P\) si \(m\) est un minorant de \(P\) et si \(m\) appartient à \(P\) .
Théorème
Soit \(P\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) .
-
Si \(P\) est majorée, alors elle admet un plus petit majorant \(M\) , unique. Ce réel est noté \(\sup P\) et est appelé borne supérieure de \(P\) .
-
Si \(P\) est minorée, alors elle admet un plus grand minorant \(m\) , unique. Ce réel est noté \(\inf P\) et est appelé borne inférieure de \(P\) .
Remarques
-
Ce résultat est admis.
-
Attention à ne pas confondre borne supérieure et maximum (ou borne inférieure et minimum) d’une partie \(P\) de \(\mathbb{R}\) .
Par exemple, si \(P=\,]0,1[\) , \(P\) a une borne supérieure (égale à \(1\) ) et une borne inférieure (égale à \(0\) ), mais n’a ni maximum, ni minimum.
-
En revanche, on peut remarquer que, lorsque \(P\) est une partie de \(\mathbb{R}\) admettant un maximum \(M\) (respectivement un minimum \(m\) ), alors \(M\) (resp. \(m\) ) est aussi la borne supérieure (resp. inférieure) de \(P\) .
Théorème
Tout partie non vide de \(\mathbb{N}\) admet un plus petit élément ( i.e. un minimum).
Toute partie finie non vide de \(\mathbb{N}\) admet un plus grand élément ( i.e. un maximum).