Injectivité, surjectivité, bijectivité
Injectivité
Définition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) , on dit que \(f\) est injective si tout élément de \(F\) admet au plus un antécédent par \(f\) , c’est-à-dire si : \[\forall (x,x’)\in E^2,\ f(x)=f(x’) \Longrightarrow x=x’\] Dans ce cas, on dit aussi que \(f\) est une injection de \(E\) dans \(F\) .
Remarques
-
Il est essentiel de connaître parfaitement cette définition, sans chercher à modifier les termes ni en oublier. Il en sera de même pour les définitions suivantes.
-
On peut remarquer que, par contraposée, une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) est injective si et seulement si : \[\forall (x,x’)\in E^2,\ x\neq x’ \Longrightarrow f(x)\neq f(x’)\]
Exemples
-
L’application \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\) est injective de \(\mathbb{R}^\ast\) dans \(\mathbb{R}^\ast\) .
-
La fonction valeur absolue n’est pas injective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) puisque \(\left| -2 \right|=\left| 2 \right|\) et \(-2\neq 2\) .
Surjectivité
Définition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) , on dit que \(f\) est surjective de \(E\) sur \(F\) si tout élément de \(F\) admet au moins un antécédent par \(f\) , c’est-à-dire si : \[\forall y\in F,\ \exists\,x\in E \ / \ y=f(x)\] Dans ce cas, on dit aussi que \(f\) est une surjection de \(E\) dans \(F\) .
Remarque
On peut remarquer que, si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) , il est équivalent de dire que \(f\) est surjective de \(E\) sur \(F\) et que \(f(E)=F\) .
Exemples
-
L’application \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\) est surjective de \(\mathbb{R}^\ast\) dans \(\mathbb{R}^\ast\)
-
La fonction valeur absolue est surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}^+\) , mais pas de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) ( \(-3\) , par exemple, n’a pas d’antécédent par cette fonction).
-
La fonction partie entière n’est pas surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) ( \(\pi\) , par exemple, n’a pas d’antécédent par cette fonction), mais elle est surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{Z}\) .
Remarque
Comme en témoigne l’exemple précédent, il est essentiel de ne pas oublier de mentionner l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée pour indiquer qu’une application est surjective : changer l’ensemble d’arrivée, notamment, peut changer le caractère surjectif.
Bijectivité
Définition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) , on dit que \(f\) est bijective de \(E\) sur \(F\) si tout élément de \(F\) admet exactement un antécédent par \(f\) , c’est-à-dire si : \[\forall y\in F,\ \exists!\,x\in E \ / \ y=f(x)\] Dans ce cas, on dit aussi que \(f\) est une bijection de \(E\) dans \(F\) .
Remarque
Une application est donc bijective de \(E\) sur \(F\) si elle est à la fois injective et surjective de \(E\) sur \(F\) .
Définition
Si \(f\) est une application bijective de \(E\) dans \(F\) , on appelle réciproque de \(f\) l’application de \(F\) dans \(E\) , notée \(f^{-1}\) définie par : \[\forall y\in F,\ \forall x\in E,\ f^{-1}(y)=x \Longleftrightarrow y=f(x).\]
Exemple
\(x\mapsto x^2\) est une application bijective de \(\mathbb{R}^+\) sur \(\mathbb{R}^+\) , et sa réciproque est l’application \(x\mapsto \sqrt{x}\) .
Exercice
Démontrer que l’application \(f:x\mapsto x-x^2\) est bijective de \(\mathbb{R}^-\) sur \(\mathbb{R}^-\) et préciser sa réciproque.
Soit
\(y=\mathbb{R}^-\)
. On peut
remarquer que, pour
\(x\in\mathbb{R}^-\)
, on a :
\[f(x)=y \Longleftrightarrow x^2-x+y=0\]
Or on sait que l’équation
\(x^2-x+y=0\)
est une équation du second
degré dont le discriminant est
\(\Delta=1-4y\)
. Comme
\(y\)
est négatif ou nul,
\(\Delta\)
est strictement positif et
l’équation
\(x^2-x+y=0\)
admet deux
solutions réelles, qui sont :
\[x_1=\frac{1-\sqrt{1-4y}}{2} \quad\text{et}\quad
x_2=\frac{1+\sqrt{1-4y}}{2}\]
De plus, on a, comme
\(y\)
est
négatif ou nul :
\[1-4y\geqslant
1\]
et comme la fonction
\(t\mapsto
t^2\)
est croissante sur
\(\mathbb{R}^+\)
:
\[\sqrt{1-4y} \geqslant 1\]
d’où :
\[x_1 \leqslant 0
\quad\text{et}\quad x_2>0\]
ce qui prouve finalement que l’équation
\(f(x)=y\)
admet une unique solution
\(x\)
appartenant à
\(\mathbb{R}^-\)
, qui est
\(\dfrac{1-\sqrt{1-4y}}{2}\)
, ce qui nous
permet de conclure :
En pratique, prouver qu’une application
\(f\)
est bijective de
\(E\)
dans
\(F\)
, on cherche à résoudre, pour tout
\(y\in F\)
fixé, l’équation
\(y=f(x)\)
, d’inconnue
\(x\)
. La bijectivité sera démontrée lorsque,
pour tout
\(y\in F\)
, on aura prouvé
l’existence et l’unicité de la solution
\(x\)
et cette solution sera alors
\(f^{-1}(y)\)
.
On déduit de ces définitions la proposition suivante :
Si
\(f\)
est une
application bijective de
\(E\)
dans
\(F\)
, alors
\(f\circ f^{-1}\)
est l’application identité
sur
\(F\)
et
\(f^{-1} \circ f\)
est l’application identité
sur
\(E\)
.
Si
\(f\)
est une application de
\(E\)
dans
\(F\)
,
\(f\)
est bijective si et seulement s’il existe une application
\(g\)
de
\(F\)
dans
\(E\)
telle que :
\(f\circ g=\operatorname{Id}_F\)
et
\(g\circ f=\operatorname{Id}_E\)
.
Si une telle application
\(g\)
existe, on a alors :
\(f^{-1}=g\)
.
On a vu que, si
\(f\)
est une application bijective de
\(E\)
sur
\(F\)
, alors
\(g=f^{-1}\)
est une application de
\(F\)
dans
\(E\)
telle que :
\(f\circ g=\operatorname{Id}_F\)
et
\(g\circ f=\operatorname{Id}_E\)
. On se
propose maintenant de démontrer la réciproque. On suppose donc qu’il
existe une application
\(g\)
de
\(F\)
dans
\(E\)
telle que :
\(f\circ g=\operatorname{Id}_F\)
et
\(g\circ f=\operatorname{Id}_E\)
.
En utilisant l’égalité
\(f\circ g=
\operatorname{Id}_F\)
, démontrer que
\(f\)
est surjective de
\(E\)
sur
\(F\)
.
En utilisant l’égalité
\(g\circ f=
\operatorname{Id}_E\)
, démontrer que
\(f\)
est injective sur
\(E\)
.
Montrer alors que
\(f\)
est
bijective de
\(E\)
sur
\(F\)
et que sa réciproque est
\(g\)
.
Comme
\(f\circ g=
\operatorname{Id}_F\)
, on a :
\[\begin{aligned}
\label{surj}
\forall y\in F,\ y &=(f\circ g)(y) \nonumber\\
&= f(g(y))
\end{aligned}\]
donc, comme
\(g(y)\)
appartient à
\(E\)
pour tout
\(y\in F\)
:
\[\forall y\in F,\ \exists\, x\in E \ / \
f(x)=y\]
d’où : pt
Soit
\((x,x’)\in E^2\)
. On a
:
\[\begin{aligned}
f(x)=f(x’) &\Longrightarrow (g\circ f)(x)=(g\circ f)(x’)\\
&\Longrightarrow x=x’,
\end{aligned}\]
et donc, comme
\(g\circ
f=\operatorname{Id}_E\)
:
\[f(x)=f(x’) \Longrightarrow x=x’\]
donc :
On a donc prouvé que
\(f\)
est
surjective et injective (donc bijective) de
\(E\)
sur
\(F\)
et l’on peut conclure, comme \( g = g \circ f \circ f^{-1} = f^{-1} \) :
Les deux résultats suivants sont des conséquences immédiates de
cette proposition.
Si
\(f\)
est une bijection de
\(E\)
dans
\(F\)
, alors
\(f^{-1}\)
est une bijection de
\(F\)
dans
\(E\)
et :
\[(f^{-1})^{-1}=f\]
Si
\(f\)
est une bijection de
\(E\)
dans
\(F\)
et si
\(g\)
est une bijection de
\(F\)
dans
\(G\)
, alors
\(g\circ f\)
est une bijection de
\(E\)
dans
\(G\)
et :
\((g\circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}\)
.
Solution
Remarques
Proposition
Théorème
Exercice
Solution
Remarque
Théorème
Théorème