Généralités sur les fonctions et les applications
Dans toute la suite de ce chapitre, \(E\) et \(F\) désignent deux ensembles quelconques.
Fonctions
Définition
On dit que \(f\) est une fonction de \(E\) dans \(F\) si \(f\) est une relation associant à tout élément \(x\) de \(E\) au plus un élément \(y\) de \(F\) . Dans ce cas :
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l’ensemble \(E\) est appelé ensemble de départ de \(f\) ,
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l’ensemble \(F\) est appelé ensemble d’arrivée de \(f\) ,
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si \(y\in F\) , si \(x\in E\) et si \(f\) associe \(y\) à \(x\) , \(y\) est appelé image de \(x\) par \(f\) et on note \(y=f(x)\) ,
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si \(y\in F\) et \(x\in E\) sont tels que \(y=f(x)\) , on dit que \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\) ,
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la partie de \(E\) formée des éléments ayant une image par \(f\) est appelée ensemble de définition de \(f\) , notée \(D_f\) ,
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l’ensemble \(\{f(x),x\in F_f\}\) est appelée ensemble image de \(f\) , noté \(f(E)\) ou parfois \(\mathrm{Im}(f)\) .
Exemple
La fonction \(f:x\mapsto \sqrt{x}\) qui a un réel \(x\) associe sa racine carrée est une fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) , dont l’ensemble de définition est \(\mathbb{R}^+\) . \(4\) est l’image de \(2\) par \(f\) ; \(-3\) et \(3\) sont les antécédents de \(9\) par \(f\) .
Remarques
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Attention à ne pas confondre l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image d’une fonction \(f\) de \(E\) dans \(F\) : un élément de \(F\) n’a pas nécessairement d’antécédent par \(f\) dans \(E\) . En revanche, on a toujours l’inclusion : \(f(E) \subset F\) .
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De même, il est important de faire la distinction entre l’ensemble de départ \(E\) de la fonction \(f\) et l’ensemble de définition \(D_f\) . Un élément de \(E\) n’a pas nécessairement d’image par \(f\) .
Applications
Définition
On dit que \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) si \(f\) est une relation associant à tout élément \(x\) de \(E\) un unique élément \(y\) de \(F\) .
L’ensemble des applications de \(E\) dans \(F\) est noté \(\mathcal{A}(E,F)\) .
Exemple
\(x\mapsto \sqrt{x}\) est une application de \(\mathbb{R}^+\) dans \(\mathbb{R}\) .
Remarque
Ainsi, une application de \(E\) dans \(F\) est une fonction de \(E\) dans \(F\) dont l’ensemble de définition est égal à \(E\) .
Définition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) , l’ensemble \(\{(x,f(x)),x\in E\}\) est appelé graphe de \(f\) .
Définition
On appelle application identité de \(E\) dans \(E\) l’application notée \(\operatorname{Id}_E\) définie par : \[\forall x\in E,\ \operatorname{Id}_E(x)=x\]
Opérations sur les applications
Définition
Soient \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\) , \(f\) et \(g\) deux applications de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) .
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On appelle somme de \(f\) et \(g\) l’application notée \(f+g\) , de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) , définie par : \[\forall x\in D,\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)\]
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On appelle produit de \(f\) par le réel \(a\) l’application notée \(a\,f\) , de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) , définie par : \[\forall x\in D,\ (a\,f)(x)=a\,f(x)\]
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On appelle produit de \(f\) et \(g\) l’application notée \(f\times g\) ou plus simplement \(fg\) , de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) , définie par : \[\forall x\in D,\ (f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\]
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Si \(g\) ne s’annule pas sur \(D\) , on appelle quotient de \(f\) par \(g\) l’application notée \(\dfrac{f}{g}\) , de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) , définie par : \[\forall x\in D,\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\]
Définition
Soit \(G\) un ensemble. Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) et si \(g\) est une application de \(F\) dans \(G\) , on appelle composée de \(f\) par \(g\) , l’application notée \(g\circ f\) (lire \(g\) rond \(f\) ) de \(E\) dans \(G\) définie par : \[\forall x\in E,\ (g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)\]
Exemple
Si \(f\) est l’application \(x\mapsto x^2+1\) , de \(\mathbb{R}\) dans \([1,{+\infty}[\) et \(g\) est l’application \(x\mapsto \sqrt{x}\) , de \(\mathbb{R}^+\) dans \(\mathbb{R}^+\) , alors \(g\circ f\) est l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}^+\) définie par : \[\forall x\in \mathbb{R},\ (g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1}\]
Remarque
Attention, en général, \(g\circ f\) n’est pas égale à \(f\circ g\) . Il est d’ailleurs possibles que l’une des deux existe et pas l’autre.
Exemples
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Si \(f\) est l’application \(x\mapsto x^2\) , de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) , et si \(g\) est l’application \(x\mapsto x+1\) , de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) , alors \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont des applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) , définies par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ (g\circ f)(x)=x^2+1 \quad\text{et}\quad(f\circ g)(x)=(x+1)^2\] On constate dans cet exemple que : \(g\circ f\neq f\circ g\) .
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Si \(f\) est l’application \(x\mapsto x^2\) , de \(\mathbb{R}^+\) dans \(\mathbb{R}\) , et si \(g\) est l’application \(x\mapsto \sqrt{x}\) , de \(\mathbb{R}^+\) dans \(\mathbb{R}^+\) , alors \(g\circ f\) est l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ (g\circ f)(x)=\sqrt{x^2}=\left| x \right|\] alors que \(f\circ g\) est l’application de \(\mathbb{R}^+\) dans \(\mathbb{R}^+\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R}^+,\ (f\circ g)(x)=(\sqrt{x})^2=x\]
Proposition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) , si \(g\) est une application de \(F\) dans \(G\) et si \(h\) est une application de \(G\) dans \(H\) , alors : \[h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\]
Définition
Soit \(G\) une partie de \(E\) . Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) , on appelle restriction de \(f\) à \(G\) l’application notée \(f_{\vert\,G}\) de \(G\) dans \(F\) définie par : \[\forall x\in G,\ f_{\vert\,G}(x)=f(x)\]
Définition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) et si \(G\) et \(H\) sont deux ensembles tels que \(E\subset G\) et \(F\subset H\) , on appelle prolongement de \(f\) à \(G\) toute application \(g\) de \(G\) dans \(H\) telle que : \(g_{\vert\,E}=f\) .
Exemple
L’application \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(0)=0\) et \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) si \(x\neq 0\) est un prolongement de l’application \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\) de \(\mathbb{R}^*\) dans \(\mathbb{R}\) .
Image directe, image réciproque
Définition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) et si \(A\) est une partie de \(E\) , on appelle image directe de \(A\) par \(f\) , l’ensemble noté \(f(A)\) défini par : \[f(A)=\{ f(x),x\in A\}\]
Exemple
Si \(f\) est l’application \(x\mapsto \left\lfloor x \right\rfloor\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) , on a : \[f([1,4[)=\{1,2,3\} \quad\text{et}\quad f(]-2,\pi])=\{-2,-1,0,1,2,3\}\]
Définition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) et si \(B\) est une partie de \(F\) , on appelle image réciproque de \(B\) par \(f\) , l’ensemble noté \(f^{-1}(B)\) défini par : \[f^{-1}(B)=\{x\in E \ / \ f(x) \in B\}\]
Exemple
Si \(f\) est l’application \(x\mapsto \left| x \right|\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) , on a : \[f^{-1}(\{1,2\})=\{-2,-1,1,2\},\quad f^{-1}([1,{+\infty}[)= ]{-\infty},-1] \cup [1,{+\infty}[ \quad\text{et}\quad f^{-1}([-2,-1])=\varnothing\]
Définition
Si \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) et si \(A\) est une partie de \(E\) , on dit que \(A\) est stable par \(f\) si : \(f(A) \subset A\) .