Généralités sur les ensembles
Définition
Un ensemble est une collection d’objets discernables, dont les objets sont appelés les éléments .
L’ensemble ne contenant aucun élément est appelé ensemble vide et noté \(\varnothing\) .
Remarque
-
On peut définir un ensemble en extension , en notant ses éléments entre accolades. Par exemple, si \(E\) désigne l’ensemble des entiers naturels pairs, on peut noter : \[E=\{0,2,4,\dots,2n,\dots \}\]
-
On peut aussi définir un ensemble en compréhension , en notant, entre accolades toujours, une description de ses éléments. Par exemple, si \(E\) désigne l’ensemble des entiers naturels pairs, on peut noter : \(E=\{n\in\mathbb{N}\ / \ n \text{ est pair}\}\) ou encore : \(E=\{2n,n\in\mathbb{N}\}\) .
Exemple
Pour tout couple \((p,n)\) d’entiers vérifiant \(p\leqslant n\) , on note \(\left[\kern-0.15em\left[ {p,n} \right]\kern-0.15em\right]\) l’ensemble de tous les entiers compris entre \(p\) et \(n\) : \[\left[\kern-0.15em\left[ {p,n} \right]\kern-0.15em\right]=\{k\in\mathbb{N}\ / \ p\leqslant k\leqslant n\}=\{p,p+1,\dots,n\}\]
Notations
Soit \(E\) un ensemble quelconque.
-
si l’élément \(x\) appartient à \(E\) , on note : \(x\in E\) ,
-
si l’élément \(x\) n’appartient pas à \(E\) , on note : \(x\notin E\) .
Définition
Soit \(E\) un ensemble quelconque. On appelle partie de \(E\) tout ensemble \(F\) dont les éléments appartiennent tous à \(E\) .
Si \(F\) est une partie de \(E\) , on dit que \(F\) est inclus dans \(E\) , ou est une partie de \(E\) , et on note : \(F \subset E\) .
On note \(\mathscr P(E)\) l’ensemble de toutes les parties de \(E\) .
Exemple
\(\mathscr P(\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right])=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\) .Remarques
-
Pour tout ensemble \(E\) , on a toujours : \(E\subset E\) et \(\varnothing\subset E\) . \(\mathscr P(E)\) contient donc au moins deux éléments : \(E\) et \(\varnothing\) .
-
On remarquera que, si \(E\) désigne un ensemble, \(\mathscr P(E)\) est un ensemble, dont les éléments sont des ensembles. En particulier, si \(x\) désigne un élément de \(E\) , il conviendra de remarquer que : \[x\in E, \quad \{x\} \subset E \quad\text{et}\quad\{x\} \in \mathscr P(E)\]
Méthode
Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles quelconques.
-
Pour montrer que \(E\) est inclus dans \(F\) , on montre que, pour tout élément \(x\) de \(E\) , \(x\) appartient à \(F\) .
-
Pour montrer que \(E\) et \(F\) sont égaux, on procède souvent par double inclusion , en prouvant que \(E\) est inclus dans \(F\) et que \(F\) est inclus dans \(E\) .
Proposition
Si \(E\) et \(F\) sont deux ensembles, alors : \[F=E\Longleftrightarrow\begin{cases} E\subset F \\F \subset E\end{cases}\]
Définition
Soit \(E\) un ensemble quelconque et \(F\) une partie de \(E\) . On appelle complémentaire de \(F\) dans \(E\) l’ensemble, noté \(\complement_E^F\) , de tous les éléments de \(E\) qui n’appartiennent pas à \(F\) : \[\complement_E^F = \{x\in E \ / \ x\notin F\}\]
Cet ensemble est aussi noté \(E\setminus F\) , ou plus simplement \(\overline{F}\) lorsqu’il n’y a pas de doute quant à l’ensemble \(E\) .
Proposition
Si \(E\) est un ensemble et si \(F\) est une partie de \(E\) , alors : \[\overline{E}=\varnothing,\quad \overline{\varnothing}=E \quad\text{et}\quad\overline{\overline{F}}=F\]
Proposition
Si \(E\) est un ensemble et si \(F\) et \(G\) sont deux parties de \(E\) , alors : \[F\subset G \Longleftrightarrow\overline{G} \subset \overline{F}\]
Exercice
Démontrer la proposition précédente.
Solution
On suppose que : \(F\subset G\) . Soit \(x\) un élément quelconque de \(\overline{G}\) . Comme \(x\) n’appartient pas à \(G\) et comme tout élément de \(F\) appartient aussi à \(G\) , \(x\) n’appartient pas à \(F\) , donc : \(x\in \overline{F}\) . Ainsi : \[F\subset G \Longrightarrow \overline{G} \subset \overline{F}\]
En substituant \(\overline{G}\) à \(F\) et \(\overline{F}\) à \(G\) , on en déduit : \[\overline{G} \subset \overline{F} \Longrightarrow \overline{\overline{F}} \subset \overline{\overline{G}}\]
soit encore : \[\overline{G} \subset \overline{F} \Longrightarrow F \subset G \] Ainsi la réciproque est également vraie.