Éléments de logique et quantificateurs

Proposition

Définition

On appelle proposition toute affirmation concernant un ensemble d’objets mathématiques dont on peut dire sans ambiguïté si elle est vraie ou fausse.

Exemples

  • “si \(x=1\), alors \(x^2=1\)” est une proposition vraie.

  • “si \(x^2=1\), alors \(x=1\)” est une proposition fausse (pour bien démarrer, on rappelle aux plus distraits que \((-1)^2=1\) et que \(-1\neq 1\)…).

  • “Si \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est une suite réelle, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant u_{n+1}\)” est une proposition, qui peut être vraie ou fausse selon la suite et selon la valeur de \(n\). La suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante est une proposition, dont la véracité ne dépend pas de la valeur de \(n\).

Remarques

  • Lorsque deux propositions \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) sont vraies, on dit que la proposition \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\)   notée \(\mathscr P \cap \mathscr Q\), est vraie.

  • Lorsque l’une au moins des deux propositions \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) est vraie, on dit que la proposition \(\mathscr P\) ou \(\mathscr Q\)   notée \(\mathscr P \cup \mathscr Q\), est vraie.

Définition

Lorsqu’une proposition \(\mathscr P\) est fausse, on dit que la proposition contraire, notée \(\overline{\mathscr P}\) (lire non \(\mathscr P\) ) est vraie. La proposition \(\overline{\mathscr P}\) est appelée proposition contraire, ou négation, de \(\mathscr P\).

Remarques

  • La négation de \(\overline{\mathscr P}\) est \(\mathscr P\).

  • La négation de les propositions \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) sont vraies est l’une au moins des propositions \(\mathscr P\) ou \(\mathscr Q\) n’est pas vraie . Autrement dit, la proposition \(\overline{\mathscr P \cap \mathscr Q}\) est identique à la proposition \(\overline{\mathscr P} \cup \overline{\mathscr Q}\).

  • La négation de l’une au moins des propositions \(\mathscr P\) ou \(\mathscr Q\) est vraie est les propositions \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) sont toutes les deux fausses . Autrement dit, la proposition \(\overline{\mathscr P \cup \mathscr Q}\) est identique à la proposition \(\overline{\mathscr P} \cap \overline{\mathscr Q}\).

Définition

Si \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) sont deux propositions, on dit que :

  • \(\mathscr P\) implique \(\mathscr Q\) si, lorsque la proposition \(\mathscr P\) est vraie, alors \(\mathscr Q\) l’est aussi ; dans ce cas, on note : \(\mathscr P \Longrightarrow \mathscr Q\),

  • \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) sont équivalentes si \(\mathscr P\) implique \(\mathscr Q\) et \(\mathscr Q\) implique \(\mathscr P\) ; dans ce cas, on note : \(\mathscr P \Longleftrightarrow\mathscr Q\) ou \(\mathscr Q \Longleftrightarrow\mathscr P\).

Exemples

  • \((x=1) \Longrightarrow (x^2=1)\),

  • \((x^2=1) \Longleftrightarrow(x=1 \text{ ou } x=-1)\),

  • \(n\) est un entier naturel divisible par \(4\) \(\Longrightarrow\) \(n\) est un entier natuel divisible par \(2\) .

  • Si \(f\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) alors : \(f'\) est positive sur \(I\) \(\Longrightarrow\) \(f\) est croissante sur \(I\) .

Remarques

  • Lorsque \(\mathscr P \Longrightarrow \mathscr Q\), on dit que \(\mathscr P\) est une condition suffisante pour \(\mathscr Q\) et que \(\mathscr Q\) est une condition nécessaire pour \(\mathscr P\).

  • Lorsque \(\mathscr P \Longleftrightarrow\mathscr Q\), on dit que \(\mathscr P\) est une condition nécessaire et suffisante pour \(\mathscr Q\).

  • Pour éviter certaines erreurs de raisonnements, il est essentiel de bien comprendre la différence entre condition nécessaire et condition suffisante. Par exemple, pour que \(n\) soit un entier naturel pair, il suffit (condition suffisante) que \(n\) soit un entier naturel divisible par \(4\). On peut aussi dire que si (condition suffisante) \(n\) est un entier divisable par \(4\), alors c’est un entier pair. En revanche, on dira que, pour que \(n\) soit un entier divisible par \(4\), il faut (condition nécessaire) que \(n\) soit un entier pair, ou que \(n\) est un entier divisible par \(4\) seulement si \(n\) est un entier pair.

  • De même, l’équivalence de deux propositions signifie qu’elles sont à la fois nécessaires et suffisantes l’une envers l’autre. Par exemple, si \(x\) désigne un réel, on peut dire que, \(x^2=1\) si et seulement si (équivalence) \(x=1\) ou \(x=-1\), ou alors, pour que \(x^2=1\), il faut et il suffit (équivalence) que \(x=1\) ou \(x=-1\).

  • Les implications \(\mathscr P \Longrightarrow \mathscr Q\) et \(\mathscr Q \Longrightarrow \mathscr P\) sont dites réciproques l’une de l’autre (et ne sont pas nécessairement toutes deux vraies en même temps).

Méthode

Pour démontrer une équivalence \(\mathscr P \Longleftrightarrow\mathscr Q\), il arrive que l’on puisse raisonner par équivalence, en déduisant de \(\mathscr P\) une suite de proposition équivalentes amenant à \(\mathscr Q\).

Il est cependant fréquent que l’on ne puisse garder l’équivalence tout au long du raisonnement. Dans ce cas, on peut raisonner par double implication, en démontrer d’une part que \(\mathscr P\) implique \(\mathscr Q\) et d’autre part que \(\mathscr Q\) implique \(\mathscr P\).

Exercice

Soient \(a,b\) et \(c\) trois réels. Montrer que les propositions \(\mathscr P\) : L’équation \(ax^2+bx+c=0\) a deux solutions réelles non nulles de signes contraires et \(\mathscr Q\) : \(ac<0\) sont équivalentes.

Solution

On raisonne par double implication.

  • On commence par prouver : \(\mathscr P\Longrightarrow \mathscr Q\). Pour cela, on suppose que \(\mathscr P\) est vraie. Comme \(ax^2+bx+c=0\) admet deux solutions réelles distinctes \(x_1\) et \(x_2\), on sait que \(a\) n’est pas nul et que : \[x_1x_2=\frac{c}{a}\]

    Comme ces solutions sont de signes contraires, on a donc : \[\frac{c}{a}<0\]

    Il en découle que \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, donc que : \(ac<0\). Ainsi, on a prouvé : \[\mathscr P\Longrightarrow \mathscr Q\]

  • On montre maintenant l’implication réciproque \(\mathscr Q \Longrightarrow \mathscr P\). Pour cela, on suppose que \(\mathscr Q\) est vraie. Le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) est alors strictement positif et l’équation \(ax^2+bx+c=0\) admet deux solutions distinctes, \(x_1\) et \(x_2\), qui vérifient : \[x_1x_2=\frac{c}{a}\] De plus, comme \(ac<0\), \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, donc : \[x_1x_2<0\] donc \(x_1\) et \(x_2\) sont de signes contraires, et finalement, on a prouvé : \[\mathscr P\Longrightarrow \mathscr Q\]

Remarque Le raisonnement par équivalence directe fonctionne le plus souvent pour résoudre des équations ou des inéquations. Dans les autres cas, on préfèrera le plus souvent raisonner par double implication et on évitera donc d’utiliser le symbole \(\Longleftrightarrow\) à tort et à travers, souvent générateur d’erreurs de logique ou de raisonnement.

Quantificateurs

Notations

  • quantificateur existentiel : le symbole \(\exists\) , placé devant la variable \(x\) , indique l’existence d’un certain \(x\) tel que ce qui suit soit vrai : \(\exists \, x\in \mathbb{R}\text{ tel que } x^2=1\) signifie qu’il existe un réel \(x\) tel que l’égalité \(x^2=1\) soit vraie,

  • quantificateur existentiel et d’unicité : le symbole \(\exists!\) , placé devant la variable \(x\) , indique l’existence d’un unique \(x\) tel que ce qui suit soit vrai : \(\exists! \,x \in\mathbb{R}^+ \text{ tel que } x^2=1\) signifie qu’il existe un unique réel \(x\) positif ou nul tel que l’égalité \(x^2=1\) soit vraie,

  • quantificateur universel : le symbole \(\forall\) , placé devant une variable \(x\) , indique que ce qui suit est vrai quel que soit \(x\) : \(\forall x\in\mathbb{R}^+,\ x(x^2+1)\geqslant 0\) signifie que, quel que soit le réel \(x\) positif ou nul, l’inégalité \(x(x^2+1)\geqslant 0\) est vraie.

Remarques

  • Attention, dans une proposition mathématique, l’ordre des quantificateurs est important, et changer l’ordre entre deux quantificateurs \(\exists\) et \(\forall\) peut changer le sens de la phrase. Par exemple, la proposition \(\forall x\in\mathbb{R}^+,\ \exists \,y\in\mathbb{R}\text{ tel que } y^2=x\) ” (quel que soit le réel \(x\) positif ou nul, il existe un réel \(y\) tel que \(y^2=x\) ) est vraie, tandis que la proposition ” \(\exists\,y\in\mathbb{R}\text{ tel que } \forall x\in\mathbb{R}^+,\ y^2=x\) ” (il existe un réel \(y\) tel que, pour tout réel \(x\) positif ou nul, \(y^2=x\) ) est fausse.

  • En général, pour éviter les mots ” tel que ” on utilise la notation  ” / ”   : \(\forall x\in\mathbb{R}^+,\ \exists \,y\in\mathbb{R}\ / \ y^2=x\) .

  • La négation de la proposition ” quel que soit \(x\) appartenant à l’ensemble \(E\) , \(\mathscr P(x)\) est vraie ” (en langage mathématique : \(\forall x\in E,\ \mathscr P(x)\) ) est “il existe au moins un \(x\) appartenant à \(E\) tel que \(\mathscr P(x)\) ne soit pas vraie ” (en langage mathématique : \(\exists\,x\in E \ / \ \overline{\mathscr P(x)}\) ).

  • La négation de la proposition ” il existe \(x\) appartenant à l’ensemble \(E\) ” tel que \(\mathscr P(x)\) soit vraie  (en langage mathématique : \(\exists\, x\in E,\ \mathscr P(x)\) ) est ” quel que soit \(x\) appartenant à \(E\) , \(\mathscr P(x)\) n’est pas vraie ” (en langage mathématique : \(\forall x\in E,\ \overline{\mathscr P(x)}\) ).

  • La négation de la proposition ” quel que soit \(x\) appartenant à l’ensemble \(E\) , il existe \(y\) appartenant à l’ensemble \(F\) tel que \(\mathscr P(x,y)\) soit vraie ” ( \(\forall x\in E,\ \exists\, y\in F,\ \mathscr P(x,y)\) ) est ” il existe \(x\) appartenant à \(E\) tel que, quel que soit \(y\) appartenant à \(F\) , \(\mathscr P(x,y)\) est fausse ”  ( \(\exists\,x\in E \ / \ \forall y\in F,\ \overline{\mathscr P(x,y)}\) ).

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