Suites de référence

Dans toute cette partie, \(p\) désigne un entier naturel.

Suites arithmétiques

Définition

Soit \(a\) un réel. On dit que la suite \((u_n)_{n\geqslant p}\) est une suite arithmétique de raison \(a\) si : \[\forall n\geqslant p,\ u_{n+1}=u_n+a.\]

Théorème

Soit \((u_n)_{n\geqslant p}\) une suite arithmétique de raison \(a\in\mathbb{R}\).

  • \(\forall q\geqslant p,\ \forall n\geqslant q,\ u_n=u_q+ \left( n-q \right) a\).

  • On a :

    \[ \begin{aligned} \forall q\geqslant p,\ \forall n\geqslant q,\ \sum_{k=q}^n u_k &= \underbrace{(n-q+1)}_{\substack{\text{nb de termes}\\\text{dans la somme}}} \times \underbrace{\frac{u_q+u_n}{2}}_{\substack{\text{valeur moyenne}\\\text{des termes}}} \\ &= \left( n-q+1 \right) u_q+\frac{(n-q)(n-q+1)}{2} \, a \end{aligned} \]

Exemple

Soit \(n\in\mathbb{N}\). On cherche à calculer la somme \(\displaystyle\sum_{k=3}^{n+4} (2k+3)\). Si on note, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=2n+3\), on peut remarquer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=2n+5=u_n+2\] La suite \(u\) est donc une suite arithmétique de raison \(2\) et donc : \[\begin{aligned} \sum_{k=3}^{n+4} (2k+3) &= (n+2)\times \frac{[2\times 3+3]+[2\times (n+4)+3]}{2}\\ &= (n+2)(n+10) \end{aligned}\]

Exercice

Démontrer le théorème.

Solution

  • On fixe un entier naturel \(q\) supérieur ou égal à \(p\) et on procède par récurrence, en notant, pour tout \(n\geqslant q\), \(\mathscr H(n)\) la proposition : \(u_n=u_q+(n-q)a\) .

    • Pour \(n=q\), on a : \[u_q+(q-q)a=u_q\] donc \(\mathscr H(q)\) est vraie.

    • Soit \(n\geqslant q\). Supposons que \(\mathscr H(n)\) soit vraie. Par définition de la suite \(u\), on a alors : \[\begin{aligned} u_{n+1} &= u_n+a\\ &= u_q+(n-q)a+a\\ &= u_q+ (n+1-q)a \end{aligned}\] et donc : \(\mathscr H(n) \Rightarrow \mathscr H(n+1)\).

    • Finalement, \(\mathscr H(n)\) est donc vraie pour tout \(n\geqslant q\), ce qui prouve le résultat annoncé.

  • D’après le résultat précédent, on a donc, pour tout \( q\geqslant p \) et \( n\geqslant q \) : \[\begin{aligned} \sum_{k=q}^n u_k &= \sum_{k=q}^n [u_q+(k-q)a]\\ &= \sum_{k=q}^n u_q+a\,\sum_{k=q}^n (k-q) \end{aligned}\] et donc, la première somme comportant \(n-q+1\) termes égaux et en effectuant le changement d’indice \(k:=k-q\) dans la deuxième : \[\begin{aligned} \sum_{k=q}^n u_k &= (n-q+1) u_q+a\,\sum_{k=0}^{n-q} k\\ &= (n-q+1)u_q+a\times \frac{(n-q)(n-q+1)}{2} \end{aligned}\] Par ailleurs, on constate que : \[\begin{aligned} (n-q+1)\times \frac{u_q+u_n}{2} &= (n-q+1) \times \frac{2u_q+(n-q)a}{2}\\ &= (n-q+1)u_q+a\times \frac{(n-q)(n-q+1)}{2} \end{aligned}\] ce qui prouve l’égalité annoncée.

Suites géométriques

Définition

Soit \(q\) un réel. On dit que la suite \((u_n)_{n\geqslant p}\) est une suite géométrique de raison \(q\) si : \[\forall n\geqslant p,\ u_{n+1}=q\times u_n\]

Théorème

Soit \((u_n)_{n\geqslant p}\) une suite géométrique de raison \(q\in\mathbb{R}\).

  • \(\forall m\geqslant p,\ \forall n\geqslant m,\ u_n=q^{n-m}\,u_m\).

  • \(\displaystyle\forall m\geqslant p,\ \forall n\geqslant m,\ \sum_{k=m}^n u_k=\begin{cases} \displaystyle\frac{u_m-u_{n+1}}{1-q}=u_m\times \frac{1-q^{n-m+1}}{1-q} &\text{si } q\neq 1\\ \hfill (n-m+1)u_m \hfill &\text{si } q=1 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\).

Exemple

Soit \(n\in\mathbb{N}\). On cherche à calculer la somme \(\displaystyle\sum_{k=3}^{n+5} 2^k\). Si on note, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=2^n\), on peut remarquer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=2u_n\] La suite \(u\) est donc une suite géométrique de raison \(2\neq 1\) et donc : \[\begin{aligned} \sum_{k=3}^{n+5} 2^k &= 2^3\times \frac{1-2^{n+3}}{1-2}\\ &= 2^{n+6}-8 \end{aligned}\]

Exercice

Démontrer le théorème.

Solution

  • On fixe un entier naturel \(m\) supérieur ou égal à \(p\) et on procède par récurrence, en notant, pour tout \(n\geqslant m\), \(\mathscr H(n)\) la proposition : \(u_n=q^{n-m}u_m\) .

    • Pour \(n=m\), on a : \[q^{m-m}u_m=u_m\] donc \(\mathscr H(m)\) est vraie.

    • Soit \(n\geqslant m\). Supposons que \(\mathscr H(m)\) soit vraie. Par définition de la suite \(u\), on a alors : \[\begin{aligned} u_{n+1} &= qu_n\\ &= q\times q^{n-m}u_m\\ &= q^{n+1-m}u_m \end{aligned}\] et donc : \(\mathscr H(n) \Rightarrow \mathscr H(n+1)\).

    • Finalement, \(\mathscr H(n)\) est donc vraie pour tout \(n\geqslant m\), ce qui prouve le résultat annoncé.

  • On fixe un entier naturel \(m\) supérieur ou égal à \(p\).

    • Si \(q=1\), on a directement, tous les termes de la somme étant égaux à \(u_m\) (une suite géométrique de raison \(1\) est une suite constante) : \[\forall m\geqslant p,\ \forall n\geqslant m,\ \sum_{k=m}^n u_k=(n-m+1)u_m\]

    • Si \(q\neq 1\), on procède par récurrence, en notant \(\mathscr P(n)\) la proposition \(\displaystyle\sum_{k=m}^n u_k= \frac{u_m-u_{n+1}}{1-q}\) .

      • Pour \(n=m\), on a : \[\begin{aligned} \frac{u_m-u_{m+1}}{1-q} &= \frac{u_m-qu_m}{1-q}\\ &= u_m\\ &= \sum_{k=m}^m u_k \end{aligned}\] donc \(\mathscr P(m)\) est vraie.

      • Soit \(n\geqslant m\). Supposons que \(\mathscr P(m)\) soit vraie. Par définition de la suite \(u\), on a alors : \[\begin{aligned} \sum_{k=m}^{n+1} u_k &= \sum_{k=m}^n u_k +u_{n+1}\\ &= \frac{u_m-u_{n+1}}{1-q}+u_{n+1}\\ &= \frac{u_m-qu_{n+1}}{1-q}\\ &= \frac{u_m-u_{n+2}}{1-q} \end{aligned}\] et donc : \(\mathscr H(n) \Rightarrow \mathscr H(n+1)\).

      • Finalement, \(\mathscr H(n)\) est donc vraie pour tout \(n\geqslant m\). Enfin, on peut remarquer que : \[\begin{aligned} \forall n\geqslant m,\ \frac{u_m-u_{n+1}}{1-q} &= \frac{u_m-q^{n+1-m}u_m}{1-q}= u_m\times \frac{1-q^{n+1-m}}{1-q} \end{aligned}\] ce qui prouve les égalités attendues.

Suites arithmético-géométriques

Définition

On dit que la suite \((u_n)_{n\geqslant p}\) est une suite arithmético-géométrique s’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall n\geqslant p,\ u_{n+1} = au_n+b\]

Remarque

Il arrive parfois que l’on ne parle de suite arithmético-géométrique que dans les cas où \(a\neq 1\) et \(b\neq 0\). En effet, si \(a=1\), on reconnaît l’expression d’une suite arithmétique (de raison \(b\)) tandis que, si \(b=0\), on reconnaît l’expression d’une suite géométrique (de raison \(a\)).

Théorème

Soit \((a,b)\) un couple de réels tel que \(a\neq 1\) et \((u_n)_{n\geqslant p}\) une suite arithmético-géométrique telle que : \[\forall n\geqslant p,\ u_{n+1}=au_n+b\]

L’équation \(x=ax+b\), d’inconnue \(x\) réelle, admet une unique solution \(c=\frac{b}{1-a}\) et la suite \((u_n-c)_{n\geqslant q}\) est géométrique de raison \(a\) ; par conséquent on a : \[\forall q\geqslant p,\ \forall n\geqslant q,\ u_n-c =a^{n-q}(u_q-c)\]

Preuve

On fixe un entier \(q\) supérieur ou égal à \(p\). On remarque déjà que, comme \(a\) est différent de \(1\), on a, pour tout réel \(x\) : \[\begin{aligned} x=ax+b &\Longleftrightarrow(1-a)x=b \\ &\Longleftrightarrow x=\frac{b}{1-a} \end{aligned}\] donc l’équation \(x=ax+b\) admet bien une unique solution \(c\) et l’on a alors : \[\forall n \geqslant q,\ \begin{cases} u_{n+1} &= au_n +b \\ c&=ac+b \end{cases}\] et en effectuant la différence de ces deux lignes : \[\forall n\geqslant q,\ u_{n+1}-c = a(u_n-c)\] Ainsi, la suite \((u_n-c)_{n\geqslant q}\) est une suite géométrique de raison \(a\), ce qui prouve le résultat attendu.

Exercice

Déterminer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) dans le cas où \(u_0=4\) et : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{u_n}{3}-2\]

Solution

La suite \(u\) est une suite arithmético-géométrique et on a, pour tout réel \(x\) : \[\begin{aligned} x=\frac{x}{3}-2 &\Longleftrightarrow 3x=x-6\\ &\Longleftrightarrow x=-3 \end{aligned}\]

On en déduit que la suite \((u_n-(-3))_{n\in\mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{3}\) et donc que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n=\frac{1}{3^n}\left( u_0+3 \right) -3=\frac{7}{3^n}-3\]

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Définition

On dit qu’une suite réelle \((u_n)_{n\geqslant p}\) est une suite récurrente linéaire d’ordre s’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall n\geqslant p,\ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n\] Dans ce cas, l’équation \(x^2=ax+b\), d’inconnue \(x\) réelle, est appelée équation caractéristique de la suite \(u\).

Remarque

  • Si \(b=0\), une telle suite est une suite géométrique à partir du rang \(1\).

  • Si \(a=0\), les suites \((u_{2n})_{n\geqslant \left\lfloor \frac{p+1}{2} \right\rfloor}\) et \((u_{2n+1})_{n\geqslant \left\lfloor \frac{p}{2} \right\rfloor}\) sont des suites géométriques de raison \(b\).

  • Attention à cette définition : les réels \(a\) et \(b\) doivent être indépendants de \(n\). Par exemple, une suite \(u\) telle que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+2}=nu_{n+1}+2u_n\) n’est pas une suite récurrente linéaire d’ordre \(2\).

Théorème

Soient \(a\) et \(b\) deux réels et \((u_n)_{n\geqslant p}\) une suite récurrente linéaire d’ordre \(2\) telle que : \[\forall n\geqslant p,\ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n\] Si on note \(\Delta=a^2+4b\) le discriminant de l’équation caractéristique \((E):x^2-ax-b=0\), alors :

  • Si \(\Delta>0\), \((E)\) admet deux solutions réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\) et il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que : \[\forall n\geqslant p,\ u_n=\lambda r_1^n + \mu r_2^n\]

  • Si \(\Delta=0\), \((E)\) admet une unique solution réelle \(r\) et il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que : \[\forall n\geqslant p,\ u_n=\left( \lambda +n \mu \right) r^n\]

Preuve

Pour simplifier, on suppose que \(b\neq 0\) (seul cas réellement intéressant puisque, si \(b=0\), la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) est géométrique.

  • Commençons par considérer le système suivant, d’inconnues \(\lambda\) et \(\mu\) réelles : \[(S) : \begin{cases} u_p = \lambda+\mu\\ u_{p+1}=\lambda r_1+\mu r_2 \end{cases}\] On remarque que le déterminant (voir chapitre 7. Systèmes linéaires) de ce système est égal à \(r_2-r_1\). Comme \(r_1\neq r_2\), ce déterminant n’est pas nul, donc \((S)\) admet un unique couple solution \((\lambda,\mu)\). Ce couple étant fixé, montrons alors par récurrence que, pour tout \(n\geqslant p\), la proposition \(\mathscr P(n)\) : \(u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n\) est vraie.

    • Par définition de \(\lambda\) et \(\mu\), \(\mathscr P(p)\) et \(\mathscr p(p+1)\) sont vraies.

    • Soit \(n\geqslant p\). Supposons que \(\mathscr P(n)\) et \(\mathscr P(n+1)\) soient vraies. Par définition de la suite \(u\), on a alors : \[\begin{aligned} u_{n+2} &= au_{n+1}+bu_n \\ &= a \left( \lambda r_1^{n+1}+\mu r_2^{n+1} \right) +b \left( \lambda r_1^n+\mu r_2^n \right)\\ &= \lambda r_1^n \left( ar_1+b \right) +\mu r_2 \left( ar_2+b \right) \end{aligned}\] Or, par définition de \(r_1\) et \(r_2\), on a : \[\forall i\in\{1,2\},\ r_i^2-ar_i-b=0\] c’est-à-dire : \[\forall i\in\{1,2\},\ ar_i+b=r_i^2\] et donc : \[u_{n+2}=\lambda r_1^{n+2}+\mu r_2^{n+2}\] donc finalement : \(\mathscr P(n) \cap \mathscr P(n+1) \Rightarrow \mathscr P(n+2)\).

    • On peut finalement conclure : \[\forall n\geqslant p,\ u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n\]

  • Démonstration analogue à la précédente.

Remarque

  • Pour trouver \(\lambda\) et \(\mu\), il suffit de connaître deux termes de la suite \(u\) (en général \(u_0\) et \(u_1\)) et de résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

  • Il existe une preuve alternative de ce théorème, utilisant l’algèbre linéaire. Le principe général de cette démontration est de :

    • prouver que l’ensemble \(S_{a,b}=\{u\in\mathbb{R}^\mathbb{N}\ / \ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n\}\) est un espace vectoriel de dimension \(2\),

    • montrer que la famille \((v,w)\) est une famille libre de deux vecteurs de \(S_{a,b}\), avec :

      • \(\forall n \in \mathbb{N},\ v_n=r_1^n\) et \(w_n=r_2^n\) si \((E)\) admet deux solutions réelles \(r_1\) et \(r_2\),

      • \(\forall n \in \mathbb{N},\ v_n=r^n\) et \(w_n=nr^n\) si \((E)\) admet une unique solution réelle \(r\).

      Cette méthode s’applique d’ailleurs plus généralement à toutes les suites réelles vérifiant une relation de récurrence du type \(u_{n+r}=a_0u_n+a_1u_{n+1}+\cdots a_{r-1}u_{n+r-1}\). Le lecteur intéressé trouvera des exemples de telles situations dans les chapitres 8. Espaces Vectoriels et 10. Applications linéaires.

    • Le couple \((\lambda,\mu)\) évoqué dans ce théorème est unique. Cependant, on est le plus souvent amené à le déterminer, donc savoir qu’il est unique est rarement utile.

Exercice

  1. Déterminer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) si \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est la suite définie par : \[u_0=0,\ u_1=1 \quad\text{et}\quad\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\]

  2. Même question dans le cas où la suite \(u\) est définie par : \[u_0=1,\ u_1=0 \quad\text{et}\quad\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n\]

Solution

  1. La suite \(u\) est une suite récurrente linéaire d’ordre \(2\) et son équation caractéristique \((E)\) est : \(x^2-x-1=0\). Cette équation admet pour discriminant \(\Delta=5>0\), donc elle admet deux solutions réelles distinctes, qui sont : \[r_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \quad\text{et}\quad r_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\] Il existe donc un couple \((\lambda,\mu)\) de réels tel que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n\] On a alors, comme \(u_0=0\) et \(u_1=1\) : \[\begin{cases} \lambda+\mu=0\\ \lambda r_1+\mu r_2=1 \end{cases}.\] On résout maintenant ce système : \[\begin{aligned} \begin{cases} \lambda+\mu=0\\ \lambda r_1+\mu r_2=1 \end{cases} &\Longleftrightarrow\begin{cases} \lambda=-\mu\\ \mu \left( r_2-r_1 \right)=1 \end{cases} \end{aligned}\] et donc, comme \(r_2-r_1\neq 0\) : \[\mu=\frac{1}{r_2-r_1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \quad\text{et}\quad\lambda=-\frac{1}{r_2-r_1}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\] donc finalement : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\]

  2. La suite \(u\) est une suite récurrente linéaire d’ordre \(2\), dont l’équation caractéristique est : \[(E):x^2-4x+4=0\] \((E)\) admet une unique solution, qui est \(2\), donc il existe un couple \((\lambda,\mu)\) de réels tel que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n= \left( \lambda + n \mu \right) 2^n\] On a alors, comme \(u_0=1\) et \(u_1=0\) : \[\begin{cases} \lambda =1\\ 2 \mu = 0 \end{cases}\] Ainsi \((\lambda,\mu) = (1,0)\) et : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n=2^n\]

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