Primitive d’une fonction continue
Dans tout ce paragraphe, \(I\) désigne un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f\) et \(F\) sont deux fonctions définies sur \(I\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Notion de primitive
Définition
On dit que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et si : \(F'=f\).
Exemple
Comme \(\sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et comme \(\sin'=\cos\), la fonction \(\sin\) est une primitive de la fonction \(\cos\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et sa dérivée est la fonction \(x\mapsto \frac{1}{x}\), donc \(\ln\) est une primitive de \(x\mapsto \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
Proposition
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur l’intervalle \(I\), alors \(f\) admet une infinité de primitives sur \(I\) et l’ensemble des primitives de \(f\) est \(\{F+k,\, k\in\mathbb{R}\}\).
Par conséquent, si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) et si \(a\in I\), alors \(f\) admet une unique primitive s’annulant en \(a\), qui est la fonction \(x\mapsto F(x)-F(a)\).
Preuve
Il est immédiat que, pour tout \(k\in\mathbb{R}\), \(F+k\) est une fonction dérivable, de dérivée \(f\), donc est une primitive de \(f\). Soit alors \(G\) une primitive de \(f\). Alors \(G-F\) est dérivable sur \(I\) comme somme de fonctions dérivables et on a : \[\begin{aligned} \forall x\in I,\ (G(x)-F)'(x) &= G'(x)-F'(x)\\ &= f(x)-f(x)\\ &=0 \end{aligned}\]
Ainsi, \(G-F\) est constante, donc il existe un réel \(k\) tel que : \(G=F+k\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\), la fonction \(G:x\mapsto F(x)-F(a)\) est une primitive de \(f\) d’après le résultat précédent. De plus, on a directement : \(G(a)=0\). Enfin, si \(H\) est une primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\), alors \(G-H\) est constante (d’après le résultat précédent) et s’annule en \(a\), donc \(G=H\), ce qui prouve bien l’unicité de la primitive de \(f\) s’annulant en \(a\).
Remarques
Il faut donc éviter de parler de la primitive de \(f\) puisque, s’il existe une primitive, il y en a une infinité. On dira donc soit une primitive de \(f\) est …, soit la primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\) est ….
Lorsqu’on recherche les primitives d’une fonction continue, il est important de s’assurer que l’on est sur un intervalle pour affirmer que deux primitives diffèrent d’une constante.
Par exemple, la fonction \(x\mapsto \frac{1}{x}\) est une fonction continue sur \(\mathbb{R}^\ast\) et admet pour primitives, entre autres les fonctions : \[f_1:x\mapsto \begin{cases} \ln\left| x \right| +1 &\text{si } x>0 \\ \ln\left| x \right|-2 &\text{si } x<0 \end{cases} \quad\text{et}\quad f_2:x\mapsto \begin{cases} \ln\left| x \right| +3 &\text{si } x>0 \\ \ln\left| x \right|+2 &\text{si } x<0 \end{cases}\] Pourtant \(f_2-f_1\) n’est pas une fonction constante sur \(\mathbb{R}^\ast\). Cela est du au fait que \(\mathbb{R}^\ast\) n’est pas un intervalle. En revanche, on peut constater que \(f_2-f_1\) est bien constante sur chacun des intervalles \(\mathbb{R}_-^\ast\) et \(\mathbb{R}_+^\ast\).
Théorème
Toute fonction continue sur \(I\) admet au moins une primitive sur \(I\).
Primitives des fonctions usuelles
Dans le tableau suivant, \(f\) est une fonction continue sur \(I\), \(F\) désigne une primitive de \(f\), \(n\) est un entier relatif et \(\alpha\) est un réel strictement positif. Ces résultats découlent directement des dérivées usuelles.
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline f & F &I \\ \hline x\mapsto x^n \ (n\geqslant 0) & \quad x\mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad & \mathbb{R}\\ \hline x\mapsto x^n \ (n \leqslant -2) & x\mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1} & \quad \mathbb{R}_+^\ast\text{ ou } \mathbb{R}_-^\ast \quad \\ \hline x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}} & x\mapsto 2\,\sqrt{x} & \mathbb{R}_+^\ast\\ \hline x\mapsto x^\alpha & x\mapsto \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} & \mathbb{R}_+^\ast\\ \hline x\mapsto \frac{1}{x} & x\mapsto \ln\left| x \right| & \mathbb{R}_+^\ast\text{ ou } \mathbb{R}_-^\ast \\ \hline x\mapsto \mathrm{e}^x & x\mapsto \mathrm{e}^x & \mathbb{R}\\ \hline \cos & \sin & \mathbb{R}\\ \hline \sin & -\cos & \mathbb{R}\\ \hline x\mapsto \frac{1}{1+x^2} & \mathrm{arctan}& \mathbb{R}\\ \hline \end{array}\]
Primitives remarquables
Les opérations sur les primitives proposées ci-dessous découlent directement des propriétés de la dérivation.
Proposition
Soit \(f\), \(g\), \(F\) et \(G\) des fonctions définies sur \(I\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\), \(\lambda,\mu\) deux réels, \(\alpha\) un réel différent de \(1\). Si \(F\) est une primitive de \(f\) et si \(G\) est une primitive de \(g\), alors :
\(\lambda F\) est une primitive de \(\lambda f\) sur \(I\),
\(F+G\) est une primitive de \(f+g\) sur \(I\),
si \(\lambda \neq 0\), \(x\mapsto \dfrac{1}{\lambda}\,F(\lambda x+\mu)\) est une primitive de \(x\mapsto f(\lambda x+\mu)\) sur \(I\),
\(F\times G\) est une primitive de \(f\times G+F\times g\) sur \(I\).
Exercice
Déterminer les primitives des fonctions \[f:x\mapsto x^2+3x-\mathrm{e}^x \quad\text{et}\quad g:x\mapsto \dfrac{2x+2}{x^2+2x-3}+(1-2x)^2\]
Solution
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions continues sur \(\mathbb{R}\) (fonction polynôme et exponentielle) et admet donc des primitives. La fonction \(x\mapsto \dfrac{x^3}{3}\) est une primitive de \(x\mapsto x^2\), la fonction \(x\mapsto \dfrac{x^2}{2}\) est une primitive de la fonction \(x\mapsto x\) et la fonction \(x\mapsto \mathrm{e}^x\) est une primitive de \(x\mapsto \mathrm{e}^x\), donc l’ensemble des primitives de \(f\) est : \[\left\lbrace x\mapsto \frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}\,x^2-\mathrm{e}^x+k,\; k\in\mathbb{R}\right\rbrace\]
La fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus \{-3,1\}\) comme somme de fonctions continues sur \(\mathbb{R}\setminus \{-3,1\}\) (fonction rationnelle définie sur \(\mathbb{R}\) puisque \(x^2-x+3\) est un trinôme et admet donc des primitives sur chacun des intervalles \(]{-\infty},-3[\), \(]-3,1[\) et \(]1,{+\infty}[\). Pour tout intervalle \(I\) égal à \(]{-\infty},-3[\), \(]-3,1[\) ou \(]1,{+\infty}[\), la fonction \(x\mapsto \ln\left| x^2+2x-3 \right|\) est une primitive de \(x\mapsto \dfrac{2x+2}{x^2+2x-3}\) sur \(I\) et la fonction \(x\mapsto -\dfrac{(1-2x)^3}{6}\) est une primitive de la fonction \(x\mapsto (1-2x)^2\) donc l’ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\) est : \[\left\lbrace x\mapsto \ln\left| x^2+2x-3 \right|-\frac{(1-2x)^3}{6}+k,\; k\in\mathbb{R}\right\rbrace\]
Proposition
Si \(F\) une fonction dérivable sur \(I\), à valeurs dans un intervalle \(J\) de \(\mathbb{R}\), et si \(G\) une fonction dérivable sur \(J\), alors \(G\circ F\) est une primitive de \(F'\times G'\circ F\) sur \(I\).
Remarque
En particulier, on peut donc affirmer que, si \(u\) est une fonction dérivable de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) :
\(\exp \circ u\) est une primitive de \(u'\times \exp\circ u\) sur \(I\),
si \(u\) ne s’annule pas sur \(I\), \(\ln\circ \left| u \right|\) est une primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) sur \(I\),
si \(u\) est strictement positive sur \(I\), \(\sqrt{u}\) est une primitive de \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) sur \(I\),
\(\mathrm{arctan}\circ u\) est une primitive de \(\dfrac{u'}{1+u^2}\) sur \(I\).
Exercice
Déterminer les primitive de \(f:x\mapsto \dfrac{3x+6}{\sqrt{x^2+4x+1}}\) sur \(\mathbb{R}^+\).
Solution
On peut déjà remarquer que la fonction \(x\mapsto x^2+4x+1\) est continue et strictement positive sur \(\mathbb{R}^+\), donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^+\) comme quotient, dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}^+\), de fonctions continues sur \(\mathbb{R}^+\). De plus, la dérivée de la fonction \(u:x\mapsto x^2+4x+1\) est la fonction \(x\mapsto 2x+4\) et on a : \[\forall x\in\mathbb{R}^+,\ f(x)=3\times \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\] donc l’ensemble des primitives de \(f\) est : \[\left\lbrace x\mapsto 3\sqrt{x^2+4x+1}+k,\; k\in\mathbb{R}\right\rbrace\]