Limites d’une fonction en un point

Les preuves de cette section, souvent très théorique, et utilisant des notations lourdes, ne présentent pas un intérêt fondamental, mais leur lecture peut permettre d’aider à mémoriser le cours et à maîtriser certaines techniques de rédaction. Elles pourront cependant n’être travaillées que dans un deuxième temps, lorsque les méthodes fondamentales seront maîtrisées.

Notions de topologie

Définition

Si \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(a\leqslant b\), on appelle segment d’extrémités \(a\) et \(b\) on note \([a,b]\) l’ensemble \[[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\ / \ a\leqslant x\leqslant b\}\]

Définition

On dit qu’une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\) est un intervalle si, pour tout couple \((a,b)\) d’éléments de \(I\), le segment d’extrémités \(a\) et \(b\) est inclus dans \(I\), c’est-à-dire si : \[\forall (a,b)\in I^2 \ / \ a\leqslant b,\ (a\leqslant x\leqslant b \Longrightarrow x\in I)\]

Remarques

  • Dit basiquement et en termes peu rigoureux, un intervalle est donc un ensemble sans trous .

  • On conviendra également de parler d’intervalles d’entiers en notant, si \(p\) et \(n\) sont deux entiers tels que \(p\leqslant n\) : \(\left[\kern-0.15em\left[ {p,n} \right]\kern-0.15em\right]=[p,n] \cap \mathbb{Z}\).

Exemples

  • Les segments de \(\mathbb{R}\) sont des intervalles.

  • \(\mathbb{R}^+\) est un intervalle.

  • \(\mathbb{R}^\ast\) n’est pas un intervalle.

Notations

Pour tout couple \((a,b)\) de réels tels que \(a\leqslant b\), on convient de noter :

  • \([a,b[\,=\{x\in\mathbb{R}\ / \ a\leqslant x < b\}\)

  • \(]a,b]=\{x\in\mathbb{R}\ / \ a < x \leqslant b\}\)

  • \(]a,b[\,=\{x\in\mathbb{R}\ / \ a < x < b\}\)

  • \(]{-\infty},a]=\{x\in\mathbb{R}\ / \ x\leqslant a\}\)

  • \(]{-\infty},a[\,=\{x\in\mathbb{R}\ / \ x< a\}\)

  • \([a,{+\infty}[\,=\{x\in\mathbb{R}\ / \ x\geqslant a\}\)

  • \(]a,{+\infty}[\,=\{x\in\mathbb{R}\ / \ x> a\}\)

Définition

Si \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(a\leqslant b\),

  • les intervalles de la forme \(]{-\infty},a]\), \([a,b]\), \([a,{+\infty}[\), \(\mathbb{R}\) et \(\varnothing\) sont appelés intervalles fermés,

  • les intervalles de la forme \(]{-\infty},a[\), \(]a,b[\), \(]a,{+\infty}[\), \(\mathbb{R}\) et \(\varnothing\) sont appelés intervalles ouverts,

  • les intervalles de la forme \([a,b[\) ou \(]a,b]\) sont appelés intervalles semi-ouverts.

Remarques

  • Ainsi \(\mathbb{R}\) et \(\varnothing\) sont donc à la fois ouverts et fermés.

  • On peut remarquer que, si \(I\) est un intervalle fermé, alors le complémentaire \(\mathbb{R}\setminus I\) de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) est un intervalle ouvert ou la réunion d’intervalles ouverts.

  • De même, si \(I\) est un intervalle ouvert, alors le complémentaire \(\mathbb{R}\setminus I\) de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) est un intervalle fermé ou la réunion d’intervalles fermés.

Exemples

  • \([-2,1]\) est un intervalle fermé. Son complémentaire dans \(\mathbb{R}\) est \(]{-\infty},-2[\,\cup \,]1,{+\infty}[\), qui est la réunion des intervalles ouverts \(]{-\infty},-2[\) et \(]1,{+\infty}[\)

  • \(]5,{+\infty}[\) est un intervalle ouvert. Son complémentaire dans \(\mathbb{R}\) est l’intervalle fermé \(]{-\infty},5]\).

Notations

Si \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\), on note :

  • \(\overline{I}\) le plus petit intervalle (au sens de l’inclusion) fermé contenant \(I\) (autrement dit la réunion de \(I\) et de ses bornes réelles éventuelles),

  • \(\stackrel{\circ}{I}\) le plus grand intervalle ouvert contenu dans \(I\) (autrement dit \(I\) privé de ses bornes éventuelles).

Exemples

  • Si \(I=[-5,7[\), alors : \(\overline{I}=[-5,7]\) et \(\stackrel{\circ}{I}=\,]-5,7[\).

  • Si \(I=[-5,7]\), alors : \(\overline{I}=[-5,7]\) et \(\stackrel{\circ}{I}=\,]-5,7[\).

  • Si \(I=\,]-5,7[\), alors : \(\overline{I}=[-5,7]\) et \(\stackrel{\circ}{I}=\,]-5,7[\).

  • Si \(I=\,]{-\infty},7]\), alors : \(\overline{I}=\,]{-\infty},7]\) et \(\stackrel{\circ}{I}=\,]{-\infty},7[\).

Notation

On note : \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\,\cup \,\{{-\infty},{+\infty}\}\).

Remarque

Cette notation est adoptée par analogie avec les notations précédentes mais n’en est pas une conséquence.

Définition

Soit \(a\) un élément de \(\overline{\mathbb{R}}\).

  • Si \(a\) est un réel, on appelle voisinage de \(a\) toute partie \(V_a\) de \(\mathbb{R}\) contenant un intervalle ouvert de centre \(a\) (i.e. de la forme \(]a-\alpha,a+\alpha[\) où \(\alpha\) est un réel strictement positif).

  • Si \(a\) est un réel, on appelle voisinage épointé de \(a\) tout ensemble de la forme \(V_a \setminus \{a\}\) où \(V_a\) est un voisinage de \(a\).

  • Si \(a={+\infty}\) (respectivement si \(a={-\infty}\)), on appelle voisinage de \(a\) toute partie \(V_a\) de \(\mathbb{R}\) contenant un intervalle ouvert de la forme \(]A,{+\infty}[\) (respectivement \(]{-\infty},A[\)).

Définition

Soit \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). On dit qu’une fonction \(f\) est définie au voisinage de \(a\) s’il existe un voisinage \(V_a\) de \(a\) tel que \(\mathcal{D}_f \cap (V_a \setminus \{a\})\) contienne un intervalle non vide.

Exemple

  • Les fonctions \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\), \(x\mapsto \sqrt{x}\) et \(x\mapsto x\) sont définies au voisinage de \(0\).

  • La fonction \(x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\) est définie au voisinage de \(1\).

Limite finie d’une fonction en un point de

Dans toute la suite de cette partie et sauf précision complémentaire, \(a\), \(b\) et \(\ell\) sont des éléments quelconques de \(\overline{\mathbb{R}}\) et \(I\) est un voisinage éventuellement épointé de \(a\).

Sauf précision, toutes les fonctions envisagées sont supposées définies sur \(I\).

Limite finie en un point

Définition

On suppose que \(a\) et \(\ell\) sont réels. On dit que :

  • \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell\) ou \(\displaystyle\lim_a f=\ell\) si : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in \,]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap \, I,\ \left| f(x)-\ell \right| < \varepsilon\]

  • \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) à gauche et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)=\ell\) ou \(\displaystyle\lim_{x\substack{\to\\ <} a} f=\ell\) si : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in \,]a-\alpha,a] \cap \, I,\ \left| f(x)-\ell \right| < \varepsilon\]

  • \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) à droite et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)=\ell\) ou \(\displaystyle\lim_{x\substack{\to\\ >} a} f=\ell\) si : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in [a,a+\alpha[\, \cap \, I,\ \left| f(x)-\ell \right| < \varepsilon\]

Remarque

  • Pour mieux comprendre la définition de la limite finie d’une fonction en un point, on pourra lire la première phrase comme suit : on dit que \(f\) tend vers \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(a\) si \(f(x)\) peut être rendu aussi proche que l’on veut de \(\ell\) en prenant \(x\) suffisamment proche de \(a\) .

  • En particulier, si \(f\) est définie en \(a\) et si \(f\) admet une limite en \(a\), alors nécessairement : \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\). Attention, cela n’est bien sûr vrai que si \(f\) admet une limite en \(a\).

  • On peut remarquer qu’il est équivalent de dire que \(f(x)\) tend vers \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(a\) et que \(f(x)-\ell\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(a\).

  • On notera \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0^+\) pour dire que \(f\) tend vers \(0\) en \(a\) en restant positive au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0^-\) pour dire que \(f\) tend vers \(0\) en \(a\) en restant négative au voisinage de \(a\).

Proposition

Pour tout entier naturel \(n\) et pour tout réel \(a\), on a :

  • \(\displaystyle\lim_{x\to a} x^n=a^n\)

  • si \(a\geqslant 0\), \(\displaystyle\lim_{x\to a} \sqrt{x}=\sqrt{a}\)

  • si \(a\neq 0\), \(\displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{1}{x^n}=\dfrac{1}{a^n}\)

Définition

On suppose que \(\ell\) est réel.

  • On dit que \(f\) tend vers \(\ell\) en \({+\infty}\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} f(x)=\ell\) ou \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=\ell\) si : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,A\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x>A,\ \left| f(x)-\ell \right| < \varepsilon\]

  • On dit que \(f\) tend vers \(\ell\) en \({-\infty}\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to {-\infty}} f(x)=\ell\) ou \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=\ell\) si : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,A\in\mathbb{R}_-^\ast \ / \ \forall x<A,\ \left| f(x)-\ell \right| < \varepsilon\]

Proposition

Pour tout entier naturel \(n\), on a :

  • \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} \dfrac{1}{x^n}=0\)

  • \(\displaystyle\lim_{x\to {-\infty}} \dfrac{1}{x^n}=0\)

Preuve

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

  • Soit \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast\). Pour tout réel \(x\) strictement positif, on a : \[\left| \frac{1}{x^n} \right| < \varepsilon \Longleftrightarrow x^n > \frac{1}{\varepsilon}\] et donc, la fonction \(t\mapsto \sqrt[n]{t}\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) : \[\left| \frac{1}{x^n} \right| < \varepsilon \Longleftrightarrow x > \frac{1}{\sqrt[n]{\varepsilon}}\] ce qui prouve, en posant \(A=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[n]{\varepsilon}}\) : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,A\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x>A,\ \left| \frac{1}{x^n}-0 \right| < \varepsilon\] c’est-à-dire : \[\lim_{x\to {+\infty}} \frac{1}{x}=0\]

  • Se démontre comme le point précédent.

Limite infinie en un point

Définition

On suppose que \(a\) est un réel.

  • On dit que \(f\) tend vers \({+\infty}\) en \(a\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={+\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ f(x)>M\]

  • On dit que \(f\) tend vers \({+\infty}\) en \(a\) à droite et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)={+\infty}\) ou \(\displaystyle\lim_{x\underset >\to a } f(x)={+\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,[a,a+\alpha[\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ f(x)>M\]

  • On dit que \(f\) tend vers \({+\infty}\) en \(a\) à gauche et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)={+\infty}\) ou \(\displaystyle\lim_{x\underset <\to a } f(x)={+\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha,a]\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ f(x)>M\]

  • On dit que \(f\) tend vers \({-\infty}\) en \(a\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={-\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ f(x)<M\]

  • On dit que \(f\) tend vers \({-\infty}\) en \(a\) à droite et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)={-\infty}\) ou \(\displaystyle\lim_{x\underset >\to a } f(x)={-\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,[a,a+\alpha[\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ f(x)<M\]

  • On dit que \(f\) tend vers \({-\infty}\) en \(a\) à gauche et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)={-\infty}\) ou \(\displaystyle\lim_{x\underset <\to a } f(x)={-\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha,a]\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ f(x)<M\]

Proposition

\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}={+\infty},\qquad \quad\text{et}\quad\qquad \lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x}={-\infty}\]

Exercice

Démontrer la proposition.

Solution

On démontre le premier résultat, le deuxième se démontre de manière analogue. Il suffit de poser, pour tout réel \(M>0\), \(\alpha=\dfrac{1}{M}\) et, pour \(M\leqslant 0\), \(\alpha=1\) pour écrire, grâce à la croissance sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) de la fonction inverse : \[\forall M\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists \,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\left]0,\alpha \right[,\ \frac{1}{x}>M\]

ce qui signifie bien que : \[\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}={+\infty}\]

Définition

  • On dit que \(f\) tend vers \({+\infty}\) en \({+\infty}\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} f(x)={+\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,A\in\mathbb{R}\ / \ \forall x>A,\ f(x)>M\]

  • On dit que \(f\) tend vers \({+\infty}\) en \({-\infty}\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to {-\infty}} f(x)={+\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,A\in\mathbb{R}\ / \ \forall x<A,\ f(x)>M\]

  • On dit que \(f\) tend vers \({-\infty}\) en \({+\infty}\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} f(x)={-\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,A\in\mathbb{R}\ / \ \forall x>A,\ f(x)<M\]

  • On dit que \(f\) tend vers \({-\infty}\) en \({-\infty}\) et on note \(\displaystyle\lim_{x\to {-\infty}} f(x)={-\infty}\) si : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists\,A\in\mathbb{R}\ / \ \forall x<A,\ f(x)<M\]

Proposition

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[\lim_{x\to {+\infty}} x^n={+\infty},\qquad \quad\text{et}\quad\qquad \lim_{x\to {+\infty}} \sqrt{x}={+\infty}.\]

Exercice

Démontrer la proposition.

Solution

  • Si \(M\geqslant 0\), on pose \(A=\sqrt[n]{M}\) et si \(M<0\), on pose \(A=0\). La fonction \(x\mapsto x^n\) étant croissante sur \(\mathbb{R}^+\), on a alors : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists \,A\in\mathbb{R}\ / \ \forall x>A,\ x^n >M\]

    ce qui signifie bien que : \[\lim_{x\to {+\infty}} x^n={+\infty}\]

  • Pour tout réel \(M\), on pose \(A=M^2\). La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) étant croissante sur \(\mathbb{R}^+\), on a alors : \[\forall M\in\mathbb{R},\ \exists \,A\in\mathbb{R}\ / \ \forall x>A,\ \sqrt{x}>M\]

    ce qui signifie que : \[\lim_{x\to {+\infty}} \sqrt{x} ={+\infty}\]

Théorème

Si \(f\) admet une limite \(\ell\) en \(a\), alors cette limite est unique.

Exercice

On se propose de démontrer que, si \(f\) admet pour limite \(\ell\) en \(a\), alors sa limite \(\ell\) est unique. On traite le cas où \(a\) est un réel, invitant le lecteur à s’inspirer de cette preuve pour traiter les autres cas.

  1. On suppose que \(f\) admet deux limites finies \(\ell\) et \(\ell'\) en \(a\).

    • En appliquant la définition de la limite, démontrer que : \[\forall \varphi\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \left| \ell – \ell' \right| \leqslant 2\varepsilon\]

    • En déduire que : \(\ell=\ell'\).

  2. On suppose que \(f\) tend vers \({+\infty}\) en \(a\). Démontrer que \(f\) ne peut avoir une limite finie ou une limite égale à \({-\infty}\).

Solution

    • Soit \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast\). On a : \[\left| \ell – \ell' \right| = \left| \ell – f(x)+f(x)-\ell' \right|\] et donc, d’après l’inégalité triangulaire : \[\left| \ell – \ell' \right| \leqslant \left| \ell-f(x) \right|+\left| f(x)-\ell' \right|\]

      De plus, comme \(f\) admet deux limites finies \(\ell\) et \(\ell '\) en \(a\), on a, par définition de la limite : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \begin{cases} \exists\,\alpha_1\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha_1,a+\alpha_1[\,\cap\, \mathcal{D}_f,\ \left| f(x)-\ell \right| < \varepsilon\\ \exists\,\alpha_2\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha_2,a+\alpha_2[\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ \left| f(x)-\ell' \right| < \varepsilon \end{cases}\]

      Posons alors : \(\alpha=\min(\alpha_1,\alpha_2)\). On a alors, en choisissant un réel \(x\) quelconque appartenant à \(]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap\,\mathcal{D}_f\) (qui n’est pas vide car \(f\) est supposée définie sur un voisinage épointé de \(a\)) \[\left| \ell-f(x) \right| < \varepsilon \quad\text{et}\quad\left| f(x)-\ell' \right|< \varepsilon\] et donc : \[\boxed{\forall \varepsilon \in\mathbb{R}_+^\ast,\ \left| \ell – \ell' \right| \leqslant 2\varepsilon}\]

    • Supposons que : \(\ell\neq \ell'\). On a alors : \[\left| \ell – \ell' \right| >0\] et alors, d’après le résultat de la question précédente avec \(\varepsilon= \dfrac{\left| \ell – \ell' \right| }{2}\) : \[\left| \ell – \ell' \right| > \left| \ell – \ell' \right|\] ce qui est absurde et nous permet de conclure : \[\boxed{\ell=\ell'}\]

  2. Comme \(f\) tend vers \({+\infty}\) en \(a\), on a : \[\forall \ell \in\mathbb{R},\ \exists \alpha \in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\, ]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ f(x) > \ell+1\] ce qui suffit pour affirmer que : \[ f \text{ ne peut tendre ni vers un réel } \ell \text{, ni vers }+\infty\]

    Remarque

    On montre de même qu’une fonction ne peut tendre vers \({-\infty}\) en \(a\) et avoir une autre limite \(\ell\) (réelle ou égale à \({+\infty}\)) en \(a\).

Si \(f\) admet une limite \(\ell\) non nulle en \(a\), il existe un voisinage de \(a\) sur lequel \(f\) ne s’annule pas.

Remarque

Ce résultat n’est pas au programme mais nous sera utile dans un grand nombre de démonstrations. Il est donc important de savoir le redémontrer.

Preuve

On traite le cas où \(a\) et \(\ell\) sont réels (les autres cas se traitent de manière analogue, avec la définition). On suppose donc que : \(\ell\in\mathbb{R}^\ast\). Par définition, on a alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\, ]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ \left| f(x)-\ell \right| <\varepsilon\] soit encore : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\, ]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap\,\mathcal{D}_f,\ \ell-\varepsilon < f(x) < \ell+\varepsilon\] Il suffit alors de prendre \(\varepsilon=\frac{\ell}{2}\) si \(\ell>0\) et \(\varepsilon=-\frac{\ell}{2}\) si \(\ell<0\) (donc \(\varepsilon=\frac{\left| \ell \right|}{2}\)) pour voir qu’il existe un voisinage de \(a\) sur lequel \(f\) ne s’annule pas.

Remarque

On a même prouvé que, si \(f\) admet une limite \(\ell\) non nulle en \(a\), la fonction \(\left| f \right|\) admet un minorant \(m\) strictement positif au voisinage de \(a\).

Limites et opérations algébriques

Théorème

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions, \(\ell\) et \(\ell '\) deux réels. Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\ell'\), alors :

  • si \(\lambda\) est un réel : \(\displaystyle\lim_{x\to a} \lambda f(x)=\lambda \ell\)

  • \(\displaystyle\lim_{x\to a}\left| f(x) \right|=\left| \ell \right| \rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • \(\displaystyle\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=\ell+\ell' \rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) \times g(x)= \ell\times \ell' \rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • si \(\ell'\neq 0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell}{\ell'}\)

Remarques

  • Ces résultats restent valables dans le cas d’une limite à droite ou à gauche en \(a\) si \(a\in\mathbb{R}\).

  • Attention : on ne peut rien dire de la limite éventuelle de \(f\) en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\to a} \left| f(x) \right|=\ell\) avec \(\ell>0\). \(f\) peut tendre vers \(\ell\), vers \(-\ell\), ou même ne pas avoir de limite.

Exemples

Pour tout \(a\in\mathbb{R}\), comme \(\displaystyle\lim_{x\to a} x=a\), on en déduit successivement :

  • \(\displaystyle\forall \alpha\in\mathbb{R},\ \lim_{x\to a} \alpha x=\alpha a\),

  • pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et pour toute fonction polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n\) : \(\displaystyle\lim_{x\to a} P(x) =P(a)\) (par récurrence sur \(n\) et en utilisant i et iii),

  • pour toute fonction rationnelle \(R\) définie en \(a\) : \(\displaystyle\lim_{x\to a} R(x)=R(a)\).

Théorème

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions.

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell \in\mathbb{R}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={+\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]={+\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={+\infty}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={+\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]={+\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell \in\mathbb{R}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={-\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]={-\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={-\infty}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={-\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]={-\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

Preuve

On démontre le point i dans le cas où \(a\) est réel (les autres points et les cas où \(a\) est infini se prouvent de manière analogue).

Soit \(M\in\mathbb{R}\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell\in\mathbb{R}\), on a, par définition de la limite : \[\exists\,\alpha_1\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha_1,a+\alpha_1[\,\cap \,I,\ \left| f(x)-\ell \right|<1\] et alors : \[\exists\,\alpha_1\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha_1,a+\alpha_1[\,\cap \,I,\ f(x)>\ell-1\] De plus, comme \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={+\infty}\), on peut écrire : \[\exists\,\alpha_2\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha_2,a+\alpha_2[\,\cap\,I,\ g(x)>M-\ell+1\] et alors, en posant \(\alpha=\min(\alpha_1,\alpha_2)\) : \[\exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap\,I,\ f(x)+g(x)>M\] ce qui prouve, ceci étant vrai pour tout réel \(M\), que : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]={+\infty}\).

Remarque

Ces résultats restent valables dans le cas d’une limite à gauche ou à droite dans le cas où \(a\) est réel.

Exemple

Comme \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} \dfrac{1}{x}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} x^2={+\infty}\), on a : \[\lim_{x\to {+\infty}} \left(\frac{1}{x}+x^2\right)={+\infty}\]

Théorème

Soit, \(f\) et \(g\) deux fonctions.

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell \in\mathbb{R}_+^\ast\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={+\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)\times g(x)]={+\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell \in\mathbb{R}_-^\ast\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={+\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)\times g(x)]={-\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={+\infty}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={+\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)\times g(x)]={+\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell \in\mathbb{R}_+^\ast\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={-\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)\times g(x)]={-\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell \in\mathbb{R}_-^\ast\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={-\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)\times g(x)]={+\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={+\infty}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={-\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)\times g(x)]={-\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={-\infty}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={-\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} [f(x)\times g(x)]={+\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

Exercice

Démontrer le théorème.

Solution

On démontre le point i dans le cas où \(a={+\infty}\) (le point iii et les cas où \(a\) est réel ou égal à \({-\infty}\) se prouvent de façon analogue, les autres cas s’en déduisent en considérant \(-f\) et/ou \(-g\)).

Soit \(M\in\mathbb{R}\). Par définition de la limite, on peut écrire, comme \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} g(x)={+\infty}\) : \[\exists\,\alpha_1\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x>\alpha_1,\ g(x)>M\]

De plus, comme \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} f(x)=\ell\in\mathbb{R}_+^\ast\), on obtient, en prenant \(\varepsilon=\dfrac{\ell}{2}\) dans la définition de la limite : \[\exists\,\alpha_2\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x>\alpha_2,\ \left| f(x)-\ell \right| < \frac{\ell}{2}\]

et alors : \[\exists\,\alpha_2\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x>\alpha_2,\ f(x)> \frac{\ell}{2}\]

et donc, en posant \(\alpha=\max(\alpha_1,\alpha_2)\) : \[\exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x>\alpha,\ f(x)g(x)>\frac{M\ell}{2}\]

Comme ce résultat est vrai pour tout réel \(M\) et comme \(\ell\neq 0\), on obtient alors, en substituant \(\dfrac{2M}{\ell}\) à \(M\) : \[\exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x>\alpha,\ f(x)g(x)>M\]

c’est-à-dire : \[\lim_{x\to {+\infty}} f(x)g(x)={+\infty}\]

Remarque

Ces résultats restent valables dans le cas d’une limite à gauche ou à droite dans le cas où \(a\) est réel.

Exemple

Comme \(\displaystyle\lim_{x\to {-\infty}} \left(\dfrac{1}{x}-3\right)=-3\) et \(\displaystyle\lim_{x\to {-\infty}} (x^3+x)={-\infty}\), on a : \[\lim_{x\to {-\infty}} \left(\dfrac{1}{x}-3\right)(x^3+x)={+\infty}\]

Théorème

Soint \(J\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(b\) un élément de \(J\) ou une borne (éventuellement infinie) de \(J\). On suppose que \(f\) prend ses valeurs dans \(J\) et que \(g\) est une fonction définie sur \(J\).

Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=b\) et \(\displaystyle\lim_{x\to b} g(x)=\ell\), alors : \[\lim_{x\to a} (g \circ f)(x)=\ell\]

Preuve

On suppose que \(a\), \(b\) et \(\ell\) sont réels (la démonstration analogue dans les autres cas, en adaptant la définition de la limite). Soit \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to b} g(x)=\ell\), on a : \[\exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in \left] b-\alpha,b+\alpha \right[\,\cap \,J,\ \left| g(x)-\ell \right| <\varepsilon.\] De plus, comme \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=b\), on a : \[\exists\,\eta\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in \left] a-\eta,a+\eta \right[\,\cap \,I,\ \left| f(x)-b \right| <\alpha\] et donc : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,\eta\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\left]a-\eta,a+\eta\right[ \,\cap \,I,\ \left| (g\circ f)(x)-\ell \right| < \varepsilon\] c’est-à-dire : \(\displaystyle\lim_{x\to a} (g \circ f)(x)=\ell\).

Remarque

Ces résultats restent valables dans le cas d’une limite à gauche ou à droite dans le cas où \(a\) est réel.

Exercice

Déterminer la limite éventuelle de \(f:x\mapsto \sqrt{\dfrac{3-x}{x+2}}\) en \(2\).

Solution

On remarque tout d’abord que la fonction \(x\mapsto \dfrac{3-x}{x+2}\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus \{-2\}\) et qu’elle est positive uniquement sur \(]-2,3]\) donc, comme la fonction \(t\mapsto \sqrt{t}\) est définie sur \(\mathbb{R}^+\), \(f\) est définie sur \(]-2,3]\) donc il est pertinent de chercher la limite en \(2\).

De plus, comme la fonction \(x\mapsto \dfrac{3-x}{x+2}\) est une fonction rationnelle définie en \(2\), on a, d’après l’exemple 16.5 : \[\lim_{x\to 2} \dfrac{3-x}{x+2}=\dfrac{3-2}{2+2}=\frac{1}{4}\]

Par ailleurs, on a : \[\lim_{x\to \frac{1}{4}} \sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\]

et donc : \[\lim_{x\to 2} f(x)=\frac{1}{2}\]

Remarque

Comme \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}={+\infty}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x}={-\infty}\), on en déduit le théorème suivant :

Théorème

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\ell\in\{{-\infty},{+\infty}\}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{1}{g(x)}=0\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell\in\mathbb{R}_+^\ast\cup \{{+\infty}\}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0^+\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}={+\infty}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell\in\mathbb{R}_-^\ast \cup \{{-\infty}\}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0^+\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}={-\infty}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell\in\mathbb{R}_+^\ast\cup \{{+\infty}\}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0^-\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}={-\infty}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell\in\mathbb{R}_-^\ast \cup \{{-\infty}\}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0^-\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}={+\infty}\)

Exercice

Déterminer la limite éventuelle de \(f:x\mapsto \sqrt{\dfrac{3-x}{x+2}}\) en \(-2\).

Solution

On a déjà vu précédemment que \(f\) est définie sur \(]-2,3]\), donc il est pertinent de rechercher la limite de \(f\) en \(-2\). De plus, on a : \[\lim_{x\to -2^+} (3-x)=5>0 \quad\text{et}\quad\lim_{x\to -2^+} (x+2)=0^+\] donc : \[\lim_{x\to -2^+} \dfrac{3-x}{x+2}={+\infty}\] et comme \(\displaystyle\lim_{x\to {+\infty}} \sqrt{x}={+\infty}\), on conclut : \[\lim_{x\to -2^+} \sqrt{\dfrac{3-x}{x+2}}={+\infty}\]

Ordre et limites de fonctions

Dans toute la suite de cette partie et sauf précision complémentaire, \(a\), \(b\) et \(\ell\) sont des éléments quelconques de \(\overline{\mathbb{R}}\) et \(I\) est un voisinage, éventuellement épointé, de \(a\).

Sauf précision, toutes les fonctions envisagées sont définies sur \(I\).

Théorème

Théorème de l’encadrement Soit \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions telles que : \[\forall x\in I,\ f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)\] Si \(\ell \in\mathbb{R}\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=\ell\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\ell\).

Preuve

On démontre le théorème dans le cas où \(a={+\infty}\). Les cas \(a={-\infty}\) ou \(a\in\mathbb{R}\) se traitent de manière analogue, en adaptant la définition.

Comme \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=\ell\), on a : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \begin{cases} \exists\,A_1\in\mathbb{R}\ / \ \forall x\geqslant A_1,\ \ell- \varepsilon < f(x) < \ell +\varepsilon \\ \exists\,A_2\in\mathbb{R}\ / \ \forall x\geqslant A_2,\ \ell- \varepsilon < h(x) < \ell +\varepsilon \end{cases}\] et alors, en posant \(A=\max(A_1,A_2)\) : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,A\in\mathbb{R}\ / \ \forall x\geqslant A,\ \ell- \varepsilon < g(x) < \ell +\varepsilon\] ce qui prouve que : \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\ell\).

Exercice

Déterminer la limite de \(f:x\mapsto \dfrac{\cos(x)+\sin(x)}{x}\) en \({+\infty}\).

Solution

On a : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ -2\leqslant \cos(x)+\sin(x) \leqslant 2\]

et donc : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ -\frac{2}{x} \leqslant f(x) \leqslant \frac{2}{x}\]

Enfin, on sait que : \[\lim_{x\to {+\infty}} \frac{2}{x}=\lim_{x\to {+\infty}} -\frac{2}{x}=0\]

ce qui nous permet de conclure, grâce au théorème de l’encadrement : \[\lim_{x\to {+\infty}} f(x)=0\]

Remarques

  • Si \(a\) appartient à \(\mathbb{R}\) et est une borne de \(I\), la limite envisagée dans ce théorème est une limite à gauche ou à droite, selon que \(a=\sup I\) ou \(a=\inf I\).

  • Ce théorème reste valable dans le cas d’une limite à gauche ou à droite en \(a\) dans le cas où \(a\) est réel.

  • Attention à la rédaction et ne pas écrire \(\displaystyle\lim_a f \leqslant \lim_a g\leqslant \lim_a h\) avant de conclure. En effet, on ne peut pas écrire \(\displaystyle\lim_a g\) tant que son existence n’a pas été prouvée, ni écrire une égalité ou une inégalité si on n’a pas prouvé que cette limite est finie.

  • En conséquence immédiate du théorème de l’encadrement, on obtient également cette deuxième version :

Théorème

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que : \[\forall x\in I,\ \left| f(x) \right| \leqslant g(x)\] Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0\).

Théorème de prolongement des inégalités

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que : \(\displaystyle\forall x\in I,\ f(x) \leqslant g(x)\).

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell\in\mathbb{R}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\ell'\in\mathbb{R}\), alors : \(\ell \leqslant \ell' \rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={+\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={+\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

  • Si \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)={-\infty}\), alors : \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)={-\infty}\rule[0pt]{0pt}{15pt}\)

Remarques

  • Si \(a\) est une borne de \(I\), la limite envisagée dans ce théorème est une limite à gauche ou à droite, selon que \(a=\sup I\) ou \(a=\inf I\).

  • Ce théorème reste valable dans le cas d’une limite à gauche ou à droite en \(a\) dans le cas où \(a\) est réel.

  • Attention, par prolongement, une inégalité stricte devient large. Par exemple, on a : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast, \frac{1}{x}>0 ,\quad \text{mais} \lim_{x\to {+\infty}} \frac{1}{x} \geqslant 0\]

Théorème de la limite monotone

On suppose que \(a\in\mathbb{R}\cup \{{-\infty}\}\), \(b\in\mathbb{R}\cup\{{+\infty}\}\) et, si \(a\) et \(b\) sont réels : \(a<b\).

Théorème de la limite monotone

Si \(f\) est une fonction monotone sur \(]a,b[\), alors \(f\) admet une limite (finie ou infinie) à droite en \(a\) et à gauche en \(b\).

Remarques

  • Ce théorème est démontré dans la section Pour aller plus loin .

  • En pratique, ce théorème sert peu aux concours. On l’utilise le plus souvent pour étudier des fonctions du type \(\displaystyle x\mapsto \sum_{k=0}^{+\infty}u_k(x)\) ou \(\displaystyle x\mapsto \int_a^b f(x,t)\,\mathrm{d}t\), dont on ne sait pas calculer les limites simplement.

Chapitre Précédent
Retour à la/au Leçon
Chapitre Suivant