Limite d’une suite réelle

• Supposons que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) admette deux limites finies \(\ell\) et \(\ell '\). Par définition, on a alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon,1}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| u_n-\ell \right| < \varepsilon\] et : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon,2}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon',\ \left| u_n-\ell' \right| < \varepsilon\]

  Posons alors, pour tout \(\varepsilon> 0\), \(n_\varepsilon=\max(n_{\varepsilon,1},n_{\varepsilon,2})\). On a donc, d’après l’inégalité triangulaire : \[\begin{aligned} \forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| \ell-\ell' \right| &= \left| \ell-u_n+u_n-\ell' \right|\\ &\leqslant \left| \ell-u_n \right|+\left| u_n-\ell' \right|\\ &\leqslant 2\varepsilon \end{aligned}\]

  Ceci étant vrai pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif, on a donc : \(\left| \ell-\ell' \right|=0\), d’où : \(\ell=\ell'\).

• Supposons que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) tende vers \({+\infty}\). On a alors : \[\forall \ell \in\mathbb{R},\ \exists n_\ell \in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\ell,\ u_n > \ell+1\] ce qui suffit pour affirmer que \(u\) ne peut tendre ni vers un réel \(\ell\), ni vers \({-\infty}\).

• On montre de même qu’une suite ne peut tendre vers \({-\infty}\) et avoir une autre limite \(\ell\), réelle ou égale à \({+\infty}\).

• On suppose que : \(\alpha>0\). La fonction \(t\mapsto t^\frac{1}{\alpha}\) est alors strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et donc : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ (n^\alpha>A \Longleftrightarrow n>A^\frac{1}{\alpha})\] et donc, en notant \(n_A=\left\lfloor A^\frac{1}{\alpha} \right\rfloor+1\) pour tout \(A\in\mathbb{R}_+^\ast\) : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\, n_A\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A,\ n^\alpha>A\] ce qui prouve que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}n^\alpha={+\infty}\) si \(\alpha>0\).

• Si \(\alpha=0\), la suite \((n^\alpha)_{n\in\mathbb{N}}\) est constante égale à \(1\), donc converge vers \(1\).

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• On suppose que : \(\alpha<0\). La fonction \(t\mapsto t^\frac{1}{\alpha}\) est alors strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et donc : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ (n^\alpha < \varepsilon \Longleftrightarrow n> \varepsilon ^\frac{1}{\alpha})\] et donc, en notant \(n_\varepsilon=\left\lfloor \varepsilon^\frac{1}{\alpha} \right\rfloor+1\) pour tout \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast\) : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\, n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ n^\alpha < \varepsilon\] ou encore : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\, n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| n^\alpha \right| < \varepsilon\] ce qui prouve que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}n^\alpha=0\) si \(\alpha<0\).

• On suppose que : \(q>1\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), on a alors : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ q^n > A \Longleftrightarrow n\ln(q) > \ln(A)\] et donc, comme \(\ln(q) >0\) (car \(q>1\)) : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ q^n > A \Longleftrightarrow n > \frac{\ln(A)}{\ln(q)}\] Ainsi, on a, en notant \(n_A=\left\lfloor \dfrac{\ln(A)}{\ln(q)} \right\rfloor+1\) si \(A\geqslant 1\) et \(n_A=0\) sinon : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists \,n_A\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A,\ q^n >A\] ce qui prouve que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}q^n={+\infty}\) si \(q>1\).

• Si \(q=1\), la suite \((q^n)_{n\in\mathbb{N}}\) est constante égale à \(1\), donc converge vers \(1\).

• Si \(q=0\), la suite \((q^n)_{n\in\mathbb{N}}\) est constante égale à \(0\) à partir du rang \(1\), donc converge vers \(0\).

• Supposons que : \(q\in\,]-1,1[\) et \(q\neq 0\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et \(\ln(q)\) étant strictement négatif, on a alors : \[\begin{aligned} \forall \varepsilon>0,\ \forall n\in\mathbb{N},\ \left| q^n \right| < \varepsilon &\Longleftrightarrow n\ln\left| q \right| < \ln(\varepsilon)\\ &\Longleftrightarrow n> \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left| q \right|} \end{aligned}\] et donc, en posant \(n_\varepsilon=0\) si \(\displaystyle\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left| q \right|}\leqslant 0\) et \(n_\varepsilon=\left\lfloor \dfrac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left| q \right|} \right\rfloor+1\) sinon : \[\forall \varepsilon>0,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| q^n \right| < \varepsilon\] ce qui prouve que \(\lim\limits_{n\to+\infty}q^n=0\) si \(q\in\,]-1,1[\).

• On suppose maintenant que : \(q\leqslant -1\). On a alors : \[\tag{1} \forall n \in \mathbb{N},\ \begin{cases} \hfill q^{2n} \geqslant 1 \hfill \\ q^{2n+1} \leqslant -1 \end{cases}\] Ainsi, la suite \((q^n)_{n\in\mathbb{N}}\) ne peut tendre ni vers \({+\infty}\) (il n’existe pas de rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à \(1\)), ni vers \({-\infty}\) (il n’existe pas de rang à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à \(-1\)).

  Supposons alors que la suite \((q^n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers une limite \(\ell\). On a alors : \[\forall \varepsilon>0,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| q^n-\ell \right| < \varepsilon\] soit encore : \[\forall \varepsilon>0,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ q^n -\varepsilon < \ell < q^n+\varepsilon\] En prenant \(\varepsilon=1\), on en déduit : \[\exists\,n_1\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_1,\ q^n-1 < \ell < q^n +1\] et donc, en particulier : \[\exists\,n_1\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_1,\ q^{2n}-1 < \ell < q^{2n+1} +1\] et d’après (1) : \[0 < \ell < 0\] ce qui est légèrement problématique, nous permettant de conclure que la suite \((q^n)_{n\in\mathbb{N}}\) n’a pas de limite si \(q\leqslant -1\).

Supposons que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers un réel \(\ell\). Il existe alors un entier naturel \(p\) tel que : \[\forall n\geqslant p+1,\ \ell-1 \leqslant u_n \leqslant \ell+1\] Par ailleurs, l’ensemble \(\{u_n,n\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,p} \right]\kern-0.15em\right]\}\) est fini, donc admet un minimum \(a\) et un maximum \(b\), et : \[\forall n\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,p} \right]\kern-0.15em\right],\ a \leqslant u_n \leqslant b\] Finalement, en prenant \(m=\min(a,\ell-1)\) et \(M=\max(b,\ell+1)\), on a donc : \[\forall n \in \mathbb{N},\ m \leqslant u_n \leqslant M\] donc la suite \(u\) est bornée.

• Supposons que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\ell\). On a alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| u_n-\ell \right| \leqslant \varepsilon\]

  En particulier, comme \(2n\geqslant n\) et \(2n+1\geqslant n\) pour tout entier naturel \(n\), on a donc : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \begin{cases} \left| u_{2n}-\ell \right| \leqslant \varepsilon \\ \left| u_{2n+1}-\ell \right| \leqslant \varepsilon \end{cases}\] donc les suites \((u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) convergent toutes deux vers \(\ell\).

• Réciproquement, supposons que les suites \((u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) convergent toutes deux vers le même réel \(\ell\). On a donc : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon,1}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{\varepsilon,1},\ \left| u_{2n}-\ell \right| \leqslant \varepsilon\] et : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon,2}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{\varepsilon,2}\ \left| u_{2n+1}-\ell \right| \leqslant \varepsilon\] et alors, en posant \(n_\varepsilon=\max(2n_{\varepsilon,1},2n_{\varepsilon,2}+1)\) : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| u_n-\ell \right| \leqslant \varepsilon\] ce qui prouve que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\ell\).

On traite le cas où \(\ell\) est strictement positif, le cas où \(\ell\) est strictement négatif se traite de manière analogue. Comme \(u\) converge vers \(\ell\), on a : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \ell-\varepsilon < u_n < \ell +\varepsilon\] et donc, en prenant \(\varepsilon=\ell\) : \[\exists\,n_0\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_0,\ 0<u_n\]

Comme la suite \(u\) est bornée, il existe un réel \(M\) strictement positif tel que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \left| u_n \right| \leqslant M\] et alors : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \left| u_nv_n \right| \leqslant M\left| v_n \right|.\]

De plus, comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0\), la définition de la limite nous permet d’écrire : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| v_n \right| \leqslant \frac{\varepsilon}{M}\] et alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| u_nv_n \right| \leqslant \varepsilon\] et donc : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_nv_n=0\).

• Le résultat est immédiat si \(\lambda=0\), car alors la suite \((\lambda u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est constante nulle donc converge vers \(0\). On suppose maintenant que \(\lambda\) n’est pas nul. Comme \(\left| \lambda \right|>0\), on a alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| u_n-\ell \right| \leqslant \frac{\varepsilon}{\left| \lambda \right|}\] et donc : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| \lambda u_n-\lambda \ell \right| \leqslant \varepsilon\] d’où : \(\lim\limits_{n\to+\infty}\lambda u_n=\lambda \ell\).

• D’après l’inégalité triangulaire, on a : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \left| \left| u_n \right|-\left| a \right| \right| \leqslant \left| u_n-a \right|\] Comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=a\), on en déduit : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| \left| u_n \right|-\left| a \right| \right| \leqslant \left| u_n-a \right|\leqslant \varepsilon\] et donc : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left| u_n \right| =\left| a \right|\]

• D’après l’inégalité triangulaire, on a : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N},\ \left| (u_n+v_n)-(a+b) \right| &= \left| (u_n-a)+(v_n-b) \right|\\ &\leqslant \left| u_n-a \right|+\left| v_n-b \right| \end{aligned}\] De plus, comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=a\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=b\), on a : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon,1}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{\varepsilon,1},\ \left| u_n-a \right|\leqslant \varepsilon \quad\text{et}\quad \forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon,2}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{\varepsilon,2},\ \left| v_n-b \right|\leqslant \varepsilon\] et donc, en posant \(n_\varepsilon=\max(n_{\varepsilon,1},n_{\varepsilon,2})\) : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{\varepsilon},\ \left| (u_n+v_n)-(a+b) \right| \leqslant 2\varepsilon\] ce qui prouve que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n+v_n)=a+b\).

• On peut remarquer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_nv_n-ab=(u_n-a)v_n+a(v_n-b)\] Or, par hypothèse, les suites \((u_n-a)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n-b)_{n\in\mathbb{N}}\) convergent vers \(0\). De plus, comme la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge, elle est bornée. On en déduit : \[\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n-a)v_n=0 \quad\text{et}\quad\lim\limits_{n\to+\infty}a(v_n-b)=0\] et donc, d’après iii : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_nv_n=ab\).

• On suppose que : \(b\neq 0\). On en déduit déjà que la suite \(\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)\) est définie à partir d’un certain rang \(p\). Pour simplifier les notations, on suppose que : \(p=0\). On a alors : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N},\ \frac{u_n}{v_n}-\frac{a}{b} &= \frac{bu_n-av_n}{bv_n}\\ &= \frac{b(u_n-a)-a(v_n-b)}{bv_n} \end{aligned}\] Or, comme les suites \((u_n-a)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n-b)_{n\in\mathbb{N}}\) convergent vers \(0\), les points i et iii nous permettent d’écrire : \[\lim\limits_{n\to+\infty}[b(u_n-a)-a(v_n-b)]=0\] Montrons alors que la suite \(\left(\dfrac{1}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) est bornée. Par définition de la limite, on a : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ b-\varepsilon < v_n < b+\varepsilon\] et donc : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| v_n \right| > \max(\left| b+\varepsilon \right|,\left| b-\varepsilon \right|)\]

  En fixant alors \(\varepsilon\) distinct de \(-\left| b \right|\) et de \(\left| b \right|\) (de sorte que \(b-\varepsilon\) et \(b+\varepsilon\) ne soient pas nuls, on en déduit, en posant \(M=\max(\left| b+\varepsilon \right|,\left| b-\varepsilon \right|)\) : \[\exists\,n_0\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_0,\ \left| \frac{1}{v_n} \right| \leqslant \frac{1}{M}\] donc la suite \(\left(\dfrac{1}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) est bornée, et l’on peut donc conclure : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}\]

• On suppose que : \(b=0^+\) et \(a>0\). On a donc : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{A,1}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{A,1},\ 0<v_n < \frac{1}{A}\] et alors, la fonction \(t\mapsto \dfrac{1}{t}\) étant strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{A,1}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{A,1},\ \frac{1}{v_n} > A>0\]

  De plus, comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=a\) et \(a>\dfrac{a}{2}\), il existe un entier naturel \(n_{A,2}\) tel que : \[\forall n\geqslant n_0,\ u_n\geqslant \frac{a}{2}>0\] et alors, en posant \(n_A=\max(n_0,n_{A,1})\) : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_A\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A,\ \frac{u_n}{v_n} > \frac{aA}{2}\] et finalement, prenant, pour tout \(m\in\mathbb{R}_+^\ast\), \(A=\dfrac{2m}{a}\) : \[\forall m\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_m\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_m,\ \frac{u_n}{v_n} > m\] ce qui prouve que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n} ={+\infty}\).

On démontre ici le deuxième point, laissant au lecteur le soin de s’en inspirer pour démontrer les autres. On suppose donc que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n ={+\infty}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\ell\in\mathbb{R}\). La suite \(v\) étant convergente, elle est bornée et admet donc un minorant \(m\). De plus, par définition, on a : \[\forall A\in\mathbb{R},\ \exists\,n_A\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A,\ u_n>A-m\] et alors : \[\forall A\in\mathbb{R},\ \exists\,n_A\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A,\ u_n+v_n>A\] ce qui prouve que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n+v_n)={+\infty}\).

• On suppose que la suite \(u\) converge et que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n\in\{{-\infty},{+\infty}\}\).

  Comme la suite \(u\) converge, elle est bornée. On traite le cas où la suite \(v\) tend vers \({+\infty}\). On a alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ v_n > \frac{1}{\varepsilon}>0\] et alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ 0 < \frac{1}{v_n} < \varepsilon\] et donc : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{v_n}=0\] ce qui nous permet de conclure : \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=0\).

• On suppose que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell\in\mathbb{R}_+^\ast\cup \{{+\infty}\}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n={+\infty}\). Par définition, on a : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_A\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A,\ v_n>A\] De plus, en prenant \(m=\dfrac{\ell}{2}\) (si \(u\) converge vers \(\ell\), \(\ell\) est fixé, si \(u\) diverge evrs \({+\infty}\), on prend un réel \(\ell\) arbitraire strictement positif), on peut affirmer qu’il existe un entier naturel \(n_0\) tel que : \[\forall n\geqslant n_0,\ u_n>m>0\] et alors, en prenant \(n_A'=\max(n_A,n_0)\) : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_A'\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A',\ u_nv_n > mA\] ce qui nous permet de conclure (quitte à substituer \(\dfrac{A}{m}\) à \(A\)) : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_nv_n={+\infty}\).

• Se démontre de manière analogue au point i.

Comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=\ell\), on a, par définition de la limite : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon,1}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{\varepsilon,1},\ \ell-\varepsilon \leqslant u_n \leqslant \ell +\varepsilon\] et : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon,2}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{\varepsilon,2},\ \ell-\varepsilon \leqslant w_n \leqslant \ell +\varepsilon\] et alors, en posant \(n_\varepsilon=\max(p,n_{\varepsilon,1},n_{\varepsilon,2})\) : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_{\varepsilon},\ \ell-\varepsilon \leqslant v_n \leqslant \ell +\varepsilon\] et donc : \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\ell\).

• Supposons que les suites \(u\) et \(v\) convergent et que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n > \lim\limits_{n\to+\infty}v_n\). On a alors : \[\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n-v_n)>0\]

  Par définition de la limite, on en déduit qu’il existe un rang à partir duquel les termes de la suite \(u-v\) sont strictement positifs, ce qui est absurde, et donc : \[\lim\limits_{n\to+\infty}u_n \leqslant \lim\limits_{n\to+\infty}v_n\]

• Supposons que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n={+\infty}\). On a alors : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_A\geqslant p \ / \ \forall n\geqslant n_A,\ u_n>A\] et alors : \[\forall A\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_A\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A,\ v_n>A\] c’est-à-dire : \[\lim\limits_{n\to+\infty}v_n={+\infty}\]

• Se démontre comme le point précédent.

Par définition, on a : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \ell -\varepsilon < u_n < \ell+\varepsilon\] et alors, en prenant \(\varepsilon=\min\{\ell-a,b-\ell\}\) : \[\exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ a\leqslant \ell-\varepsilon < u_n < \ell+\varepsilon \leqslant b\] ce qui prouve le résultat attendu.

Soit \(x\in\mathbb{R}\). On pose : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n=\frac{x^n}{n!}\] Le résultat est immédiat si \(x=0\) (les termes sont alors tous nuls à partir du rang \(1\)). On suppose donc que \(x\neq 0\) et on remarque que : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{x^n}\\ &= \frac{x}{n+1} \end{aligned}\] et donc : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =0\] D’après l’exemple précédent, on peut conclure : \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{x^n}{n!}=0\).

• Supposons que \(f\) soit continue en \(a\) et Soit considérons une suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) d’éléments de \(I\) convergeant vers \(a\).

  Soit \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast\). Comme \(f\) est continue en \(a\), on a, par définition : \[\tag{2} \exists\,\alpha\in\mathbb{R}_+^\ast\ / \ \forall x\in\,]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap \,I,\ \left| f(x)-f(a) \right| < \varepsilon\] De plus, comme \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(a\), il existe un rang \(n_\varepsilon\) (ne dépendant que de \(\alpha\), donc que de \(\varepsilon\) puisque \(\alpha\) ne dépend que de \(\varepsilon\)) tel que : \[\forall n\geqslant n_\varepsilon,\ a-\alpha < u_n < a+\alpha\] et donc, d’après (2) et comme les éléments de la suite \(u\) appartiennent à \(I\) : \[\exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| f(u_n)-f(a) \right| < \varepsilon\] ce qui, ce résultat étant vrai pour tout \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast\), prouve que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}f(u_n)=f(a)\).

• Supposons que, pour toute suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) d’éléments de \(I\) convergeant vers \(a\), la suite \((f(u_n))_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(f(a)\).

  Raisonnons par l’absurde et supposons que \(f\) ne soit pas continue en \(a\). Par contraposée de la définition de la continuité, on peut donc écrire qu’il existe un réel \(\varepsilon\) strictement positif tel que : \[\forall \alpha \in \mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,x\in \,]a-\alpha,a+\alpha[ \,\cap \,I \ / \ \left| f(x)-f(a) \right| \geqslant \varepsilon\] En particulier, pour tout \( n \in \mathbb{N} \) en prenant \(\alpha=\dfrac{1}{n+1}\), on a donc : \[\tag{3} \exists\,x_n \in\, \left]a-\frac{1}{n+1},a+\frac{1}{n+1}\right[ \,\cap\, I \ / \ \left| f(x_n)-f(a) \right| \geqslant \varepsilon\] Par construction, on a donc : \[\forall n \in \mathbb{N},\ a-\frac{1}{n+1} < x_n < a+\frac{1}{n+1}\] et donc, d’après le théorème de l’encadrement : \[\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=a\] Il en découle, d’après l’hypothèse initiale, que la suite \((f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(f(a)\), c’est-à-dire : \[\exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| f(x_n)-f(a) \right|<\varepsilon\] Il y a donc contradiction avec (3) ce qui prouve finalement que \(f\) est continue en \(a\).

Supposons que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\ell\). Remarquons tout d’abord que, comme \(I\) est stable par \(f\) et comme \(u_0=a\) appartient à \(I\), on peut montrer par récurrence que tous les termes de la suite \(u\) sont bien définis et appartiennent à \(I\). Dès lors, comme \(I\) est un intervalle fermé (i.e. de la forme \(]{-\infty},m]\), \([m,m']\) ou \([m,{+\infty}[\)), le théorème de prolongement des inégalités nous permet d’affirmer que \(\ell\) appartient à \(I\). Comme \(f\) est continue sur \(I\), on a donc : \[\lim\limits_{n\to+\infty}f(u_n)=f(\ell)\] c’est-à-dire : \[\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1}=f(\ell)\] et finalement, comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1}=\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\) : \[\ell=f(\ell)\]

• Supposons que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante et majorée et notons \(P\) l’ensemble des majorants de \(u\). On a donc, en particulier : \[\forall x\in P,\ u_0 \leqslant x\] \(P\) est donc une partie minorée de \(\mathbb{R}\), non vide (car \(u\) est majorée) donc, d’après le théorème de la borne inférieure, admet une borne inférieure \(\ell\). \(\ell\) est donc le plus petit majorant de \(u\), donc : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \ell-\varepsilon \leqslant u_{n_\varepsilon} \leqslant \ell\] Comme la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante et majorée par \(\ell\), on a alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \ell-\varepsilon \leqslant u_n \leqslant \ell\] et alors : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \exists\,n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_\varepsilon,\ \left| u_n- \ell \right| \leqslant \varepsilon\] ce qui prouve que la suite \(u\) converge ves \(\ell\).

• Supposons que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) soit croissante et non majorée. On a donc : \[\forall A\in\mathbb{R},\ \exists\,n_A\in\mathbb{N}\ / \ u_{n_A} \geqslant A\] et alors, comme la suite \(u\) est croissante : \[\forall A\in\mathbb{R},\ \exists\,n_A\in\mathbb{N}\ / \ \forall n\geqslant n_A,\ u_{n} \geqslant A\] ce qui signifie : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n={+\infty}\).

• Se démontre comme le point i.

• Se démontre comme le point ii.