Intégrale d’une fonction continue
Intégrale d’une fonction continue
Dans tout ce paragraphe, \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\), \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\) et \(f\) est une fonction continue sur \(I\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Définition
Théorème
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\), le réel \(F(b)-F(a)\) est indépendant du choix de la primitive \(F\).
Preuve
Soit \(F\) et \(G\) deux primitives de \(f\) sur \([a,b]\). Il existe donc un réel \(k\) tel que : \(G=F+k\) et alors : \[\begin{aligned} G(b)-G(a) &= [F(b)+k]-[F(a)+k]=F(b)-F(a) \end{aligned}\]
Définition
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\), le réel \(F(b)-F(a)\) est appelé intégrale de de à et on note : \[F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_a^b=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\] La fonction \(f\) est appelée intégrande de l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
Remarque
De même que, pour toute famille \((u_k)_{1\leqslant k\leqslant n}\) de réels, la somme \(\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k\) est indépendante de \(k\) (on dit que \(k\) est un indice muet), l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) ne dépend pas de la variable \(x\) (\(x\) est une variable muette) et on notera donc indifféremment \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u=\cdots\]
On déduit de manière immédiate de la définition les deux propositions suivantes :
Proposition
Si \(c\) est une constante réelle alors, pour tout couple \((a,b)\) de réels : \[\int_a^b c\; \mathrm{d}x=c \left(b-a \right)\]
Proposition
Si \(f\) est une fonction continue sur \(I\) et si \(a\) et \(b\) sont deux éléments de \(I\), alors : \[\displaystyle\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\quad\text{et}\quad\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0\]
Fonction définie par une intégrale
Théorème
Si \(f\) est continue sur \(I\), la fonction \(F:x\mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est l’unique primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\) et c’est une fonction de classe \(\mathcal C^1\) sur \(I\).
Exercice
Si \(f\) est une fonction continue sur \(\mathbb{R}\), démontrer que la fonction \(G:x\mapsto \displaystyle\int_x^{x^2} f(t)\,\mathrm{d}t\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimer sa dérivée en fonction de \(f\).
Solution
\(f\) étant continue sur \(\mathbb{R}\), elle admet une primitive \(F\), de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et alors : \[\forall x\in\mathbb{R},\ G(x)=F(x^2)-F(x)\]
Comme les fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(F\) sont de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}\), on en déduit que \(G\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et que : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R},\ G'(x) &=2x F'(x^2)-F'(x)\\ &=2xf(x^2)-f(x) \end{aligned}\]
Remarque
Comme on a pu le voir dans l’exemple précédent, il est important dans l’étude de la dérivation et du calcul de la dérivée d’une intégrale fonction de ses bornes, de faire attention à la dérivabilité et à la dérivée des bornes : il s’agit d’une composée.
Théorème
Si \(a\) est un réel positif ou nulle et si \(f\) est une fonction continue sur \([-a,a]\), alors :
si \(f\) est impaire : \(\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=0\)
si \(f\) est paire : \(\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x\)
Preuve
Comme \(f\) est continue sur \([-a,a]\), elle admet une primitive \(F\) nulle en \(0\) et la fonction \[G:x\mapsto \displaystyle\int_{-x}^x f(t)\,\mathrm{d}t=F(x)-F(-x)\] est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([-a,a]\) et on a : \[\begin{aligned} \forall x\in I,\ G'(x) &=F'(x)+F'(-x)\\ &=f(x)+f(-x) \end{aligned}\]
Si \(f\) est impaire, on en déduit que \(G'\) est constante nulle sur \([-a,a]\), donc \(G\) est constante et, comme \(G(0)=0\), \(G\) est constante nulle. En particulier, on a donc : \[\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=G(a)=0\]
Si \(f\) est paire, on a alors : \[\forall x\in I,\ G'(x)=2f(x)\] donc, comme \(G(0)=0\), \(G\) est l’unique primitive de \(2f\) qui s’annule en \(0\), donc : \(G=2F\) et en particulier : \[\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=G(a)=2F(a)=2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x\]
Propriétés de l’intégration
Dans ce paragraphe, \(I\) désigne encore un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \((a,b)\) est un couple d’éléments de \(I\).
Théorème – Linéarité de l’intégration
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\), on a, pour tout \((a,b)\in I^2\) et pour tout \((\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\) : \[\int_a^b [\lambda f(x)+\mu g(x)]\,\mathrm{d}x=\lambda \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\mu \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\]
Preuve
Comme \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\), elles admettent chacune une primitive, respectivement notées \(F\) et \(G\). Alors \(\lambda F+\mu G\) est une primitive de \(\lambda f+\mu g\). Ainsi, les intégrales \(\displaystyle\int_a^b [\lambda f(x)+\mu g(x)]\,\mathrm{d}x\), \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\) existent et on a : \[\begin{aligned} \int_a^b [\lambda f(x)+\mu g(x)]\,\mathrm{d}x&= \left[\lambda F(b)+\mu G(b)\right]-\left[\lambda F(a)+\mu G(a)\right]\\ &= \lambda \left[F(b)-F(a)\right]-\mu\left[G(b)-G(a)\right]\\ &= \lambda \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\mu \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}\]
Théorème – Relation de Chasles
Si \(f\) est continue sur \(I\), on a, pour tout \((a,b,c)\in I^3\) : \[\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x= \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x\]
Preuve
Comme \(f\) est continue sur \(I\) elle admet une primitive \(F\) sur \(I\) et, comme \(a,b\) et \(c\) appartiennent à \(I\), les intégrales \(\displaystyle\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x\), \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x\) existent et on a : \[\begin{aligned} \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x&= F(c)-F(a)\\ &= [F(c)-F(b)]+[F(b)-F(a)]\\ &= \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}\]
Théorème – Positivité de l’intégration
Si \(f\) est continue et positive sur \([a,b]\) et si \(a\leqslant b\), alors : \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\geqslant 0\]
Preuve
Comme \(f\) est continue sur \(I\) elle admet une primitive \(F\) sur \([a,b]\) et l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) existe. De plus, comme \(f=F'\) est positive sur \([a,b]\), \(F\) est croissante sur \([a,b]\), donc, comme \(a\leqslant b\) : \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \geqslant 0\]
Théorème – Stricte positivité de l’intégration
Si \(f\) est continue, positive, non constante nulle sur \([a,b]\) et si \(a<b\) alors : \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x> 0\] En particulier, on a donc, si \(f\) est continue et positive sur \([a,b]\) et si \(a<b\) : \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=0\Longrightarrow \forall x\in[a,b],\ f(x)=0\]
Preuve
Comme \(f\) est continue sur \(I\) elle admet une primitive \(F\) sur \([a,b]\) et l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) existe. On suppose alors que : \begin{equation}\tag{1} F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=0\end{equation}
Comme \(f=F'\) est positive sur \([a,b]\), \(F\) est croissante sur \([a,b]\) et donc, comme \(a < b\) : \[\forall x\in [a,b],\ F(a)\leqslant F(x)\leqslant F(b)\] et alors, d’après (1) : \[\forall x\in [a,b],\ F(x)=F(a)\] donc \(F\) est constante sur \([a,b]\) et \(F'=f\) est constante nulle sur \([a,b]\).
Théorème – Croissance de l’intégration
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues sur \(I\) et si \(a\) et \(b\) sont deux éléments de \(I\) tels que \(a\leqslant b\) et : \[\forall x\in[a,b],\ f(x)\leqslant g(x)\] alors : \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\]
Par conséquent, si \(f\) est continue sur \([a,b]\) avec \(a\leqslant b\), alors : \[\left| \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant \int_a^b \left| f(x) \right| \mathrm{d}x\leqslant (b-a)\,\sup_{x\in I} \left| f(x) \right|\]
Preuve
Avec les hypothèses du théorème, \(g-f\) est une fonction continue et positive sur \([a,b]\) donc, par positivité de l’intégration , comme \(a\leqslant b\) : \[\int_a^b [g(x)-f(x)]\,\mathrm{d}x\geqslant 0\] et par linéarité de l’intégration : \[\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\geqslant 0\]
Si \(f\) est une fonction continue sur \([a,b]\), \(\left| f \right|\) est continue sur \([a,b]\). De plus, on a : \[\forall x\in [a,b],\ -\sup_{I} \left| f \right| \leqslant -\left| f(x) \right| \leqslant f(x) \leqslant \left| f(x) \right| \leqslant \sup_{I} \left| f \right|\] On en déduit, par croissance de l’intégration, les fonctions considérées ici étant toutes continues et positives sur \([a,b]\) avec \(a\leqslant b\) : \[\int_a^b -\sup_{I} \left| f \right|\,\mathrm{d}x\leqslant \int_a^b -\left| f(x) \right|\,\mathrm{d}x\leqslant \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant \int_a^b \left| f(x) \right|\,\mathrm{d}x\leqslant \int_a^b \sup_{I} \left| f \right|\,\mathrm{d}x\] et alors, par linéarité de l’intégration et comme \(\sup\limits_I \left| f \right|\) est une constante : \[-(b-a)\,\sup_{x\in I} \left| f(x) \right| \leqslant -\int_a^b \left| f(x) \right| \mathrm{d}x\leqslant \left| \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant \int_a^b \left| f(x) \right| \mathrm{d}x\leqslant (b-a)\,\sup_{x\in I} \left| f(x) \right|\] soit finalement : \[\left| \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant \int_a^b \left| f(x) \right| \mathrm{d}x\leqslant (b-a)\,\sup_{x\in I} \left| f(x) \right|\]
Intégrale d’une fonction continue par morceaux
Dans ce paragraphe, \(a\) et \(b\) désignent deux réels distincts tels que \(a<b\).
Définition
On dit qu’une fonction \(f\) est continue par morceaux sur \([a,b]\) s’il existe une famille finie \((x_1,\dots,x_n)\) d’éléments de \([a,b]\) telle que \(f\) soit continue en tout point de \([a,b]\) distinct de \(x_1,\dots,x_n\) et si \(f\) admet une limite finie à gauche et à droite en chacun des points \(x_1,\dots,x_n\).
Définition
Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur \([a,b]\). On note \(x_0=a\), \(x_{n+1}=b\) et \(x_1,\dots,x_n\) les éléments de \(]a,b[\) en lesquels \(f\) n’est pas continue.
Pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(f_i\) la restriction de \(f\) à \(]x_i,x_{i+1}[\) et on note \(\tilde{f}_i\) le prolongement par continuité sur \([x_i,x_{i+1}]\) de \(f_i\).
On appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) le réel \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{i=0}^n \int_{x_i}^{x_{i+1}} \tilde{f}_i(x)\,\mathrm{d}x\]
On appelle alors intégrale de \(b\) à \(a\) de \(f\) le réel \[\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]
Remarque
La linéarité de l’intégration, la relation de Chasles, la positivité de l’intégration et la croissance de l’intégration restent valables pour pour des fonctions continues par morceaux.
Attention, la propriété de stricte positivité de l’intégration n’est en général plus valable pour une fonction continue par morceaux. On peut par exemple considérer le cas de la fonction \(x\mapsto \left\lfloor x \right\rfloor\), qui est continue par morceaux sur \([0,1]\), positive et non constante nulle, mais dont l’intégrale de \(0\) à \(1\) est nulle.
Interprétation géométrique de l’intégrale d’une fonction positive
Dans ce paragraphe, le plan est munit d’un repère orthogonal \((O,\vec i,\vec j)\).
Théorème
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\). Si \(f\) est une fonction continue et positive sur \([a,b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) est égale à l’aire du domaine du plan délimité par les droites d’équation \(y=0\), \(x=a\) et \(x=b\) et la courbe représentative de \(f\).
Dans tout ce paragraphe, \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(a<b\) et \(f\) est une fonction continue sur \([a,b]\).
Définition
On considère les suites \((S_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((S_n')_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) définies par : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ S_n=\frac{b-a}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right) \quad\text{et}\quad S_n'=\frac{b-a}{n}\,\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)\] Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(S_n\) et \(S_n'\) sont appelées sommes de Riemann à pas constant de \(f\) sur \([a,b]\).
Théorème
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\,\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]
Remarque
Ce résultat est fondamental parce qu’il permet d’approcher la valeur d’une intégrale. Par exemple, sur le graphique suivant, on pourrait approcher la valeur de l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) par la somme des aires des rectangles grisés qui correspond à la valeur de \(S_6\) dans l’exemple. Plus \(n\) est grand, plus la partie grisée sera proche du domaine du plan délimité par les droites d’équation \(y=0\), \(x=a\) et \(x=b\) et la courbe représentative de \(f\).
Exercice
On se propose de démontrer le théorème dans le cas où \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \([a,b]\) (conformément au programme). On note : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ x_{n,k}=a+k\,\frac{b-a}{n}\]
Déterminer la limite de \(S_n-S_n'\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \left| \left[\frac{b-a}{n}\,f(x_{n,k})-\int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} f(x)\,\mathrm{d}x\right] \right|\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} \left| f(x_{n,k})-f(x) \right|\,\mathrm{d}x\]
Justifier l’existence d’un réel \(M\) tel que : \[\forall x\in [a,b],\ \left| f'(x) \right| \leqslant M\]
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant M\,\frac{(b-a)^2}{n}\]
Conclure.
Solution
On a : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ S_n'-S_n=\frac{b-a}{n}\,[f(b)-f(a)]\] donc : \[\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(S_n'-S_n)=0}\]
On peut remarquer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ a=x_{n,0} \leqslant x_{n,1} \leqslant \cdots \leqslant x_{n,n-1} \leqslant x_{n,n}=n\] D’après la relation de Chasles, on a donc : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} f(x)\,\mathrm{d}x\] et alors, d’après l’inégalité triangulaire : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| &=\left| \sum_{k=0}^{n-1} \left[\frac{b-a}{n}\,f(x_{n,k})-\int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} f(x)\,\mathrm{d}x\right] \right| \end{aligned}\] d’où : pt \[\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \left| \left[\frac{b-a}{n}\,f(x_{n,k})-\int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} f(x)\,\mathrm{d}x\right] \right|}\]
On peut remarquer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ x_{n,k+1}-x_{n,k}=\frac{b-a}{n}\] et donc : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ \frac{b-a}{n}\,f(x_{n,k})=\int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} f(x_{n,k})\,\mathrm{d}x\] et alors, d’après le résultat de la question précédente et par linéarité de l’intégration : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \left| \int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} [f(x_{n,k})-f(x)]\,\mathrm{d}x \right|\] et, par croissance de l’intégration, \(f\) étant continue sur les segments \([x_{n,k},x_{n,k+1}]\), avec \(x_{n,k}\leqslant x_{n,k+1}\) : pt \[\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} \left| f(x_{n,k})-f(x) \right|\,\mathrm{d}x}\]
Comme \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \([a,b]\), \(f'\) étant continue sur le segment \([a,b]\) donc : \[ \boxed{ \exists M\in \mathbb{R} \ /\ \forall x \in [a,b],\ \left| f'(x) \right| \leqslant M} \]
En particulier, on a donc : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ \forall x\in\left]x_{n,k},x_{n,k+1}\right[,\ \left| f'(x) \right|\leqslant M\] Comme, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(f\) est continue sur \(\left[x_{n,k},x_{n,k+1}\right]\) et dérivable sur \(\left]x_{n,k},x_{n,k+1}\right[\), on en déduit, d’après l’inégalité des accroissements finis : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ \forall x\in\left[x_{n,k},x_{n,k+1}\right],\ \left| f(x_{n,k})-f(x) \right| &\leqslant M\left| x_{n,k}-x \right|\\ &\leqslant M\,\frac{b-a}{n} \end{aligned}\] et donc, d’après le résultat de la question 2b et par croissance de l’intégration (les fonctions en présence étant continues sur chaque segment \([x_{n,k},x_{n,k+1}]\) et les bornes étant dans le sens croissant) : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| & \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_{n,k}}^{x_{n,k+1}} M\,\frac{b-a}{n}\,\mathrm{d}x\\ &\leqslant M\,\frac{b-a}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1} \left(x_{n,k+1}-x_{n,k}\right)\\ &\leqslant M\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(b-a)^2}{n^2} \end{aligned}\] et finalement : \[\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \left| S_n-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right| \leqslant M\,\frac{(b-a)^2}{n}}\]
On a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}M\,\frac{(b-a)^2}{n}=0\] D’après le résultat précédent et le théorème de l’encadrement, on en déduit que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}S_n =\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\] ce qui nous permet de conclure, d’après le résultat de la question 1: \[\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n =\lim\limits_{n\to+\infty}S_n'=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}\]
Exercice
Calculer la limite de \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
Solution
On remarque que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\,\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\]
La fonction \(f:x\mapsto \dfrac{1}{1+x^2}\) étant continue sur \([0,1]\), on en déduit, en reconnaissant une somme de Riemann (avec \(a=0\) et \(b=1\)) : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}=\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\]
De plus, on a : \[\begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} &=\left[\mathrm{arctan}(x)\right]_0^1\\ &=\mathrm{arctan}(1)-\mathrm{arctan}(0)\\ &=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\]
et donc : pt \[\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}=\frac{\pi}{4}}\]