Généralités sur les suites
Définition et opérations sur les suites réelles
Définition
On appelle suite réelle toute application \(u\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\).
Une telle suite est souvent notée \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\), où plus simplement \((u_n)\), ou même \(u\).
L’ensemble des suites réelles est noté \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).
Remarques
Si \(u\) est une fonction de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\) dont l’ensemble de définition est de la forme \(\left[\kern-0.15em\left[p,{+\infty}\right[\kern-0.15em\right[\) (où \(p\) est un entier naturel quelconque), on dit que \(u\) est une suite définie à partir d’un certain rang. \(u\) est aussi notée \((u_n)_{n\geqslant p}\).
Plus généralement, on appelle suite réelle toute application \(u\) d’une partie \(I\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\). Lorsque \(I\) est une partie finie de \(\mathbb{N}\), on parle de suite finie. Une telle suite est en général notée \((u_n)_{n\in I}\). Toutes les définitions suivantes se généralisent aux suites définies à partir d’un certain rang.
Comme toutes les suites envisagées dans ce chapitre sont des suites réelles, on parlera plus simplement de suite pour parler de suite réelle.
Définition
Sur l’ensemble \(\mathbb{R}^\mathbb{N}\) des suites réelles, on définit :
l’addition de deux suites réelles \(u\) et \(v\) en définissant la suite \(u+v\) par : \[u+v=(u_n+v_n)_{n\in\mathbb{N}}\]
la multiplication de deux suites réelles \(u\) et \(v\) en définissant la suite \(u\times v=u\,v\) par : \[u\,v=(u_n\,v_n)_{n\in\mathbb{N}}\]
la multiplication d’une suite réelle \(u\) par un réel \(\lambda\) en définissant la suite \(\lambda \cdot u=\lambda u\) par : \[\lambda u=(\lambda u_n)_{n\in\mathbb{N}}\]
Suites majorées, minorées, bornées
Définition
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite réelle.
La suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est dite majorée s’il existe un réel \(M\) tel que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n\leqslant M\).
Un tel réel \(M\) est alors appelé majorant de la suite \(u\).
La suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est dite minorée s’il existe un réel \(m\) tel que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n\geqslant m\).
Un tel réel \(m\) est alors appelé minorant de la suite \(u\).
La suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est dite bornée si elle est majorée et minorée.
Exemple
La suite \(\displaystyle\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est minorée par \(0\) et majorée par \(1\) ; elle est donc bornée.
La suite \(((-1)^n)_{n\in\mathbb{N}}\) est bornée par \(-1\) et \(1\).
La suite \((n^2+n-2)_{n\in\mathbb{N}}\) est minorée par \(-2\) mais n’est pas majorée ; elle n’est donc pas bornée.
La suite \(((-2)^n)_{n\in\mathbb{N}}\) n’est ni minorée, ni majorée.
Remarque
Un ensemble fini étant toujours borné, il est équivalent de dire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est bornée et qu’il existe un entier naturel \(q\) tel que la suite \((u_n)_{n\geqslant q}\) est bornée.
Théorème
Une suite réelle \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est bornée si et seulement s’il existe un réel \(M\) tel que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \left| u_n \right| \leqslant M\]
Preuve
Supposons que la suite \(u\) soit bornée. Il existe alors deux réels \(m\) et \(m'\) tels que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ m \leqslant u_n \leqslant m'\] et alors : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \left| u_n \right| \leqslant \max(\left| m \right|,\left| m' \right|)\] ce qui donne la première implication en prenant \(M=\max(\left| m \right|,\left| m' \right|)\).
pt
Réciproquement, supposons qu’il existe un réel \(M\) tel que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \left| u_n \right| \leqslant M\] On a alors immédiatement : \[\forall n \in \mathbb{N},\ -M\leqslant u_n \leqslant M\] ce qui prouve que la suite \(u\) est bornée, établissant ainsi la seconde implication.
Sens de variation d’une suite
Définition
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite réelle. On dit que :
la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante si : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} \geqslant u_{n}\),
la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est décroissante si : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} \leqslant u_{n}\),
la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est monotone si elle est croissante ou décroissante,
la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est constante si : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n\),
la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est stationnaire s’il existe un entier \(p\) tel que : \(\forall n\geqslant p,\ u_n=u_p\).
Méthode
Pour étudier la monotonie d’une suite \(u\), on étudie le plus souvent le signe de \(u_{n+1}-u_n\) :
si \(u_{n+1}-u_n \geqslant 0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la suite \(u\) est croissante,
si \(u_{n+1}-u_n\leqslant 0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la suite \(u\) est décroissante.
Cependant, quand les termes de la suite \(u\) s’expriment sous forme de produit ou à l’aide de puissances, il est parfois intéressant, si tous les termes de la suite sont strictement positifs, de comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et \(1\) :
si la suite \(u\) est strictement positive, elle est croissante si et seulement si : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1\),
si la suite \(u\) est strictement positive, elle est décroissante si et seulement si : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1\).
Attention cependant à bien vérifier que les termes de la suite sont bien tous strictement positifs avant d’utiliser ce résultat. Le lecteur inquiet pourra se demander ce qu’il advient dans le cas d’une suite est strictement négative (en considérant, par exemple, le cas de la suite \((-n)_{n\mathbb{N}^\ast}\)) ou encore d’une suite n’étant pas de signe constant (par exemple dans le cas de la suite \(((-1)^n)_{n\in\mathbb{N}}\)).
Exercice
Étudier les variations de la suite \(u=\left(\dfrac{n^n}{n!}\right)_{n\in\mathbb{N}}\).Solution
On constate que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n >0\]
On peut donc écrire : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{n^n}\\ &= \frac{(n+1) \times (n+1)^n}{(n+1)\times n!}\times \frac{n!}{n^n}\\ &= \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \end{aligned}\]
Or on a : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \frac{n+1}{n}\geqslant 1 \geqslant 0\]
et donc : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1\]
Comme \(u_0=u_1=1\), on a donc : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1\]
Comme les termes de la suite \(u\) sont tous positifs, on en déduit que la suite \(u\) est croissante.