Généralités sur les fonctions

Les notions abordées dans cette partie ont été abordées en grande partie dans le secondaire et sont à peine approfondies. C’est pourquoi le lecteur ayant des difficultés sur les points abordés ici à se reporter à un manuel de terminale.

Dans l’ensemble du chapitre, on munit le plan d’un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).

Définitions

Notions de base sur les fonctions

Définition

On dit que \(f\) est une fonction réelle d’une variable réelle si \(f\) est une relation associant à tout réel \(x\) au plus un réel \(y\). Dans ce cas :

si \(y\) est un réel associé au réel \(x\) par \(f\), \(y\) est appelé image de \(x\) par \(f\) et on note \(y=f(x)\),
si \(y\) et \(x\) sont deux réels tels que \(y=f(x)\), on dit que \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\),
l’ensemble des réels ayant une image par \(f\) est appelé ensemble de définition de \(f\) et noté \(\mathcal{D}_f\),
l’ensemble \(\{f(x),\,x\in\mathcal{D}_f\}\) est appelé ensemble image de \(f\),
l’ensemble \(\{(x,f(x)),\, x\in\mathcal{D}_f\}\) est appelé graphe de \(f\).

Remarques

Comme on n’envisage dans ce chapitre que des fonctions réelles d’une variable réelle, on parlera plus simplement de fonction.
Si \(f\) est une fonction telle que \(\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\), tout réel a exactement une image par \(f\), donc \(f\) est une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Il est équivalent de dire la fonction \(f\) définie sur \(I\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\) et l’application \(f\) de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) .

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble contenant un réel \(a\). On dit que \(a\) est un zéro de \(f\) si : \(f(a)=0\).

Fonctions majorées, minorées, bornées

Dans tout ce paragraphe, \(f\) désigne une fonction et \(I\) un ensemble inclus dans \(\mathcal{D}_f\).

Définition

On dit que \(f\) est majorée sur \(I\) s’il existe un réel \(M\) tel que : \[\forall x\in I,\ f(x)\leqslant M\] Dans ce cas, un tel réel \(M\) est appelé majorant de \(f\).
On dit que \(f\) est minorée sur \(I\) s’il existe un réel \(m\) tel que : \[\forall x\in I,\ f(x)\geqslant m\]

Définition

On dit que \(f\) est bornée sur \(I\) si elle est majorée et minorée sur \(I\).

Remarque

La fonction \(f\) est bornée sur \(I\) si et seulement si la fonction \(x\mapsto \left| f(x) \right|\) est majorée sur \(I\).
Si \(f\) admet un majorant \(M\) sur \(I\), elle admet une infinité de majorant, puisque tout réel supérieur ou égal à \(M\) est aussi un majorant de \(f\).

Théorème

Si \(f\) est majorée sur \(I\), \(f\) admet un plus petit majorant, appelé borne supérieure de \(f\), noté \(\displaystyle\sup_{I} f\) ou \(\displaystyle\sup_{x\in I} f(x)\). De plus on a : \[\sup_I f=\sup\{f(x),x\in I\}\]
Si \(f\) est minorée sur \(I\), \(f\) admet un plus grand minorant, appelé borne inférieure de \(f\), noté \(\displaystyle\inf_{I} f\) ou \(\displaystyle\inf_{x\in I} f(x)\). De plus on a : \[\inf_I f=\inf\{f(x),x\in I\}\]

Définition

Soit \(a\) un élément de \(I\).

On dit que \(f\) admet un maximum global (ou absolu) sur \(I\) en \(a\) si : \[\forall x\in I,\ f(x)\leqslant f(a)\] Dans ce cas, on note \(\displaystyle f(a)=\max_{I} f\) ou \(\displaystyle f(a)=\max_{x\in I}f(x)\).
On dit que \(f\) admet un minimum global (ou absolu) sur \(I\) en \(a\) si : \[\forall x\in I,\ f(x)\geqslant f(a)\] Dans ce cas, on note \(\displaystyle f(a)=\min_{I} f\) ou \(\displaystyle f(a)=\min_{x\in I}f(x)\).
On dit que \(f\) admet un extremum global (ou absolu) sur \(I\) en \(a\) si \(f\) admet un maximum ou un maximum global en \(a\).

Remarques

Attention à ne pas confondre un extremum \(f(a)\) de \(f\) et le point \(a\) où celui-ci est atteint : \(a\) n’est pas un extremum de \(f\).
On dira plus simplement que \(f\) a un maximum global (respectivement un minimum global) si elle admet un maximum gloabl (resp. un minimum global) sur \(\mathcal{D}_f\).
Si \(f\) admet un maximum (respectivement un minimum) global en \(a\), elle est donc majorée (resp. minorée) et \(f(a)\) est un majorant (resp. un minorant) atteint par \(f\).
Par conséquent, si \(f\) admet un maximum (respectivement un minimum) gloabl sur \(I\), \(f\) admet une borne supérieure (resp. inférieure) sur \(I\) et \(\displaystyle\max_I f=f(a)\) (resp. \(\displaystyle\min_I f=f(a)\)).
En revanche, une fonction peut être majorée (respectivement minorée) sans admettre de maximum (resp. de minimum). C’est le cas par exemple de la fonction \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\), qui est majorée par \(0\) sur \(\mathbb{R}_-^\ast\) mais n’a pas de maximum sur \(\mathbb{R}_-^\ast\), et minorée par \(0\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) mais n’a pas de minimum sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).

Définition

Soit \(a\) un élément de \(I\). S’il existe un réel \(\alpha\) strictement positif tel que la restriction de \(f\) à \(]a-\alpha,a+\alpha[\,\cap I\) admette un maximum (resp. un minimum) global en \(a\), on dit que \(f\) admet un maximum (resp. un minimum) local sur \(I\) en \(a\).

Remarque

Si \(f\) admet un extremum global en \(a\), alors cet extremum est aussi un extremum local ; en revanche, la réciproque est fausse.

Exemple

Le graphe suivant est celui d’une fonction \(f\) définie sur \([-2,4]\).

On peut voir sur le graphique que \(f\) admet un maximum local en \(-2\), en \(2\) et en \(4\) et un minimum local en \(-1\) et \(3\). De plus, elle admet un maximum global en \(4\) et un minimum global en \(-1\).

Sens de variation d’une fonction

Dans cette partie, \(I\) est une partie de \(\mathbb{R}\) et toutes les fonctions envisagées sont supposées définies sur \(I\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

Définition

Étant donnée une fonction \(f\), on dit que :

\(f\) est croissante sur \(I\) si : \(\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y)\),
\(f\) est strictement croissante sur \(I\) si : \(\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x) < f(y)\),
\(f\) est décroissante sur \(I\) si : \(\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x) \geqslant f(y)\),
\(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si : \(\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x) > f(y)\),
\(f\) est monotone (respectivement strictement monotone) sur \(I\) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou décroissante) sur \(I\).

Exemple

Le lecteur pourra vérifier avec la définition que :

pour tout \((a,b)\in\mathbb{R}_+^\ast\times \mathbb{R}\), la fonction \(x\mapsto ax+b\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\),
pour tout \((a,b)\in\mathbb{R}_-^\ast \times \mathbb{R}\), la fonction \(x\mapsto ax+b\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\),
pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), la fonction \(x\mapsto x^{2n-1}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\),
pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), la fonction \(x\mapsto x^{2n}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^+\) et strictement décroissante sur \(\mathbb{R}^-\),
la fonction \(x\mapsto \frac{1}{x}\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_-^\ast\) et sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) ; attention, elle n’est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^\ast\).

Définition

Si \(f\) est \(g\) sont deux fonctions croissantes (respectivement strictement croissantes) sur \(I\), alors \(f+g\) est croissante (respectivement strictement croissante) sur \(I\).
Si \(f\) est \(g\) sont deux fonctions décroissantes (respectivement strictement décroissantes) sur \(I\), alors \(f+g\) est décroissante (respectivement strictement décroissante) sur \(I\).

Exercice

Démontrer la proposition

Solution

On démontre le point i, le point ii est analogue. On suppose que \(f\) et \(g\) sont croissantes sur \(I\). On a donc : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow \begin{cases} f(x) \leqslant f(y)\\ g(x)\leqslant g(y)\end{cases}\] et donc, en additionnant ces deux inégalités : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x)+g(x) \leqslant f(y)+g(y)\] donc \(f+g\) est croissante sur \(I\).

Le cas où \(f\) et \(g\) sont strictement croissantes sur \(I\) se démontre de façon analogue en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

Définition

si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions croissantes et positives sur \(I\), alors \(f\,g\) est croissante sur \(I\).
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions décroissantes et positives sur \(I\), alors \(f\,g\) est décroissante sur \(I\).

Exercice

Démontrer la proposition

Solution

On démontre le point i, le point ii est analogue. On suppose que \(f\) et \(g\) sont croissantes et positives sur \(I\). On a donc : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow \begin{cases} 0\leqslant f(x) \leqslant f(y)\\ 0\leqslant g(x)\leqslant g(y)\end{cases}\] et donc, en multipliant ces deux inégalités (les termes étant tous positifs !) : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x)\,g(x) \leqslant f(y)\,g(y)\] donc \(f\,g\) est croissante sur \(I\).

Remarque

Attention : on ne peut en général rien dire quant à la monotonie de \(f\,g\) si \(f\) et \(g\) ont la même monotonie mais ne sont pas de signe constant sur \(I\). Par exemple, on peut vérifier que les fonctions \(f:x\mapsto -x^2\) et \(g:x\mapsto x^3\) sont toutes deux croissantes sur \(\mathbb{R}^-\), alors que la fonction \(f\,g:x\mapsto -x^5\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^-\).

Définition

Si \(f\) est croissante (resp. décroissante) sur \(I\) et si \(\lambda\) est un réel positif, alors \(\lambda f\) est croissante (resp. décroissante) sur \(I\).
Si \(f\) est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur \(I\) et si \(\lambda\) est un réel strictement positif, alors \(\lambda f\) est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur \(I\).
Si \(f\) est croissante (resp. décroissante) sur \(I\) et si \(\lambda\) est un réel négatif, alors \(\lambda f\) est décroissante (resp. croissante) sur \(I\).
Si \(f\) est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur \(I\) et si \(\lambda\) est un réel strictement négatif, alors \(\lambda f\) est strictement décroissante (resp. strictement croissante) sur \(I\).

Exercice

Démontrer la proposition

Solution

Supposons que \(f\) soit une fonction croissante sur \(I\) et que \(\lambda\) soit un réel positif. On a alors : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x)\leqslant f(y)\] et donc, en mutlipliant par \(\lambda\) (qui est positif) : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow \lambda f(x)\leqslant \lambda f(y)\] donc \(\lambda f\) est croissante sur \(I\). Le cas où \(f\) est décroissante est analogue.
Se démontre comme le point précédent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.
Supposons que \(f\) soit une fonction croissante sur \(I\) et que \(\lambda\) soit un réel négatif. On a alors : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x)\leqslant f(y)\] et donc, en mutlipliant par \(\lambda\) (qui est négatif, donc on change le sens des inégalités) : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow \lambda f(x)\geqslant \lambda f(y)\] donc \(\lambda f\) est décroissante sur \(I\). Le cas où \(f\) est décroissante est analogue.
Se démontre comme le point précédent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

Proposition

Soient \(f\) une fonction définie sur \(I\) et à valeurs dans une partie \(J\) de \(\mathbb{R}\) et \(g\) une fonction définie sur \(J\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

Si \(f\) et \(g\) ont la même monotonie respectivement sur \(I\) et \(J\), alors \(g\circ f\) est croissante sur \(I\).
Si \(f\) et \(g\) ont des monotonies contraires respectivement sur \(I\) et \(J\), alors \(g\circ f\) est décroissante sur \(I\).

Exercice

Démontrer la proposition

Solution

On traite le cas où \(f\) et \(g\) sont décroissantes respectivement sur \(I\) et \(J\), le cas où elles sont croissantes se traitant de façon analogue. On a donc : \[\begin{cases} \forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(x)\geqslant f(y) \\ \forall (u,v)\in J^2,\ u<v\Rightarrow g(u)\geqslant g(v) \end{cases}\]

et donc, comme, pour tout couple \((x,y)\) d’éléments de \(I\), \(u=f(y)\) et \(v=f(x)\) appartiennent à \(J\) : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(y) \leqslant f(x) \Rightarrow g\circ f(x) \leqslant g\circ f(y)\] donc \(g\circ f\) est croissante sur \(I\).
On traite le cas où \(f\) est décroissante sur \(I\) et \(g\) est croissante sur \(J\), le second cas se traitant de façon analogue. On a donc : \[\begin{cases} \forall (x,y)\in I^2,\ x<y\Rightarrow f(x)\geqslant f(y)\\ \forall (u,v)\in J^2,\ u<v\Rightarrow g(u)\leqslant g(v) \end{cases}\]

et donc, comme, pour tout couple \((x,y)\) d’éléments de \(I\), \(u=f(y)\) et \(v=f(x)\) appartiennent à \(J\) : \[\forall (x,y)\in I^2,\ x<y \Rightarrow f(y) \leqslant f(x) \Rightarrow g\circ f(y) \leqslant g\circ f(x)\] donc \(g\circ f\) est décroissante sur \(I\).

Proposition

Soit \(f\) une fonction définie sur une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \((x,y)\) un couple d’éléments de \(I\).

Si \(f\) est strictement croissante sur \(I\), alors : \[x<y \Longleftrightarrow f(x) < f(y)\]
Si \(f\) est strictement décroissante sur \(I\), alors : \[x<y \Longleftrightarrow f(x) > f(y)\]

Remarque

Ce résultat est très utile pour comparer deux nombres : si \(f\) est une fonction strictement monotone sur \(I\), pour comparer deux nombres \(x\) et \(y\) appartenant à \(I\), il suffit de comparer \(f(x)\) et \(f(y)\).

Fonctions paires, impaires, périodiques

Définition

On suppose que \(I\) est une partie de \(\mathbb{R}\) centrée en \(0\) (c’est-à-dire telle que, si \(x\) appartient à \(I\), alors \(-x\) appartient à \(I\)). On dit que :

\(f\) est paire sur \(I\) si : \(\forall x\in I,\ f(-x)=f(x)\),
\(f\) est impaire sur \(I\) si \(\forall x\in I,\ f(-x)=-f(x)\).

Exemple

Les fonctions \(x\mapsto \frac{1}{x}\), \(x\mapsto x\) et \(x\mapsto x^{2n+1}\) (\(n\in\mathbb{N}\)) sont impaires sur leurs ensembles de définition respectifs.
Les fonctions \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto x^{2n}\) (\(n\in\mathbb{N}\)) sont paires sur \(\mathbb{R}\).

Remarques

On peut remarquer que, si \(f\) est une fonction impaire définie en \(0\), alors nécessairement : \(f(0)=0\).
Pour étudier une fonction \(f\) paire ou impaire sur un ensemble \(I\) centré en \(0\), il suffit donc d’étudier \(f\) sur \(I\cap \mathbb{R}^+\).

Définition

On suppose que \(I\) est une partie de \(\mathbb{R}\) et que \(T\) est un réel tel que, si \(x\) appartient à \(I\), alors \(x+T\) appartient à \(I\).

On dit que \(f\) est périodique et que \(T\) est une période de \(f\) (ou plus simplement que \(f\) est \(T\)–périodique) si : \[\forall x\in I,\ f(x+T)=f(x)\]

Fonctions convexes, concaves

Dans toute cette partie, on munit le plan d’un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\). De plus, toutes les fonctions envisagées sont supposées définies sur un même intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).

Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions définies sur \(I\), on dit que la courbe représentative de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\) si : \[\forall x\in I,\ f(x)\geqslant g(x)\]

De même, on dit que la courbe représentative de \(f\) est en dessous de celle de \(g\) si : \[\forall x\in I,\ f(x) \leqslant g(x)\]

Définition

On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si : \[\forall (x,y)\in I^2,\ \forall \lambda\in[0,1],\ f(\lambda x+(1-\lambda)y) \leqslant \lambda f(x)+ (1-\lambda)\,f(y)\]
On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si \(-f\) est convexe sur \(I\), c’est-à-dire si : \[\forall (x,y)\in I^2,\ \forall \lambda\in[0,1],\ f(\lambda x+(1-\lambda)y) \geqslant \lambda f(x)+ (1-\lambda)\,f(y)\]

Remarques

Dans ces définitions, seules les valeurs de \(\lambda\) appartenant à \(]0,1[\) importent, puisque, si \(\lambda=0\) ou \(\lambda=1\), il y a toujours égalité.
Autrement dit, une fonction convexe est une fonction dont le graphe est en dessous de ses cordes et une fonction concave est une fonction dont le graphe est au dessus de ses cordes.

Ci-dessous un exemple de représentation graphique d’une fonction convexe ainsi que de la corde \([AB]\) joignant les points \(A(a,f(a))\) et \(B(b,f(b))\) :

Définition

Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(a\) un élément de \(\overset{\circ}I\). On dit que le point de coordonnées \((a,f(a))\) est un point d’inflexion de \(f\) s’il existe un réel \(\alpha\) strictement positif tel que l’intervalle \(]a-\alpha,a+\alpha[\) soit inclus dans \(I\) et tel que :

ou bien \(f\) est convexe sur \(]a-\alpha,a]\) et concave sur \([a,a+\alpha[\),
ou bien \(f\) est concave sur \(]a-\alpha,a]\) et convexe sur \([a,a+\alpha[\).

Théorème – Inégalité de Jensen

Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), pour tout \((x_1,\dots,x_n)\in I^n\) et pour tout \((\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in (\mathbb{R}^+)^n\) tel que \(\sum\limits_{k=1}^n \lambda_k = 1\), on a : \[f\! \left( \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \right) \leqslant \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k)\]

Preuve

On montre par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), la proposition \[\mathscr P(n) \text{ : ” } \forall (x_k)_{1\leqslant k \leqslant n} \in I^n,\ \forall (\lambda_k)_{1\leqslant k \leqslant n} \in (\mathbb{R}^+)^n,\ f\! \left( \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \right) \leqslant \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k) \text{ “}\]

est vraie.

\(\mathscr P(1)\) est vraie (c’est une égalité).
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\). Supposons que \(\mathscr P(n)\) soit vraie et considérons une famille \((x_1,\dots,x_n,x_{n+1})\) d’éléments de \(I\) et des réels positifs \(\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1}\) tels que \(\sum\limits_{k=1}^{n+1} \lambda_k = 1\).

On suppose tout d’abord que \(\lambda_{n+1}\) est différent de \(1\). On a alors :

\[\begin{aligned} f\! \left( \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k \right) &= f\! \left( \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k + \lambda_{n+1} x_{n+1} \right) \\ &= f\! \left( \left( 1- \lambda_{n+1} \right) \sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{1-\lambda_{n+1}}\, x_k + \lambda_{n+1} x_{n+1} \right) \end{aligned}\]

Or \(\lambda_{n+1}\) appartient à \([0,1]\) et on a : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ 0 \leqslant \frac{\lambda_k}{1-\lambda_{n+1}} \leqslant 1\] et : \[\sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{1-\lambda_{n+1}} = 1\] donc, comme \(x_1,\dots,x_n\) appartiennent à \(I\) et comme \(I\) est un intervalle : \[\sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{1-\lambda_{n+1}} \, x_k \in I\]

Il en découle, comme \(f\) est convexe : \[\begin{aligned} f\! \left( \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k \right) &\leqslant \left( 1- \lambda_{n+1} \right) f\! \left( \sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{1-\lambda_{n+1}}\, x_k \right) + \lambda_{n+1} f( x_{n+1}) \end{aligned}\]

On a alors, d’après l’hypothèse de récurrence et comme \(1-\lambda_{n+1} \geqslant 0\) : \[\begin{aligned} f\! \left( \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k \right) &\leqslant \left( 1- \lambda_{n+1} \right) \sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{1-\lambda_{n+1}} f (x_k ) + \lambda_{n+1} f( x_{n+1}) \\ &\leqslant \sum_{k=1}^n \lambda_k f (x_k ) + \lambda_{n+1} f( x_{n+1}) \\ &\leqslant \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k f (x_k ) \end{aligned}\]

ce qui est le résultat attendu.

Par ailleurs, si \(\lambda_{n+1}=1\), alors \(\lambda_1=\cdots = \lambda_n=0\), donc l’inégalité est encore vraie (c’est même une égalité dans ce cas).

Finalement \(\mathscr P(n) \Longrightarrow \mathscr P(n+1)\).
On peut maintenant conclure que \(\mathscr P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\).

Éléments de symétrie

Définition

On suppose que \(f\) est une fonction définie sur une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\) et que \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que : \[\forall x\in \mathbb{R},\ x\in I \Rightarrow 2a-x \in I\] On note \(\mathscr C\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

La courbe \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x=a\) si et seulement si : \[\forall x\in\mathbb{R}\ / \ a-x\in I,\ f(a-x)=f(a+x) \] ou encore \[\forall x\in I,\ f(2a-x)=f(x)\]
La courbe \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport au point de coordonnées \((a,b)\) si et seulement si : \[\forall x\in\mathbb{R}\ / \ a-x\in I,\ f(a-x)-b=b-f(a+x) \] ou encore \[\forall x\in I,\ f(2a-x)=2b-f(x)\]

Remarque

Dans le cas où \(a=b=0\), on constate qu’une fonction est paire si et seulement si son graphe dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et qu’une fonction est impaire si et seulement si son graphe dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à l’origine.

Fonctions en escalier

Dans ce paragraphe, \(a\) et \(b\) désignent deux réels tels que : \(a<b\).

Définition

On appelle subdivision de \([a,b]\) toute famille \(\sigma=(\sigma_0,\sigma_1,\dots,\sigma_n)\) (\(n\) étant un entier naturel non nul) telle que : \[a=\sigma_0<\sigma_1 <\cdots <\sigma_n=b\] On appelle pas de la subdivision \(\sigma\) le réel \(\left| \sigma \right|\) défini par : \[\left| \sigma \right|=\max_{1\leqslant k\leqslant n} (\sigma_k-\sigma_{k-1})\]

Exemple

On peut construire une subdivision de \([a,b]\) en posant : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \sigma_k=a+k\,\frac{b-a}{n}\] Celle-ci est appelée subdivision régulière de \([a,b]\) car : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \sigma_k-\sigma_{k-1}=\frac{b-a}{n}\]

Définition

Soit \(f\) une fonction réelle à valeurs réelles. On dit que \(f\) est une fonction en escaliers si, pour tout couple \((a,b)\) de réels tel que \(a<b\), il existe une subdivision \(\sigma=(\sigma_0,\sigma_1,\dots,\sigma_n)\) de \([a,b]\) telle que, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la restriction de \(f\) à \(]\sigma_{k-1},\sigma_k[\) soit constante.

Fonctions de référence

Fonctions affines

Définition

On dit que \(f\) est une fonction affine si \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et s’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=ax+b\]

Remarque

Le graphe de la fonction affine \(f:x\mapsto ax+b\) est donc la droite d’équation \(y=ax+b\).

Définition

Soient \(a,a',b,b'\) quatre réels tels que : \(a\neq a'\). L’unique droite passant par les points de coordonnées respectives \((a,b)\) et \((a',b')\) a pour équation réduite \[y=\frac{b'-b}{a'-a}\left(x-a \right)+b\]

La fonction valeur absolue

Définition

La fonction valeur absolue est la fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), notée \(\left| \cdot \right|\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \left| x \right|=\begin{cases} \hfill x \hfill &\text{si } x\geqslant 0\\ -x &\text{si } x<0\end{cases}\]

Exemple

La valeur absolue de \(3\) est : \(\left| 3 \right|=3\), la valeur absolue de \(-3\) est : \(\left| -3 \right|=3\).

Remarque

Représentation graphique de la fonction valeur absolue
Il découle de manière immédiate de la définition que, pour tout réel \(x\) : \(-\left| x \right| \leqslant x\leqslant \left| x \right|\).
En particulier, on peut remarquer que, pour tout réel \(x\) : \[\left| x \right| =\sqrt{x^2} \quad\text{et}\quad\left| x \right|^2 = x^2\]

Théorème

Pour tout couple \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) de nombres réels, on a :

\(\left| x \right| \geqslant 0\),
\(\left| x \right|=0 \Rightarrow x=0\),
\(\left| xy \right|=\left| x \right| \left| y \right|\).

Preuve

Si \(x\) est positif ou nul, \(\left| x \right|=x\) est positif ou nul ; si \(x\) est négatif, \(\left| x \right|=-x\) est positif.
Si \(x\) n’est pas nul, \(-x\) n’est pas nul et donc : \(\left| x \right|=0\Rightarrow x=0\).
Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
- Si \(x\geqslant 0\) et \(y\geqslant 0\), alors \(xy\geqslant 0\) et : \(\left| xy \right|=xy=\left| x \right|\left| y \right|\).
- Si \(x\geqslant 0\) et \(y < 0\), alors \(xy\leqslant 0\) et : \(\left| xy \right|=-xy=x(-y)=\left| x \right|\left| y \right|\).
- Si \(x < 0\) et \(y\geqslant 0\), alors \(xy\leqslant 0\) et : \(\left| xy \right|=-xy=(-x)y=\left| x \right|\left| y \right|\).
- Si \(x< 0\) et \(y< 0\), alors \(xy > 0\) et : \(\left| xy \right|=xy=(-x)(-y)=\left| x \right|\left| y \right|\).

Théorème – Inégalité triangulaire

Pour tout couple \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) de nombres réels, on a : \[\left| x+y \right| \leqslant \left| x \right| + \left| y \right|\]

Théorème – Seconde inégalité triangulaire

Pour tout couple \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) de nombres réels, on a : \[\left| \left| x \right|-\left| y \right| \right| \leqslant \left| x-y \right|\]

Remarque

Il arrive parfois que la preuve de ce résultat soit demandée.

Exercice

Démontrer les deux inégalités triangulaires.

Solution

Pour éviter le problème de la valeur absolue, on compare donc les carrés. Pour tout couple \((x,y)\) de réels, on a : \[\begin{aligned} \left| x+y \right|^2 &= (x+y)^2\\ &= x^2+y^2+2xy \end{aligned}\] et donc, (en rappelant que \(t \leqslant \left| t \right|\) pour tout réel \(t\)) : \[\begin{aligned} \left| x+y \right|^2 &\leqslant x^2+y^2+2\left| xy \right|\\ &\leqslant (\left| x \right|+\left| y \right|)^2 \end{aligned}\] ce qui prouve le résultat attendu puisque la fonction \(t\mapsto \sqrt{t}\) est croissante sur \(\mathbb{R}^+\).
Soit \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). D’après l’inégalité triangulaire, on a : \[\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ \left| a+b \right| \leqslant \left| a \right|+\left| b \right|\]

et donc, en posant \(a=x-y\) et \(b=y\) : \[\left| x \right| \leqslant \left| x-y \right|+\left| y \right|\]

soit encore : \[\left| x \right|-\left| y \right| \leqslant \left| x-y \right|\]

En échangeant \(x\) et \(y\), on a aussi : \[\left| y \right|-\left| x \right| \leqslant \left| y-x \right|\]

et donc, comme \(\left| y-x \right|=\left| x-y \right|\) : \[-\left| y-x \right| \leqslant \left| x \right|-\left| y \right| \leqslant \left| x-y \right|\]

ce qui prouve le résultat attendu.

La fonction partie entière

Théorème

Pour tout réel \(x\), il existe un unique entier, noté \(\left\lfloor x \right\rfloor\) tel que : \[\left\lfloor x \right\rfloor \leqslant x < \left\lfloor x \right\rfloor+1\] La fonction \(x\mapsto \left\lfloor x \right\rfloor\) ainsi définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), est appelée fonction partie entière. Pour tout réel \(x\), \(\left\lfloor x \right\rfloor\) est appelé partie entière de \(x\).

Preuve

Soit \(x\in\mathbb{R}\). On sait déjà que \(\mathbb{Z}\) n’est pas une partie minorée de \(\mathbb{R}\), donc il existe un entier \(p\) tel que : \(p\leqslant x\). L’ensemble \(\{n\in\mathbb{Z} \ / \ n \leqslant x\}\) est alors une partie non vide de \(\mathbb{Z}\) et majorée, donc elle contient un plus grand élément \(\left\lfloor x \right\rfloor\), ne dépendant que de \(x\) et qui vérifie : \(\left\lfloor x \right\rfloor \leqslant x <\left\lfloor x \right\rfloor+1\).

Remarque

La partie entière d’un réel \(x\) est donc le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x\).

Exemple

La partie entière de \(2,5\) est : \(\left\lfloor 2,5 \right\rfloor=2\), la partie entière de \(-2,5\) est : \(\left| -2,5 \right|=-3\).

Fonctions polynômes

Les résultats de ce paragraphe sont admis. Le lecteur trouvera une preuve plus général dans le chapitre 5. Polynômes.

Définition

On dit que \(f\) est une fonction polynôme si \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et s’il existe un entier naturel \(n\) et une famille \((a_k)_{0\leqslant k\leqslant n}\) de réels tels que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=\sum_{k=0}^n a_k\,x^k\] Les réels \(a_0,\dots,a_n\) sont appelés coefficients de \(f\).
On dit que \(f\) est une fonction polynôme sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) si \(f\) est la restriction à \(I\) d’une fonction polynôme sur \(\mathbb{R}\).

Théorème

Soit \(P\) une fonction polynôme telle que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P(x)=\sum_{k=0}^n a_k\,x^k\] \(P\) est constante nulle si et seulement si et seulement si ses coefficients \(a_0,\dots,a_n\) sont tous nuls.

Définition

Soit \(P\) une fonction polynôme telle que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P(x)=\sum_{k=0}^n a_k\,x^k\] Si \(P\neq 0\), on appelle degré de \(P\) la plus grande valeurs de \(k\), notée \(\deg\,(P)\), telle que \(a_k\neq 0\).

Si \(P=0\), on pose par convention : \(\deg\,(P)={-\infty}\).

Définition

Soit \(P\) une fonction polynôme. On dit qu’un réel \(\lambda\) est racine de \(P\) si \(\lambda\) est un zéro de \(P\), c’est-à-dire si : \(P(\lambda)=0\).

Proposition

Soit \(P\) une fonction polynôme. Le réel \(\lambda\) est racine de \(P\) si et seulement s’il existe une fonction polynôme \(Q\) telle que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P(x)=(x-\lambda)\,Q(x)\]

Remarques

Si le réel \(\lambda\) est racine de la fonction polynôme \(P\), on dit alors que la fonction polynôme \(x\mapsto x-\lambda\) divise \(P\).
Allure de la courbe représentative de \( x \mapsto x^n \)

Trinômes du second degré

Définition

Une fonction \(f\) est appelée fonction trinôme du second degré si \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et s’il existe un triplet \((a,b,c)\) de réels tel que \(a\neq 0\) et : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=ax^2+bx+c\]

Définition

Soit \((a,b,c)\) un triplet de réels tel que : \(a\neq 0\). Étant donnée la fonction polynôme \(P:x\mapsto ax^2+bx+c\), le réel \(\Delta=b^2-4ac\) est appelé discriminant de \(P\).

Théorème

Soit \((a,b,c)\) un triplet de réels tel que : \(a\neq 0\). On considère la fonction polynôme \(P:x\mapsto ax^2+bx+c\).

Si \(\Delta>0\), \(P\) admet exactement deux racines réelles distinctes, qui sont : \[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad\text{et}\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\] \(P(x)\) est alors du signe de \(a\) si \(x<x_1\) ou \(x>x_2\) et du signe de \(-a\) si \(x\in \,]x_1,x_2[\).
Si \(\Delta=0\), \(P\) admet une unique racine réelle, qui est : \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).

\(P(x)\) est alors du signe de \(a\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Si \(\Delta <0\), \(P\) n’admet pas de racine réelle. \(P(x)\) est alors du signe de \(a\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

Preuve

Comme \(a\neq 0\), on écrit \(P(x)\) sous forme canonique : \[\begin{aligned} P(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}\,x+\frac{c}{a}\right)\\ &= a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]\\ &= a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right] \end{aligned}\]

Si \(\Delta>0\), alors : \[\begin{aligned} P(x) &= a\left(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \end{aligned}\] Finalement, l’équation \(P(x)=0\) admet exactement deux solutions réelles, qui sont : \[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad\text{et}\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\] De plus, on a le tableau de signe suivant :
Si \(\Delta=0\), alors : \[P(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\] Finalement, l’équation \(P(x)=0\) admet \(-\dfrac{b}{2a}\) comme unique solution et \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Si \(\Delta<0\), alors \(P(x)\) n’est jamais nul et toujours du signe de \(a\).

Définition

Soit \((a,b,c)\) un triplet de réels tel que : \(a\neq 0\). La fonction \(x\mapsto ax^2+bx+c\) admet un unique extremum global sur \(\mathbb{R}\), atteint uniquement en \(x=-\dfrac{b}{2a}\) et égal à \(-\dfrac{\Delta}{4a}\) :

si \(a>0\), il s’agit d’un minimum global,
si \(a<0\), il s’agit d’un maximum global.

De plus, la représentation graphique de la fonction \(x\mapsto ax^2+bx+c\) dans un repère orthonormé est une parabole admettant la droite d’équation \(x=-\dfrac{b}{2a}\) comme axe de symétrie.

Fonctions rationnelles

Définition

On dit que \(f\) est une fonction rationnelle s’il existe deux fonctions polynômes \(P\) et \(Q\) telles que : \[D_f=\{x\in\mathbb{R}\ / \ Q(x)\neq 0\} \quad\text{et}\quad\forall x\in D_f,\ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\]
On dit que \(f\) est une fonction rationnelle sur une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\) si \(f\) est la restriction à \(I\) d’une fonction rationnelle.

Exemple

La fonction \(x\mapsto \dfrac{2x^3-x+3}{x^2+1}\) est une fonction rationnelle définie sur \(\mathbb{R}\).
La fonction inverse est une fonction rationnelle définie sur \(\mathbb{R}^\ast\).

Remarque

Attention à ne pas confondre quotient et fonction rationnelle.

Par exemple, la fonction \(x\mapsto \dfrac{\sqrt{x}+x^2-1}{x^2+1}\), définie sur \(\mathbb{R}^+\), n’est pas une fonction rationnelle, car la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}+x^2-1\) n’est pas une fonction polynôme.

Fonctions trigonométriques

Dans ce paragraphe, on munit le plan d’un repère orthonormé \((O,I,J)\) et \(C\) désigne le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), appelé cercle trigonométrique, c’est-à-dire l’ensemble \(C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ / \ x^2+y^2=1\}\).

On appelle sens trigonométrique (ou sens direct) le sens du plus court chemin pour aller de \(I\) à \(J\) en parcourant le cercle trigonométrique.

Le radian est une unité de mesure des angles : \(K\) étant un point du cercle \(C\), l’angle orienté \((\vec{OI},\vec{OK})\) mesure \(1\) radian s’il est dans le sens direct et si l’arc de cercle \( \overset{\frown}{IK} \) est de longueur \(OI=1\).

À tout réel \(x\), on associe l’unique point \(M(x)\) du cercle trigonométrique tel que la longueur du chemin de \(I\) à \(M(x)\) (dans le sens direct si \(x\) est positif, dans le sens indirect si \(x\) est négatif) sur le cercle trigonométrique soit égale à \(x\). \(M(x)\) est appelé image de \(x\) sur le cercle trigonométrique.

Par exemple, comme la circonférence du cercle \(C\) est égale à \(2\pi\) :

\(M(0)\) est le point \(I\),
\(M(1)\) est le point \(K\),
\(M\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) est le point \(J\),
\(M(\pi)\) est le point de coordonnées \((-1,0)\),
\(M(2\pi),M(4\pi),M(2k\pi)\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) ont tous pour coordonnées \((1,0)\) et sont donc égaux au point \(I\),
pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), \(M(x+2k\pi)\) est confondu avec le point \(M(x)\).

Définition

En conservant les notations précédentes, on définit les fonctions cosinus (notée \(\cos\)) et sinus (notée \(\sin\)) en notant, pour tout réel \(x\), \((\cos(x),\sin(x))\) les coordonnées de \(M(x)\).

Représentation graphique des fonctions sinus et cosinus

Remarque

On remarque que \(\cos(x)=0\) si et seulement si le point \(M(x)\) a pour abscisse \(0\), donc si et seulement s’il existeun entier \(k\) tel que : \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\). On peut donc envisager la définition suivante :

Définition

On définit la fonction tangente (notée \(\tan\)) par : \[\forall x\in\mathbb{R}\setminus \left\lbrace \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\rbrace,\ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\]

Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques

Proposition

Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont périodiques, de période \(2\pi\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(\cos\) est paire et la fonction \(\sin\) est impaire sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(\cos\) est strictement décroissante sur \([0,\pi]\) et sur \([2k\pi,(2k+1)\pi]\) pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), strictement croissante sur \([-\pi,0]\) et plus généralement sur \([(2k-1)\pi,2k\pi]\), pour tout \(k\in\mathbb{Z}\).
La fonction \(\sin\) est strictement croissante sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) et sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right]\) pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), strictement décroissante sur \(\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]\) et sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right]\), pour tout \(k\in\mathbb{Z}\).

Proposition

La fonction tangente est périodique, de période \(\pi\).
La fonction tangente est impaire.
La fonction tangente est strictement croissante sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\) et sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[\), pour tout \(k\in\mathbb{Z}\).

Proposition – Formules d’addition

Pour tout couple \((a,b)\) de nombres réels, on a :

\(\cos(a+b)=\cos(a)\,\cos(b)-\sin(a)\,\sin(b)\),
\(\cos(a-b)=\cos(a)\,\cos(b)+\sin(a)\,\sin(b)\),
\(\sin(a+b)=\sin(a)\,\cos(b)+\cos(a)\,\sin(b)\),
\(\sin(a-b)=\sin(a)\,\cos(b)-\cos(a)\,\sin(b)\).

On a donc en particulier: \[\forall a\in\mathbb{R},\ \cos^2(a) + \sin^2(a) = 1\]

Exercice

Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Établir les égalités suivantes :

\(\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)\)
\(\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)\),
\(\cos(a)\cos(b)=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\)
\(\sin(a)\sin(b)=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]\)
\(\sin(a)\cos(b)=\dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]\)
\(\cos(a)+\cos(b)=2\,\cos\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\)
\(\cos(a)-\cos(b)=-2\,\sin\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \sin\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\)
\(\sin(a)+\sin(b)=2\,\sin\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\)
\(\sin(a)-\sin(b)=2\,\cos\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \sin\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\)

Solution

Rappelons que, pour tout \((x,y)\in\mathbb{R}^2\), on a : \begin{align*} &\cos(x+y) = \cos(x) \cos(y) – \sin(x) \sin(y) \tag{1} \\ &\cos(x-y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y) \tag{2} \\ &\sin(x+y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y) \tag{3} \\ &\sin(x-y) = \sin(x) \cos(y) – \cos(x) \sin(y) \tag{4} \\ &\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \tag{5} \end{align*}

En prenant (1) avec \(x=y=a\), on obtient : \[\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\] Or, d’après (5), on a aussi : \[\sin^2(a) = 1- \cos^2(a) \quad \text{et} \quad \cos^2(a) = 1- \sin^2(a)\]

d’où : \[\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)\]
En prenant (3) avec \(x=a=b\), on a directement : \[\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)\]
D’après (1) et (2), on a : \[\begin{cases} \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) – \sin(a) \sin(b) \\ \cos(a-b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \end{cases}\]

donc, en additionnant les deux lignes et en divisant par \(2\) : \[\cos(a)\cos(b)=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\]
De même, en faisant \(L_2-L_1\) dans le système précédent puis en divisant par \(2\) : \[\sin(a)\sin(b)=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]\]
D’après (3) et (4), on a : \[\begin{cases} \sin(a+b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) \\ \sin(a-b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) \end{cases}\]

donc, en additionnant les deux lignes et en divisant par \(2\) :

\[\sin(a)\cos(b)=\dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]\]
On a : \[\cos(a)+\cos(b) = \cos\! \left( \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} \right) + \cos\! \left( \frac{a+b}{2} – \frac{a-b}{2} \right)\]

donc, d’après (1) et (2) avec \(x=\frac{a+b}{2}\) et \(y=\frac{a-b}{2}\) : \[\cos(a)+\cos(b)=2\,\cos\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\]
On obtient de même : \[\cos(a)-\cos(b)=-2\,\sin\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \sin\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\]
On a : \[\sin(a)+\sin(b) = \sin\! \left( \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} \right) + \sin\! \left( \frac{a+b}{2} – \frac{a-b}{2} \right)\]

donc, d’après (3) et (4) avec \(x=\frac{a+b}{2}\) et \(y=\frac{a-b}{2}\) :

\[\sin(a)+\sin(b)=2\,\sin\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\]
On obtient de même : \[\sin(a)-\sin(b)=2\,\cos\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \sin\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\]

Proposition

Pour tout couple \((a,b)\) de nombres réels, on a :

\(\cos(a+\pi)=\cos(a-\pi)=-\cos(a)\)
\(\sin(a+\pi)=\sin(a-\pi)=-\sin(a)\)
\(\forall k\in\mathbb{Z},\ \cos(a+k\pi)=(-1)^k\cos(a)\)
\(\forall k\in\mathbb{Z},\ \sin(a+k\pi)=(-1)^k \sin(a)\)
\(\cos(\pi-a)=-\cos(a)\)
\(\sin(\pi-a)=\sin(a)\)
\(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)=\sin(a)\)
\(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)=\cos(a)\)

Remarque

Les propositions précédentes découlent de la définition des fonctions sinus et cosinus mais aussi d’arguments géométriques. La géométrie étant abandonnée en prépa ECG, nous ne les démontrons pas ici.

Définition

On a : \[\forall x\in\,\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\ \left| \sin(x) \right| \leqslant \left| x \right| \leqslant \left| \tan(x) \right|\]

Remarques

Ce résultat n’est pas réellement au programme, mais nous le proposons ici car il est fondamental pour la démonstration des propriétés analytiques (continuité, dérivabilité) des fonctions trigonométriques, que nous établirons dans les chapitres suivants.
Nous rassurons le lecteur heureux d’avoir abandonné la géométrie (s’il y en a) : ce type de démonstration géométrique n’est en général pas nécessaire aux concours.

Preuve

Soit \(x\in\,\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\). On peut déjà remarquer que, comme \(\sin\) et \(\tan\) sont impaires et comme \(\cos\) est paire, on a : \[\left| \sin(x) \right|=\sin\left| x \right|,\quad \left| \tan(x) \right|=\tan\left| x \right| \quad\text{et}\quad\cos\left| x \right|=\cos(x)\]

On considère le point \(M=M(\left| x \right|)\), image de \(\left| x \right|\) sur le cercle \(C\) et on note :

\(E\) le point de coordonnées \((\cos\left| x \right|,0)\), projeté orthogonal de \(M\) sur l’axe des abscisses,
\(T\) le point de coordonnées \((1,\tan\left| x \right|)\), intersection de la demi-droite \([OM)\) et de la perpendiculaire à \((OI)\) passant par \(I\).

On remarque que le triangle \(OIM\) est inclus dans le secteur angulaire \(S\) d’angle \((\vec{OI},\vec{OM})\) et délimité par l’arc \( \overset{\frown}{IK} \) , lui-même inclus dans le triangle \(OIT\). Ainsi, l’aire \(A_1\) du triangle \(OIM\) est inférieure ou égale à l’aide \(A_2\) de \(S\), elle-même inférieure ou égale à l’aide \(A_3\) de \(OIT\). Or, comme l’arc \( \overset{\frown}{IK} \) est de longueur \(\left| x \right|\) et comme la circonférence du cercle trigonométrique est \(2\pi\), on a : \[ \begin{aligned} & A_1=\frac{OI\times EM}{2}=\frac{\left| \sin(x) \right|}{2} \\ & A_2=\pi\times OI^2\times \frac{\left| x \right|}{2\pi}=\frac{\left| x \right|}{2} \\ & A_3=\frac{OI\times OT}{2}=\frac{\tan{(x)}}{2} \end{aligned}\] et donc : \[\frac{\sin\left| x \right|}{2} \leqslant \frac{\left| x \right|}{2} \leqslant \frac{\tan{(x)}}{2}\] ce qui donne le résultat annoncé en divisant par \(2\).

Le logarithme népérien

Les résultats de ce paragraphe et des suivants sont présentés ici pour faire une synthèse de toutes les fonctions de référence. Ils seront précisés et démontrés dans le chapitre 17.

Théorème

Il existe une unique fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), telle que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x)=\frac{1}{x} \quad\text{et}\quad f(1)=0\]

Cette fonction est appelée logarithme népérien et notée \(\ln\).

Proposition

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et réalise une bijection de \(\mathbb{R}_+^\ast\) sur \(\mathbb{R}\).

Proposition

Soient \(a,b\) deux réels strictement positifs et \(n\) un entier relatif. On a :

\(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\)
\(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\)
\(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\)

\(\ln(a^r)=r\ln(a)\)

La fonction exponentielle

Définition

La réciproque de la fonction \(\ln\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), appelée fonction exponentielle et notée \(\exp\) ou \(x\mapsto \mathrm{e}^x\).

Remarque

Il découle immédiatement de la définition que : \(\exp(0)=1\).
Le nombre \(\exp(1)\) est plus simplement noté \(\mathrm{e}\) et il peut être utile de savoir que : \(\mathrm{e}\simeq 2,72\), ou au moins que : \(2<\mathrm{e}<3\).

Proposition

La fonction \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).

Proposition

Soient \(a,b\) deux réels et \(n\) un entier relatif. On a :

\(\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^a\;\mathrm{e}^b\)
\(\mathrm{e}^{-a}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^a}\)
\(\mathrm{e}^{a-b}=\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b}\)

\(\mathrm{e}^{na}=(\mathrm{e}^a)^n\)

Les fonctions puissances

Dans ce paragraphe, \(a\) désigne un réel quelconque.

Définition

On appelle fonction puissance d’exposant \(a\) la fonction \(f_a\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f_a(x)=\mathrm{e}^{a\ln(x)}\] On note aussi plus simplement : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f_a(x)=\mathrm{e}^{a\ln(x)}=x^a\]