Continuité
Continuité d’une fonction en un point, sur un intervalle
Dans cette partie, on suppose que \(a\) est un réel appartenant à un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et que \(f\) est une fonction définie sur \(I\).
On dit que \(f\) est continue en \(a\) si : \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\).
On dit que \(f\) est continue à gauche en \(a\) si : \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)=f(a)\).
On dit que \(f\) est continue à droite en \(a\) si : \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)\).
On dit que \(f\) est continue sur \(I\) si \(f\) est continue en tout point de \(I\).
Remarque
En particulier, si \(a\) n’est pas une borne de \(I\), \(f\) est continue en \(a\) si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en \(a\).
Si \(I=[a,b]\) (avec \(a<b\)), dire que \(f\) est continue sur \(I\) revient à dire qu’elle est continue en tout point de \(]a,b[\), continue à droite en \(a\) et continue à gauche en \(b\).
Exercice
Étudier la continuité en \(0\) de \(f\) si \(f(0)=0\) et : \[\forall x\in\mathbb{R}^\ast,\ f(x)=x^2\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\]
Étudier la continuité en \(1\) et en \(2\) de \(g\) si \(g(2)=6\), \(g(1)=\ln(2)\) et : \[\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\},\ g(x)=\frac{2x^2-2x-4}{x^2-3x+2}\]
On rappelle que : \[\forall x \in \mathbb{R},\ \left| \sin(x) \right| \leqslant \left| x \right|\] Prouver que la fonction \(\sin\) est continue en \(0\).
En déduire que la fonction \(\cos\) est continue en \(0\).
Solution
Comme \(\sin\) est majorée par \(1\), on a : \[\forall x\in\mathbb{R}^\ast,\ \left| x^2\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \right| \leqslant x^2\] Comme \(\displaystyle\lim_{x\to 0} x^2=0\), on en déduit, grâce au théorème de l’encadrement : \[\lim_{x\to 0} x^2\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0\] et comme \(f(0)=0\) : \[\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)\] ce qui prouve que \(f\) est continue en \(0\).
Comme \(-1\) et \(2\) sont racines évidentes de \(x\mapsto 2x^2-2x-4\) et comme \(1\) et \(2\) sont racines évidentes de \(x\mapsto x^2-3x+2\), on peut écrire : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}\setminus \{1,2\},\ g(x)&=\frac{2(x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}\\ &= \frac{2(x+1)}{x-1} \end{aligned}\] Or, comme la fonction \(x\mapsto \dfrac{2(x+1)}{x-1}\) est une fonction rationnelle définie en \(2\), on a : \[\lim_{x\to 2} \dfrac{2(x+1)}{x-1}=\frac{2\times (2+1)}{2-1}=6\] Comme \(g(2)=6\), on a donc : \[\lim_{x\to 2} g(x)=g(2)\] ce qui prouve que \(g\) est continue en \(2\).
On a : \[\lim_{x\to 1} 2(x+1)=4,\quad \lim_{x\to 1^+} (x-1)=0^+ \quad\text{et}\quad\lim_{x\to 1^-} (x-1)=0^-\] donc : \[\lim_{x\to 1^+} \dfrac{2(x+1)}{x-1}={+\infty}\quad\text{et}\quad\lim_{x\to 1^-} \dfrac{2(x+1)}{x-1}={-\infty}\] ce qui suffit pour affirmer que \(g\) n’est pas continue en \(1\).
On a : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \left| \sin(x) \right| \leqslant \left| x \right|\] Comme \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \left| x \right|=0\), on en déduit, avec le théorème de l’encadrement et comme \(\sin(0)=0\) \[\lim_{x\to 0} \sin(x)=0=\sin(0)\] donc \(\sin\) est continue en \(0\).
On a : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R},\ \cos(x) &= \cos\! \left( \frac{x}{2}+\frac{x}{2} \right) \\ &= \cos^2 \!\left( \frac{x}{2} \right) – \sin^2\!\left( \frac{x}{2} \right) \\ &= \left[ 1 – \sin^2\!\left( \frac{x}{2} \right) \right] – \sin^2\!\left( \frac{x}{2} \right) \\ &= 1-2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right) \end{aligned}\] Or, d’après le résultat précédent, on a, par produit : \[\lim_{x\to 0} \left[1-2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)\right]=1\] et donc, comme \(\cos(0)=1\) : \[\lim_{x\to 0} \cos(x)=\cos(0)\] ce qui prouve que \(\cos\) est continue en \(0\).
Définition
Si \(a\) est un élément ou une borne de \(I\) et si \(f\) est une fonction définie sur \(J\setminus \{a\}\) mais pas définie en \(a\), on dit que \(f\) est prolongeable par continuité en \(a\) si \(f\) a une limite finie en \(a\).
Remarque
Attention à ne pas confondre fonction continue et fonction prolongeable par continuité : une fonction définie en un point \(a\) est soit continue , soit discontinue en \(a\), mais ne peut pas être prolongeable par continuité en \(a\).
Par exemple, la fonction \(x\mapsto x^2\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\) est prolongeable par continuité en \(0\), mais pas la fonction \(f\) étudiée dans l’exercice précédent.
Théorème
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(I\) et \(h\) une fonction continue sur un intervalle \(J\).
Les fonctions \(x\mapsto f(x)g(x)\) et \(x\mapsto f(x)+g(x)\) sont continues sur \(I\).
Si \(g\) ne s’annule pas sur \(I\), alors la fonction \(x\mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}\) est continue sur \(I\).
Si \(f\) prend ses valeurs dans \(J\), alors \(h\circ f\) est continue sur \(I\).
Remarques
Ces résultats découlent de manière immédiate des résultats du paragraphe A.2.
Attention dans le cas d’une composée, à éviter des justifications du type \(h\circ f\) est continue sur \(I\) comme composée de fonctions qui le sont . En effet, les fonctions \(h\) et \(f\) ne sont en général pas définies sur le même ensemble.
Théorème
Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, \(\ln\), exponentielle, puissances, la fonction \(t\mapsto \sqrt{t}\) sont continues sur leurs domaines de définitions respectifs.
Preuve
Pour les fonctions polynômes et rationnelles, ce résultat découle directement des opérations sur les limites et de la continuité évidente de la fonction \(x\mapsto x\) sur \(\mathbb{R}\).
La continuité de la fonction racine a été établie dans les limites usuelles.
La continuité des fonctions \(\ln\), exponentielle et puissances sera établie dans le chapitre suivant.
On a déjà vu dans l’exercice 16.6 que les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont continues en \(0\). De plus, on a : \[\forall a\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ \begin{cases} \sin(a+x) = \sin(a)\cos(x)+\sin(x)\cos(a) \\ \cos(a+x)=\cos(a)\cos(x)-\sin(a)\sin(x) \end{cases}\] et donc, en utilisant la continuité en \(0\) des fonctions \(\sin\) et \(\cos\) : \[\forall a\in\mathbb{R},\ \begin{cases} \displaystyle\lim_{x\to 0} \sin(a+x) = \sin(a)\cos(0)+\sin(0)\cos(a)=\sin(a) \\ \displaystyle\lim_{x\to 0} \cos(a+x)=\cos(a)\cos(0)-\sin(a)\sin(0)=\cos(a) \end{cases}\] ce qui prouve que les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont continues en tout point \(a\) de \(\mathbb{R}\).
Fonctions continues par morceaux
Définition
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\) et \(f\) une fonction définie sur \([a,b]\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
On dit que \(f\) est continue par morceaux sur \([a,b]\) s’il existe une subdivision \(\sigma=(\sigma_0,\sigma_1,\dots,\sigma_n)\) de \([a,b]\) telle que, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la restriction de \(f\) à \(\left]\sigma_{k-1},\sigma_k\right[\) se prolonge en une fonction continue sur \(\left[\sigma_{k-1},\sigma_k\right]\).
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Théorème des valeurs intermédiaires Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et si \(a\) et \(b\) sont deux éléments de \(I\), alors, pour tout réel \(d\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) compris entre \(a\) et \(b\) tel que : \(f(x)=d\).
En particulier, si \(f\) est une fonction continue et changeant de signe sur \(I\), alors \(f\) s’annule au moins une fois sur \(I\).
Remarque
Une preuve de ce théorème est proposée dans le cours sur les suites adjacentes.
Théorème des bornes atteintes
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
De plus, l’image d’un segment par une fonction continue est un segment. Par conséquent, toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, i.e. admet un maximum et un minimum globaux.
Fonctions continues bijectives
Théorème de la bijection
Théorème
Théorème de la bijection Si \(f\) est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) (dont les bornes, finies ou infinies, sont notées \(a\) et \(b\)), alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) et \(f(I)\) est un intervalle de même nature que \(I\) (ouvert, fermé, semi-ouvert) dont les bornes sont les limites respectives de \(f\) en \(a\) et en \(b\).
Remarque
Si \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(J\), les équations \(f(x)=y\) et \(x=f^{-1}(y)\) sont équivalentes, donc la courbe représentative de \(f^{-1}\) se déduit de celle de \(f\) par symétrie par rapport à la droite d’équation \(y=x\).
Exercice
On se propose de démontrer partiellement ce théorème (dans le cas où \(I\) est un segment). On suppose que \(I=[a,b]\) et que \(f\) est une fonction continue et strictement croissante sur \(I\).
Démontrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) et que \(f(I)=\left[f(a),f(b)\right]\).
Solution
On commence par remarquer que, par définition : \[f(I)=\left\lbrace f(x),\, x\in I\right\rbrace\]
ce qui signifie que tout élément de \(f(I)\) admet au moins un antécédent par \(f\) dans \(I\), donc que \(f\) est surjective de \(I\) sur \(f(I)\). De plus, comme \(f\) est strictement croissante sur \(I\), on a : \[\forall (x,y) \in I^2,\ \begin{cases} x<y \Longrightarrow f(x) < f(y) \\ x>y \Longrightarrow f(x) > f(y) \end{cases}\]
et donc : \[\forall (x,y) \in I^2,\ x\neq y \Longrightarrow f(x) \neq f(y)\]
ce qui prouve que \(f\) est injective sur \(I\). Ainsi, \(f\) est bijective de \(I\) sur \(f(I)\) (on notera avec intérêt que la continuité n’intervient pas dans cette part du résultat).
De plus, comme \(f\) est croissante sur \(I=[a,b]\), on a immédiatement : \[\forall x\in I,\ f(a) \leqslant f(x) \leqslant f(b)\]
donc : \[f(I) \subset [f(a),f(b)]\]
Enfin, d’après le théorème des valeurs intermédiaires et comme \(f\) est continue sur \(I=[a,b]\), tout élément de \(\left[ f(a),f(b) \right]\) admet au moins un antécédent par \(f\) dans \(I\), donc : \[[f(a),f(b)] \subset f(I)\]
ce qui nous permet finalement d’affirmer que : \(f(I)=[f(a),f(b)]\).
Propriétés de la réciproque
Théorème
Si \(f\) est une fonction bijective continue et strictement monotone de \(I\) sur \(J\), alors :
la monotonie de \(f^{-1}\) sur \(J\) est la même que celle de \(f\) sur \(I\),
\(f^{-1}\) est continue sur \(J\).