Puissances (Prérentrée)

Exercice 1 (🔥) : Simplifications d’expressions mathématiques
📄 Énoncé

Simplifier le plus possible les expressions suivantes :

  1. \(\displaystyle \frac{\sqrt{81} - 3}{6}\)

  2. \(\displaystyle \frac{\sqrt{4} - \sqrt{24}}{6}\)

  3. \(\displaystyle \frac{2-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}\)

  4. \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\)

  5. \(\displaystyle \sqrt{(2\pi -1)^2}\)

  6. \(\displaystyle \sqrt{(2-\pi)^2}\)

✅ Corrigé

  1. \(\displaystyle \frac{\sqrt{81} - 3}{6}= 1\)

  2. \(\displaystyle \frac{\sqrt{4} - \sqrt{24}}{6}= \frac{1-\sqrt{6}}{3}\)

  3. \(\displaystyle \frac{2-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}} = 2\sqrt{6} -5\)

  4. \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} =-\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}+\sqrt{6}+3}{2}\)

  5. \(\displaystyle \sqrt{(2\pi -1)^2} = 2\pi -1\)

  6. \(\displaystyle \sqrt{(2-\pi)^2} = \pi - 2\)

Détail des calculs

\(\displaystyle \frac{\sqrt{81} - 3}{6} = \frac{9-3}{6} = 1\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{4} - \sqrt{24}}{6} = \frac{2- \sqrt{4 \times 6}}{6} = \frac{2-2\sqrt{6}}{2\times 3} = \frac{1-\sqrt{6}}{3}\)

On a : \[\begin{aligned} \frac{2-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}} &= \frac{(2-\sqrt{6})^2}{(2-\sqrt{6})(2+\sqrt{6})} \\ &= \frac{4-4 \sqrt{6} + 6}{4-6} \\ &= 2\sqrt{6} -5 \end{aligned}\]

Pour enlever la racine au dénominateur, on multiplie et divise par la quantité conjuguée

On a : \[\begin{aligned} \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} &= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+ \sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} \\ &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}+\sqrt{6}+3}{1-3} \\ &= -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}+\sqrt{6}+3}{2} \end{aligned}\]

On a : \[2\pi -1 \geqslant 0\]

Commentaire

Attention au signe : \(\sqrt{x^2} = \left| x \right|\)

donc : \[\sqrt{(2\pi -1)^2} = 2 \pi -1\]

Comme \(2-\pi\) est négatif, on a : \[\sqrt{(2-\pi)^2}= \pi - 2\]

📝 Mes notes :

Exercice 2 (🔥) : Simplifications d’expressions mathématiques
📄 Énoncé

  1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme \(a^n\) où \(a\) et \(n\) sont deux entiers relatifs :

    1. \(3^2 \times 4^2\)

    2. \(5^4 \times 25^{-4}\)

    3. \(\dfrac{7^3}{7^{-6}}\)

    4. \(\dfrac{9^5}{3^6}\)

  2. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme \(a^n \times b^p\) où \(a,b,n\) et \(p\) sont des entiers relatifs :

    1. \(\dfrac{5^5\times 4^ 5}{10^3 \times 2^2}\)

    2. \(\dfrac{12^3 \times 8^{-4} }{4^4 \times 3^{-2}}\)

    3. \(\dfrac{7^{-2} \times 21^{4} }{3^4 \times 21^{-2}}\)

    4. \(\dfrac{9^3 \times 16^{-2} }{2^8 \times 3^{-3}}\)

✅ Corrigé

    1. \(3^2 \times 4^2 = 12^2\)

    2. \(5^4 \times 25^{-4} = 5^{-4}\)

    3. \(\dfrac{7^3}{7^{-6}} = 7^9\)

    4. \(\dfrac{9^5}{3^6}= 3^4\)

    1. \(\dfrac{5^5\times 4^ 5}{10^3 \times 2^2} = 2^5 \times 5^2\)

    2. \(\dfrac{12^3 \times 8^{-4} }{4^4 \times 3^{-2}}= 2^{-14} \times 3^5\)

    3. \(\dfrac{7^{-2} \times 21^{4} }{3^4 \times 21^{-2}}= 7^4 \times 3^2\)

    4. \(\dfrac{9^3 \times 16^{-2} }{2^8 \times 3^{-3}}= 2^{-16} \times 3^9\)

Détail des calculs

    1. \(3^2 \times 4^2 = (3 \times 4)^2 = 12^2\)

    2. \(\displaystyle 5^4 \times 25^{-4}= 5^4 \left(25^{-1} \right)^4 = (5 \times 25^{-1})^4 = \left( \frac{5}{25} \right)^4 = \left( \frac{1}{5} \right)^4 = 5^{-4}\)

    3. \(\dfrac{7^3}{7^{-6}} = 7^{3+6} = 7^9\)

    4. \(\displaystyle \dfrac{9^5}{3^6} = \frac{(3^2)^5}{3^6} = \frac{3^{2\times 5}}{3^6} = 3^4\)

    1. \(\displaystyle \dfrac{5^5\times 4^ 5}{10^3 \times 2^2} =\frac{5^5 \times (2^2)^5}{(2 \times 5)^3 \times 2^2} = \frac{5^5 \times 2^{10}}{5^3 \times 2^5} = 2^5 \times 5^2\)

    2. \(\displaystyle \dfrac{12^3 \times 8^{-4} }{4^4 \times 3^{-2}} = \frac{(2^2 \times 3)^3 \times (2^3)^{-4}}{(2^2)^4 \times 3^{-2}} = \frac{2^{2 \times 3-3 \times 4} \times 3^3}{2^{2 \times 4} \times 3^{-2}} = 2^{-14} \times 3^5\)

    3. \(\displaystyle \dfrac{7^{-2} \times 21^{4} }{3^4 \times 21^{-2}} = \frac{7^{-2} \times 7^4 \times 3^4}{3^4 \times 7^{-2} \times 3^{-2}} = 7^4 \times 3^2\)

    4. \(\displaystyle \dfrac{9^3 \times 16^{-2} }{2^8 \times 3^{-3}} = \frac{(3^2)^3 \times (2^4)^{-2}}{2^8 \times 3^{-3}} = \frac{3^6 \times 2^{-8}}{2^8 \times 3^{-3}} = 2^{-16} \times 3^9\)

📝 Mes notes :

Exercice 3 (🔥) : Simplifications d’expressions mathématiques
📄 Énoncé

Écrire les nombres suivants sous la forme la plus simple possible.

  1. \(\mathrm{e}^{2 \ln(5)}\)

  2. \(\mathrm{e}^{-3 \ln(2)}\)

  3. \(3 \ln(2) - 5 \ln(4)\)

  4. \(\ln(\mathrm{e}^{1/3})\)

  5. \(\ln(9) + \ln\! \left( \frac{1}{27} \right)\)

  6. \(\ln(2) + \ln\! \left( \frac{3}{2} \right) + \ln\! \left( \frac{5}{3} \right)\)

✅ Corrigé

  1. \(\mathrm{e}^{2 \ln(5)}= 25\)

  2. \(\mathrm{e}^{-3 \ln(2)}= \frac{1}{8}\)

  3. \(3 \ln(2) - 5 \ln(4)=-7 \ln(2)\)

  4. \(\ln(\mathrm{e}^{1/3})= \frac{1}{3}\)

  5. \(\ln(9) + \ln\! \left( \frac{1}{27} \right)\)

  6. \(\ln(2) + \ln\! \left( \frac{3}{2} \right) + \ln\! \left( \frac{5}{3} \right) = \ln(5)\)

Solutions détaillées

Détail des calculs

  1. \(\mathrm{e}^{2 \ln(5)} = \mathrm{e}^{ \ln(5^2)} = 5^2 = 25\)

  2. \(\mathrm{e}^{-3 \ln(2)} = \mathrm{e}^{\ln(2^{-3}} = 2^{-3} = \frac{1}{8}\)

  3. \(3 \ln(2) - 5 \ln(4)= 3 \ln(2) - 5 \ln(2^2) = 3 \ln(2) - 10 \ln(2) =-7 \ln(2)\)

  4. \(\ln(\mathrm{e}^{1/3})= \frac{1}{3}\)

  5. \(\ln(9) + \ln\! \left( \frac{1}{27} \right) = \ln(3^2) - \ln(3^3) = 2 \ln(3) - 3 \ln(3) = - \ln(3)\)

  6. \(\ln(2) + \ln\! \left( \frac{3}{2} \right) + \ln\! \left( \frac{5}{3} \right) = \ln \! \left( 2 \times \frac{3}{2} \times \frac{5}{3} \right) = \ln(5)\)

📝 Mes notes :

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