Fractions (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Simplification de fractions
📄 Énoncé
Simplifier les fractions suivantes.
\(\dfrac{25}{30} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\dfrac{6+22}{12} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\dfrac{2-\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}+ 1}\)
\(\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ \frac{2}{5} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{5}{12} \times \frac{15}{100} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\displaystyle \dfrac{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle \frac{7}{5} \times \frac{1- \frac{35}{49}}{1-\frac{7}{5}}\)
✅ Corrigé
\(\dfrac{25}{30}= \dfrac{5}{6} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\dfrac{6+22}{12}= \dfrac{7}{3} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\dfrac{2-\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}+ 1}= \dfrac{20}{21}\)
\(\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}} \displaystyle = - \frac{5}{29}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ \frac{2}{5} = \frac{17}{30}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{5}{12} \times \frac{15}{100} = \frac{1}{24}\)
\(\displaystyle \dfrac{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}} = - \frac{1}{15}\)
\(\displaystyle \frac{7}{5} \times \frac{1- \frac{35}{49}}{1-\frac{7}{5}} = \frac{7}{5} \times \frac{\frac{49-35}{49}}{\frac{5-7}{5}} = -1\)
Détail des calculs
\(\dfrac{25}{30} = \dfrac{5\times 5}{5 \times 6} = \dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{6+22}{12} =\displaystyle \dfrac{28}{12} = \frac{4 \times 7}{4 \times 3} = \frac{7}{3}\)
\(\dfrac{2-\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}+ 1} = \displaystyle \frac{\frac{6-1}{3}}{\frac{3+4}{4}} = \frac{5}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{21}\)
\(\displaystyle \dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}} = \frac{\frac{1-4}{6}}{\frac{4+25}{10}} = -\frac{3}{6} \times \frac{10}{29} = -\frac{3}{3\times 2} \times \frac{2\times 5}{29} = - \frac{5}{29}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ \frac{2}{5} = \frac{3\times 5 - 2 \times 5 + 2\times 2 \times 3}{2\times 3 \times 5} = \frac{17}{30}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{5}{12} \times \frac{15}{100} = \frac{2 \times 5 \times 3 \times 5}{3 \times 2 \times 6 \times 4 \times 25} = \frac{1}{24}\)
\(\displaystyle \dfrac{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{1-2}{6}}{\frac{5}{2}} = - \frac{1}{6} \times \frac{2}{5} = - \frac{1}{15}\)
\(\displaystyle \frac{7}{5} \times \frac{1- \frac{35}{49}}{1-\frac{7}{5}} = \frac{7}{5} \times \frac{14}{49} \times \frac{5}{-2} = - \frac{7 \times 7 \times 2 \times 5}{5 \times 7 \times 7 \times 2} = -1\)
📝 Mes notes :
Exercice 2 (🔥) : Simplification de fractions
📄 Énoncé
Simplifier les fractions suivantes.
\(\dfrac{25}{30} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\dfrac{6+22}{12} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\dfrac{2-\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}+ 1}\)
\(\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ \frac{2}{5} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{5}{12} \times \frac{15}{100} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\displaystyle \dfrac{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle \frac{7}{5} \times \frac{1- \frac{35}{49}}{1-\frac{7}{5}}\)
✅ Corrigé
\(\dfrac{25}{30}= \dfrac{5}{6} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\dfrac{6+22}{12}= \dfrac{7}{3} \phantom{\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}}\)
\(\dfrac{2-\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}+ 1}= \dfrac{20}{21}\)
\(\dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}} \displaystyle = - \frac{5}{29}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ \frac{2}{5} = \frac{17}{30}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{5}{12} \times \frac{15}{100} = \frac{1}{24}\)
\(\displaystyle \dfrac{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}} = - \frac{1}{15}\)
\(\displaystyle \frac{7}{5} \times \frac{1- \frac{35}{49}}{1-\frac{7}{5}} = \frac{7}{5} \times \frac{\frac{49-35}{49}}{\frac{5-7}{5}} = -1\)
Détail des calculs
\(\dfrac{25}{30} = \dfrac{5\times 5}{5 \times 6} = \dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{6+22}{12} =\displaystyle \dfrac{28}{12} = \frac{4 \times 7}{4 \times 3} = \frac{7}{3}\)
\(\dfrac{2-\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}+ 1} = \displaystyle \frac{\frac{6-1}{3}}{\frac{3+4}{4}} = \frac{5}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{21}\)
\(\displaystyle \dfrac{\frac{1}{6}- \frac{2}{3}}{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}} = \frac{\frac{1-4}{6}}{\frac{4+25}{10}} = -\frac{3}{6} \times \frac{10}{29} = -\frac{3}{3\times 2} \times \frac{2\times 5}{29} = - \frac{5}{29}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ \frac{2}{5} = \frac{3\times 5 - 2 \times 5 + 2\times 2 \times 3}{2\times 3 \times 5} = \frac{17}{30}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{5}{12} \times \frac{15}{100} = \frac{2 \times 5 \times 3 \times 5}{3 \times 2 \times 6 \times 4 \times 25} = \frac{1}{24}\)
\(\displaystyle \dfrac{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{1-2}{6}}{\frac{5}{2}} = - \frac{1}{6} \times \frac{2}{5} = - \frac{1}{15}\)
\(\displaystyle \frac{7}{5} \times \frac{1- \frac{35}{49}}{1-\frac{7}{5}} = \frac{7}{5} \times \frac{14}{49} \times \frac{5}{-2} = - \frac{7 \times 7 \times 2 \times 5}{5 \times 7 \times 7 \times 2} = -1\)
📝 Mes notes :
Exercice 3 (🔥) : Simplification de fractions
📄 Énoncé
(Fichier énoncé introuvable)
✅ Corrigé
(Fichier corrigé introuvable)
📝 Mes notes :
Exercice 4 (🔥) : Simplification de fractions
📄 Énoncé
Simplifier les fractions suivantes.
\(\displaystyle \dfrac{1}{n+1} - \frac{1}{n}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{n^2} - \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n}\)
\(\displaystyle \dfrac{x^2-y^2}{(x-y)^2} + \frac{(x+y)^2}{x-y}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} - \frac{2}{x+2}\)
\(\displaystyle \dfrac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{n \left( n+1 \right) } - \dfrac{1}{ \left( n+1 \right) (n+2) }\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \dfrac{1}{n+1} - \frac{1}{n}= - \frac{1}{n \left( n+1 \right)}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{n^2} - \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n} = \frac{2n+1}{n^2 \left( n+1 \right)}\)
\(\displaystyle \dfrac{x^2-y^2}{(x-y)^2} + \frac{(x+y)^2}{x-y}= \frac{(x+y)(1+x+y) }{x-y }\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} - \frac{2}{x+2}= - \frac{ 1 }{x-2 }\)
\(\displaystyle \dfrac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1}= - \frac{2x}{(x+1)(x-1)}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{n \left( n+1 \right) } - \dfrac{1}{ \left( n+1 \right) (n+2) } = \frac{2}{n \left( n+1 \right)(n+2)}\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{n+1} - \frac{1}{n} &= \frac{n-(n+1)}{n \left( n+1 \right)} \\ &= - \frac{1}{n \left( n+1 \right)} \end{aligned}\]
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{n^2} - \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n} &= \frac{(n+1) - n^2 + n \left( n+1 \right)}{n^2 \left( n+1 \right)} \\ &= \frac{2n+1}{n^2 \left( n+1 \right)} \end{aligned}\]
et en remarquant que \(-2\) est racine évidente de \(x^3+x^2-3x-2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2} &= \frac{ (n+2)(n^2-n-1) }{n^2 \left( n+1 \right)^2} \end{aligned}\]
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{x^2-y^2}{(x-y)^2} + \frac{(x+y)^2}{x-y} &= \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2} + \frac{(x+y)^2}{x-y} \\ &= \frac{x+y }{x-y } + \frac{(x+y)^2}{x-y}\\ &= \frac{(x+y)(1+x+y) }{x-y } \end{aligned}\]
Rappel de cours
Se souvenir que, si \(a\) et \(b\) sont deux réels : \[a^2-b^2 = (a-b) (a+b)\]
et que : \[(a+b)^2 = a^2+2ab + b^2 \quad \text{et} \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} - \frac{2}{x+2} &= \dfrac{1}{x-2} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} - \frac{2}{x+2} \\ &= \frac{ (x+2) - 8 -2 \left( x-2 \right)}{(x-2)(x+2)} \\ &= - \frac{x+2 }{( x-2)(x+2) } \\ &= - \frac{ 1 }{x-2 } \end{aligned}\]
Pour éviter d’alourdir les calculs inutilement quand on cherche un dénominateur commun, il est toujours préférable de chercher le plus petit possible.
Ici, les dénominateurs sont \(x-2\), \(x^2-4\) et \(x+2\). On reconnaît que \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), ce qui permet d’écrire tous les termes avec le même dénominateur \((x-2)(x+2)\), sans introduire de facteurs inutiles.
On multiplie alors chaque terme par le facteur manquant pour obtenir ce dénominateur commun : \[\dfrac{1}{x-2} = \dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}, \quad \dfrac{8}{(x-2)(x+2)} \text{ reste inchangé}, \quad \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}.\]
On peut ensuite regrouper les numérateurs et simplifier.
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1} &= \frac{x \left[ (x-1) - (x+1) \right]}{(x+1)(x-1)} \\ &= - \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \end{aligned}\]
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{n \left( n+1 \right) } - \dfrac{1}{ \left( n+1 \right) (n+2) } &= \frac{(n+2)-n}{n \left( n+1 \right)(n+2)} \\ &= \frac{2}{n \left( n+1 \right)(n+2)} \end{aligned}\]
📝 Mes notes :
Exercice 5 (🔥) : Simplification de fractions
📄 Énoncé
Simplifier les fractions suivantes.
\(\displaystyle \dfrac{1}{n+1} - \frac{1}{n}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{n^2} - \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n}\)
\(\displaystyle \dfrac{x^2-y^2}{(x-y)^2} + \frac{(x+y)^2}{x-y}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} - \frac{2}{x+2}\)
\(\displaystyle \dfrac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{n \left( n+1 \right) } - \dfrac{1}{ \left( n+1 \right) (n+2) }\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \dfrac{1}{n+1} - \frac{1}{n}= - \frac{1}{n \left( n+1 \right)}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{n^2} - \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n} = \frac{2n+1}{n^2 \left( n+1 \right)}\)
\(\displaystyle \dfrac{x^2-y^2}{(x-y)^2} + \frac{(x+y)^2}{x-y}= \frac{(x+y)(1+x+y) }{x-y }\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} - \frac{2}{x+2}= - \frac{ 1 }{x-2 }\)
\(\displaystyle \dfrac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1}= - \frac{2x}{(x+1)(x-1)}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{n \left( n+1 \right) } - \dfrac{1}{ \left( n+1 \right) (n+2) } = \frac{2}{n \left( n+1 \right)(n+2)}\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{n+1} - \frac{1}{n} &= \frac{n-(n+1)}{n \left( n+1 \right)} \\ &= - \frac{1}{n \left( n+1 \right)} \end{aligned}\]
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{n^2} - \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n} &= \frac{(n+1) - n^2 + n \left( n+1 \right)}{n^2 \left( n+1 \right)} \\ &= \frac{2n+1}{n^2 \left( n+1 \right)} \end{aligned}\]
et en remarquant que \(-2\) est racine évidente de \(x^3+x^2-3x-2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2} &= \frac{ (n+2)(n^2-n-1) }{n^2 \left( n+1 \right)^2} \end{aligned}\]
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{x^2-y^2}{(x-y)^2} + \frac{(x+y)^2}{x-y} &= \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2} + \frac{(x+y)^2}{x-y} \\ &= \frac{x+y }{x-y } + \frac{(x+y)^2}{x-y}\\ &= \frac{(x+y)(1+x+y) }{x-y } \end{aligned}\]
Rappel de cours
Se souvenir que, si \(a\) et \(b\) sont deux réels : \[a^2-b^2 = (a-b) (a+b)\]
et que : \[(a+b)^2 = a^2+2ab + b^2 \quad \text{et} \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} - \frac{2}{x+2} &= \dfrac{1}{x-2} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} - \frac{2}{x+2} \\ &= \frac{ (x+2) - 8 -2 \left( x-2 \right)}{(x-2)(x+2)} \\ &= - \frac{x+2 }{( x-2)(x+2) } \\ &= - \frac{ 1 }{x-2 } \end{aligned}\]
Pour éviter d’alourdir les calculs inutilement quand on cherche un dénominateur commun, il est toujours préférable de chercher le plus petit possible.
Ici, les dénominateurs sont \(x-2\), \(x^2-4\) et \(x+2\). On reconnaît que \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), ce qui permet d’écrire tous les termes avec le même dénominateur \((x-2)(x+2)\), sans introduire de facteurs inutiles.
On multiplie alors chaque terme par le facteur manquant pour obtenir ce dénominateur commun : \[\dfrac{1}{x-2} = \dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}, \quad \dfrac{8}{(x-2)(x+2)} \text{ reste inchangé}, \quad \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}.\]
On peut ensuite regrouper les numérateurs et simplifier.
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1} &= \frac{x \left[ (x-1) - (x+1) \right]}{(x+1)(x-1)} \\ &= - \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \end{aligned}\]
On a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{n \left( n+1 \right) } - \dfrac{1}{ \left( n+1 \right) (n+2) } &= \frac{(n+2)-n}{n \left( n+1 \right)(n+2)} \\ &= \frac{2}{n \left( n+1 \right)(n+2)} \end{aligned}\]
📝 Mes notes :
Exercice 6 (🔥) : Simplification de fractions
📄 Énoncé
(Fichier énoncé introuvable)
✅ Corrigé
(Fichier corrigé introuvable)