Limites de fonctions-3 (Prérentrée – Maths approfondies)
Exercice 1 (🔥🔥) : Calcul de limite
📄 Énoncé
Calculer les limites suivantes :
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{2-\cos (x)}{x}\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{2-\cos (x)}{x}\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^x+3}\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[ x-\frac{1}{x}-\ln (x^2)\right]\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+2 x}-x-1\right)\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}-2 x}{x-\cos (x)}\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{2-\cos(x) }{x}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^- } \frac{2-\cos(x) }{x}=-\infty\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^x+3}=+\infty\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\frac{1}{x}-\ln \left(x^2\right)\right)=+\infty\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+2 x}-x-1\right)=0\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= \mathrm{e}\)
\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}=2\)
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}-2 x}{x-\cos(x) }=-2\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
Comme la fonction cos est continue en 0, on a : \[\lim _{ x\to 0^+} 2-\cos(x) =2-\cos (0)=1\]
De plus, on a : \[\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}=+\infty\]
d’où : \[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2-\cos(x) }{x}=+\infty\]
De même, comme la fonction cos est continue en 0, on a : \[\lim_{x \to 0^- } 2-\cos(x) =2-\cos (0) =1\]
De plus, on a : \[\lim_{x \to 0^- } \frac{1}{x}=-\infty\]
donc : \[\lim_{x \to 0^- } \frac{2-\cos(x) }{x}=-\infty\]
On constate donc que : \[\lim _{x \to 0^+} \frac{2-\cos(x) }{x} \neq \lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{2-\cos(x) }{x}\]
La fonction \(x \mapsto \dfrac{2-\cos(x) }{x}\) n’a donc pas de limite en 0.
Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\), il s’agit d’une forme indéterminée. On a : \[\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R}, \ \frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^x+3} &=\frac{\mathrm{e}^{2 x}\left[1-\mathrm{e}^{-2 x}\right]}{\mathrm{e}^x\left[1+3 \,\mathrm{e}^{-x}\right]}\\ &=\mathrm{e}^x \, \frac{1- \mathrm{e}^{-2 x}}{1+3 \,\mathrm{e}^{-x}} \end{aligned}\]
Pour lever l’indétermination, on peut penser à factoriser les termes prépondérants au numérateur et au dénominateur pour simplifier l’expression
De plus on a : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^x=+\infty,\quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \left[ 1+3 \, \mathrm{e}^{-x} \right] = 1,\quad =\lim _{x \rightarrow+\infty} \left[ 1- \mathrm{e}^{-2 x} \right] =1\]
donc : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{\mathrm{e}^x+3}=+\infty\]
Ici encore il y a indétermination puisque \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty\) et \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}-\ln \left(x^2\right)=-\infty\). On procède alors comme dans la question précédente, en factorisant le terme prépondérant : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^*, \ x-\frac{1}{x}-\ln \left(x^2\right)=x\left[1-\frac{1}{x^2}-2 \frac{\ln x}{x}\right]\]
Or on sait que : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^2}=0\]
De plus, par croissances comparées, on a : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x}=0\]
On en déduit donc : \[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[1-\frac{1}{x^2}-2 \, \frac{\ln x}{x}\right]=1\]
puis : \[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\frac{1}{x}-\ln \left(x^2\right)\right)=+\infty\]
Il s’agit ici d’une différence de deux fonctions tendant vers \(+\infty\). Il y a donc indétermination.
Commentaire
L’indétermination étant liée à la présence de racines carrées, on peut penser à multiplier et diviser par l’expression conjuguée : \(\sqrt{x^2+2 x}+(x+1)\)
On a : \[\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R}^{+}, \ \sqrt{x^2+2 x}-(x+1) &=\frac{\left(x^2+2 x\right)-(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2 x}+(x+1)} \\ &=\frac{-1}{\sqrt{x^2+2 x}+(x+1)} \end{aligned}\]
De plus, on a: \[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^2+2 x\right)=+\infty \quad \text{et} \quad \lim _{u \rightarrow+\infty} \sqrt{u}=+\infty\]
donc : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2+2 x}=+\infty\]
On en déduit alors : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2+2 x}+x+1=+\infty\] puis : \[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+2 x}-x-1\right)=0\]
Attention! Il s’agit encore d’une forme indéterminée : on ne peut pas choisir de faire tendre certains \(x\) avant les autres...
Commentaire
Quand la puissance dépend de la variable, il est préférable d’utiliser l’écriture exponentielle : \(\forall x \in \mathbb{R}, \ \forall a \in \mathbb{R}_{+}^*, \ a^x=\exp (x \ln (a))\)
On a : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^*, \ 1+\frac{1}{x}>0\]
On peut donc écrire : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^*,\ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\exp \! \left(x \ln \! \left(1+\frac{1}{x}\right)\right)\]
De plus, on sait que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0 \quad \text{et} \quad \lim _{u \rightarrow 0} \frac{\ln (1+u)}{u}=1\]
On a donc : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=1\]
Par suite, comme \(\exp\) est continue en 1, on peut conclure : \[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= \mathrm{e}\]
Par définition, on a : \[\forall u \in \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[, \ \tan (u)=\frac{\sin (u)}{\cos (u)}\]
Pour simplifier l’expression, on peut penser à utiliser une formule de trigonométrie : \[\forall \theta \in \mathbb{R}, \ \sin (2 \theta)=2 \sin( \theta) \cos( \theta )\]
donc : \[\begin{aligned} \forall x \in \left] -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right[, \ \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)} &=\frac{\sin (2 x)}{\sin (x) \cos (2 x)} \\ &=\frac{2 \sin (x) \cos(x) }{\sin (x) \cos (2 x)} \\ &=2 \, \frac{\cos(x) }{\cos (2 x)} \end{aligned}\]
Or, la fonction cos étant continue en 0, on a : \[\lim _{x \rightarrow 0} \cos(x) =\cos (0)=1\]
De même, comme \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} 2 x=0\), on a : \[\lim _{x \rightarrow 0} \cos (2 x)=1\]
On peut finalement conclure : \[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}=2\]
On a : \[\begin{aligned} \forall x>1, \ \frac{\sqrt{x}-2 x}{x-\cos(x) } &=\frac{x\left[\sqrt{\frac{1}{x}}-2\right]}{x\left[1-\frac{\cos(x) }{x}\right]} \\ & =\frac{\sqrt{\frac{1}{x}}-2}{1-\frac{\cos(x) }{x}} \end{aligned}\]
Or on a : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0\]
et, par continuité de la fonction racine en \(0\) : \[\lim _{u \rightarrow 0} \sqrt{u}=0\]
On en déduit : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{1}{x}}-2=-2\]
De plus, on a : \[\forall x>1, \ |\cos(x) | \leqslant 1\] donc : \[\forall x>1, \ \left|\frac{\cos(x) }{x}\right| \leqslant \frac{1}{x}\]
Comme \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0\), on en déduit, d’après le théorème de l’encadrement: \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos(x) }{x}=0\]
donc : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \left[ 1-\frac{\cos(x) }{x} \right] =1 \neq 0\]
donc finalement : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}-2 x}{x-\cos(x) }=-2\]