Limites de fonctions-2 (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Calcul de limite
📄 Énoncé
Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de \(f\) en \(a\).
\(\displaystyle f(x) = \frac{2}{x^2-1} + \frac{1}{1-x}\) et \(a=1\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{3} -\sqrt{x}}{x^2-9}\) et \(a=3\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}}{x-1}\) et \(a=1\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{\ln(x-1)-x+2}{x-2}\) et \(a=2\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x^2-3x+2}\) et \(a=2\)
\(\displaystyle f(x)= \frac{\mathrm{e}^{x-1} - \ln(x) - 1}{x-1}\) et \(a=1\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{2}{x^2-1} + \frac{1}{1-x} =- \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{ \sqrt{3}-\sqrt{x}}{x^2-9} = - \frac{\sqrt{3}}{36}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}}{x-1} = \mathrm{e}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{\ln(x-1)-x+2}{x-2} =0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2-3x+2} = 1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\mathrm{e}^{x-1} - \ln(x) - 1}{x-1} = 0\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
Il y a une forme indéterminée avec des fractions donc on commence par réduire au même dénominateur. On a : \[\begin{aligned} \forall x\in \mathbb{R}\setminus \{ -1,1 \},\ f(x) &= \frac{2}{x^2-1} + \frac{1}{1-x} \\ &= \frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x-1} \\ &= \frac{2 -(x+1)}{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{1-x}{(x-1)(x+1)} \\ &= - \frac{x}{ x+1 } \end{aligned}\]
De plus on a : \[\lim_{x\to 1} (x+1) = 2 \neq 0\] donc, sans indétermination : \[\lim_{x\to 1} \frac{2}{x^2-1} + \frac{1}{1-x} = - \frac{1}{2}\]
Encore une fois, il faut reconnaître les identités remarquables. On a : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+ \setminus \{ 3 \},\ f(x) &= \frac{ \sqrt{3}-\sqrt{x}}{x^2-9} \\ &= \frac{ \sqrt{3}-\sqrt{x}}{(x-3)(x+3)} \\ &= \frac{ \sqrt{3}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}- \sqrt{3})( \sqrt{x} + \sqrt{3}) (x+3)} \\ &= - \frac{1}{ ( \sqrt{x} + \sqrt{3}) (x+3)} \end{aligned}\]
De plus on a : \[\lim_{x\to 3} ( \sqrt{x} + \sqrt{3}) (x+3) = 12 \sqrt{3} \neq 0\]
Commentaire
La fonction racine et les fonctions polynômes sont continues en \(3\)
donc : \[\lim_{x\to 3} \frac{3-\sqrt{x}}{x^2-9} = - \frac{1}{12 \sqrt{3}} =- \frac{\sqrt{3}}{36}\]
On peut remarquer que : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}\setminus \{ 1 \},\ f(x) &= \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}}{x-1} \\ &= \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^1}{x-1} \end{aligned}\]
Commentaire
Face à une forme indéterminée avec une fonction affine au dénominateur, il est souvent utile de faire apparaître un taux d’accroissement
De plus la fonction exponentielle est dérivable en \(1\) donc : \[\lim_{x\to 1} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}}{x-1} = \exp'(1) = \mathrm{e}\]
Comme précédemment, on remarque que, en notant \(h(x) = \ln(x-1) - x\), on a : \[\forall x\in \left] 1,{+\infty}\right[ \setminus \{ 2 \},\ f(x) = \frac{h(x) - h(2)}{x-2}\]
De plus la fonction \(x\mapsto x-1\) est dérivable sur \(\left] 1,{+\infty}\right[\), à valeurs dans \(\mathbb{R}_+^\ast\) et la fonction \(\ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) donc, par composition et somme, \(h\) est dérivable sur \(\left] 1,{+\infty}\right[\), d’où : \[\lim_{x\to 2} \frac{\ln(x-1)-x+2}{x-2} = h'(2)\]
On a par ailleurs : \[\begin{aligned} \forall x\in \left] 1,{+\infty}\right[ ,\ h'(x) &= \frac{1}{x-1}-1 \end{aligned}\]
donc \(h'(2) = 0\) et : \[\lim_{x\to 2} \frac{\ln(x-1)-x+2}{x-2} =0\]
Méthode
Quand on cherche à calculer la limite d’une fonction de la forme \(x\mapsto \frac{f(x)}{x-a}\) lorsque \(x\) tend vers \(a\), deux cas se présentent.
Si \(f\) a une limite différente de \(0\) en \(a\), alors il n’y a aucune indétermination et tout vas bien.
Si \(f\) tend vers \(0\) en \(a\), on peut se ramener à la limite d’un taux d’accroissement (éventuellement en posant \(f(a)=0\) si \(f\) n’est pas définie en \(a\)) et étudier la dérivabilité de \(f\) en \(a\) puisque, si \(f\) est dérivable en \(a\) : \[\lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a) }{x-a} = f'(a)\]
On peut remarquer que (éventuellement en calculant un discriminant) : \[\forall x\in \mathbb{R},\ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\]
donc on a : \[\forall x\in\mathbb{R}\setminus \{ 1,2 \},\ f(x) = \frac{1}{x-1}\]
et donc, sans indétermination : \[\lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2-3x+2} = 1\]
Encore un taux d’accroissement ! En notant \(\varphi(x) = \mathrm{e}^{x-1} - \ln(x)\), on a : \[\forall x\in \mathbb{R}_+^\ast\setminus \{ 1\},\ f(x) = \frac{\varphi(x) - \varphi(1)}{x-1}\]
De plus \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme somme de fonctions qui le sont et on a : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \varphi'(x) = \mathrm{e}^{x-1} - \frac{1}{x}\]
d’où : \[\lim_{x\to 1} \frac{\mathrm{e}^{x-1} - \ln(x) - 1}{x-1} = \varphi'(x) = 0\]