Primitives-3 (Prérentrée – Maths approfondies)
Exercice 1 (🔥) : Recherche de primitives
📄 Énoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur un intervalle que l’on précisera :
\(\displaystyle f: x \mapsto \frac{1}{x^2}-2 x+ \mathrm{e}^x\)
\(\displaystyle h: x \mapsto \frac{1}{\sqrt{3 x-2}}\)
\(\displaystyle g: x \mapsto \left( 2 x-1 \right) \mathrm{e}^{x^2-x+2}\)
\(\displaystyle i: x \mapsto \sin (2 x-1)-\cos (4 x+1)\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle F: x \mapsto-\frac{1}{x}-x^2+\mathrm{e}^x \text { est une primitive de } f: x \mapsto \frac{1}{x^2}-2 x+ \mathrm{e}^x \text { sur } \mathbb{R}_{+}^* \text { et sur } \mathbb{R}_{-}^*\).
\(\displaystyle H: x \mapsto \frac{2}{3} \sqrt{3 x-2} \text { est une primitive de } h : x\mapsto \frac{1}{\sqrt{3x-2}} \text { sur }\left] \frac{2}{3},+\infty \right[\).
\(\displaystyle G: x \mapsto \mathrm{e}^{x^2-x+2} \text { est une primitive de } g: x \mapsto \left( 2 x-1 \right) \mathrm{e}^{x^2-x+2} \text { sur } \mathbb{R}\).
\(\displaystyle I: x \mapsto \frac{1}{2} \sin (2 x-1)-\frac{1}{4} \cos (4 x+1) \text { est une primitive de } i: x \mapsto \sin (2 x-1)-\cos (4 x+1) \text { sur } \mathbb{R}\)
Solutions détaillées
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}^*\) et sur \(\mathbb{R}_{-}^*\) donc admet des primitives sur ces intervalles et, en reconnaissant la somme de fonctions de référence : \[F: x \mapsto-\frac{1}{x}-x^2+ \mathrm{e}^x \text { est une primitive de } f \text { sur } \mathbb{R}_{+}^* \text { et sur } \mathbb{R}_{-}^*\]
La fonction \(h\) est continue \(] \frac{2}{3},+\infty[\) car \(x \mapsto 3 x-2\) est continue sur cet intervalle et prend ses valeurs dans \(\mathbb{R}_{+}^*\) et car la fonction \(t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}^*\). \(h\) admet donc des primitives sur \(\mathbb{R}_{+}^*\). De plus, on a : \[\forall x>\frac{2}{3}, \ h(x)=\frac{1}{\sqrt{3 x-2}}=\frac{2}{3} \times \frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}}\]
On reconnaît une expression de la forme \(\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\) donc : \[H: x \mapsto \frac{2}{3} \sqrt{3 x-2} \text { est une primitive de } h \text { sur }\left] \frac{2}{3},+\infty \right[\]
La fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions qui le sont, donc elle admet des primitives sur cet intervalle.
De plus, comme \(x \mapsto 2 x-1\) est la dérivée de \(u: x \mapsto x^2-x+2\) sur \(\mathbb{R}\), on reconnaît une expression de la forme \(u^{\prime} \,\mathrm{e}^u\) donc : \[G: x \mapsto \mathrm{e}^{x^2-x+2} \text { est une primitive de } g \text { sur } \mathbb{R}\]
La fonction \(i\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions qui le sont, donc elle admet des primitives sur cet intervalle. De plus, on a : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ i(x)=\frac{1}{2} \times 2 \sin (2 x-1)-\frac{1}{4} \times 4 \cos (4 x+1)\]
On peut donc conclure : \[I: x \mapsto \frac{1}{2} \sin (2 x-1)-\frac{1}{4} \cos (4 x+1) \text { est une primitive de } i \text { sur } \mathbb{R}\]