Primitives-2 (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Recherche de primitives
📄 Énoncé
Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de \(f\) sur \(I\).
\(f(x) = (x-1)(2-x)\) et \(I=\mathbb{R}\)
\(f(x) = \mathrm{e}^{2x} + x^3-2x\) et \(I=\mathbb{R}\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) et \(I=\mathbb{R}_+^\ast\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}\) et \(I= \left] 1,{+\infty}\right[\)
\(f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+1}\) et \(I=\mathbb{R}\)
\(f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})^2}\) et \(I=\mathbb{R}\)
✅ Corrigé
La fonction \(\displaystyle F: x\mapsto - \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x\) est une primitive de \(f: x\mapsto (x-1)(2-x)\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(F: x\mapsto \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{2x}}{2} + \frac{x^4}{4} - x^2\) est une primitive de \(f : x\mapsto \mathrm{e}^{2x} + x^3-2x\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(\displaystyle F: x\mapsto \frac{\left[ \ln(x) \right]^2}{2}\) est une primitive de \(\displaystyle f : x\mapsto \frac{\ln(x)}{x}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
La fonction \(\displaystyle F: x\mapsto 2 \sqrt{\ln(x)}\) est une primitive de \(\displaystyle f : x\mapsto \frac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}\) sur \(]1,{+\infty}[\).
La fonction \(F: x\mapsto \ln(\mathrm{e}^x+1)\) est une primitive de \(f: x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(\displaystyle F : x\mapsto - \frac{1}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\) est une primitive de la fonction \(x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})^2}\) sur \(\mathbb{R}\).