Primitives-1 (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Recherche de primitives
📄 Énoncé
Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de \(f\) sur \(I\).
\(f(x) = x^3-2x+1 \phantom{\displaystyle\frac{1}{2}}\) et \(I=\mathbb{R}\)
\(\displaystyle f(x) = -\frac{1}{2x+1}\) et \(I=\mathbb{R}_+\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \mathrm{e}^{-x}\) et \(I= \mathbb{R}_+^\ast\)
\(\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2+2}{x}\) et \(I=\mathbb{R}_+^\ast\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{2x^3}{x^4+1}\) et \(I=\mathbb{R}\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x\ln(x)}\) et \(I=\mathbb{R}_+^\ast\)
✅ Corrigé
La fonction \(\displaystyle F:x\mapsto \frac{x^4}{4} - x^2 + x\) est une primitive de \(f:x\mapsto x^3-2x+1\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(\displaystyle F: x\mapsto -\frac{\ln(2x+1)}{2}\) est une primitive de \(\displaystyle f : x\mapsto -\frac{1}{2x+1}\) sur \(\mathbb{R}_+\).
La fonction \(x \mapsto 2\sqrt{x} - \mathrm{e}^{-x}\) est une primitive de \(\displaystyle f : x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}} + \mathrm{e}^{-x}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
La fonction \(\displaystyle x\mapsto \frac{x^2}{2} + 2 \ln(x)\) est une primitive de \(f : x\mapsto \dfrac{x^2+2}{x}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
La fonction \(\displaystyle \frac{\ln(x^4+1)}{2}\) est une primitive de \(\displaystyle f : x\mapsto \frac{2x^3}{x^4+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(x\mapsto \ln\left| \ln(x) \right|\) est une primitive de \(f : x\mapsto \dfrac{1}{x\ln(x)}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
Solutions détaillées
Rappel de cours
Si \(u\) une fonction dérivable sur \(I\), à valeurs dans un intervalle \(J\) de \(\mathbb{R}\), et si \(f\) une fonction dérivable sur \(J\), alors : \[(f \circ u)' = u' \times f' \circ u\] Ainsi \(f \circ u : x \mapsto f(u(x))\) est une primitive de \(x\mapsto u'(x)\, f'(u(x))\) sur \(I\).
En particulier, si \(u\) est une fonction dérivable sur \(I\) :
\(x\mapsto \mathrm{e}^{u(x)}\) est une primitive de \(x\mapsto u'(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}\),
si \(u\) ne s’annule pas, \(x\mapsto \ln \left| u(x) \right|\) est une primitive de \(x\mapsto \frac{u'(x)}{u(x)}\).
Détail des calculs
\(f\) est une fonction polynôme donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\) et admet des primitives. En particulier la fonction \(\displaystyle F:x\mapsto \frac{x^4}{4} - x^2 + x\) est une primitive de \(f:x\mapsto x^3-2x+1\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\) en tant que fonction rationnelle bien définie sur \(\mathbb{R}_+\). De plus on sait que si \(u\) est une fonction continue et strictement positive sur \(I\), alors \(x\mapsto \ln(u(x))\) est une primitive de \(\frac{u'}{u}\) sur \(I\) et on a : \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\ -\frac{1}{2x+1} = - \frac{1}{2} \times \frac{2}{2x+1}\]
donc la fonction \(\displaystyle F: x\mapsto -\frac{\ln(2x+1)}{2}\) est une primitive de \(\displaystyle f : x\mapsto -\frac{1}{2x+1}\) sur \(\mathbb{R}_+\).
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme somme de fonctions qui le sont et on a : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x) = 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} - (-\mathrm{e}^{-x})\]
donc la fonction \(x \mapsto 2\sqrt{x} - \mathrm{e}^{-x}\) est une primitive de \(\displaystyle f : x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}} + \mathrm{e}^{-x}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
Remarquons que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x) = x + \frac{2}{x}\]
Ainsi \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme somme de fonctions qui le sont donc elle admet des primitives sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). De plus on sait que \(x\mapsto \frac{x^2}{2}\) est une primitive de \(x\mapsto x\) et que \(\ln\) est une primitive de \(x\mapsto \frac{1}{x}\) donc la fonction \(\displaystyle x\mapsto \frac{x^2}{2} + 2 \ln(x)\) est une primitive de \(f : x\mapsto \dfrac{x^2+2}{x}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) en tant que fonction rationnelle bien définie sur \(\mathbb{R}\) donc elle admet des primitives sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). De plus on a :
Commentaire
Quand on veut une primitive d’un quotient que l’on ne peut simplifier, on commence par chercher une expression de la forme \(\dfrac{u'}{u}\).
\[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{4x^3}{x^4+1}\]
Or la fonction \(x\mapsto 4x^3\) est la dérivée de la fonction \(x\mapsto x^4+1\) donc la fonction \(\displaystyle \frac{\ln(x^4+1)}{2}\) est une primitive de \(\displaystyle f : x\mapsto \frac{2x^3}{x^4+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme quotient, dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), de fonctions qui le sont. De plus on peut remarquer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x) = \frac{\frac{1}{x}}{ \ln(x)}\]
donc la fonction \(x\mapsto \ln\left| \ln(x) \right|\) est une primitive de \(f : x\mapsto \dfrac{1}{x\ln(x)}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
Commentaire
Attention à ne pas oublier la valeur absolue !