Intégration par parties-2 (Prérentrée)

1. \(\displaystyle \int_1^2 \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x= 2\sqrt{2}\ln(2) - 4 \sqrt{2}+4\)

2. \(\displaystyle \int_1^2 \frac{\ln(1+x)}{x^2}\,\mathrm{d}x= - \frac{3\ln(3)}{2} + 3 \ln(2)\)

3. \(\displaystyle \int_0^1 x\,\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x= \mathrm{e}- 2\)

4. \(\displaystyle \int_1^2 \frac{\ln(1+2x)}{x^2}\,\mathrm{d}x= - \frac{5\ln(5)}{2} + 3 \ln(3) + 2 \ln(2)\)

Solutions détaillées

1. Les fonctions \(u : x\mapsto \ln(x)\) et \(v: x\mapsto 2\sqrt{x}\) sont dérivables sur \([1,2]\) et on a : \[\forall x\in [1,2],\ u'(x) = \frac{1}{x} \quad \text{et} \quad v'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\]

   Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([1,2]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\ln(1+2x)}{x^2}\,\mathrm{d}x&= \left[2\sqrt{x} \ln(x) \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{2\sqrt{x}}{x} \,\mathrm{d}x\\ &= 2\sqrt{2}\ln(2) - 4 \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{2\sqrt{x}} \\ &= 2\sqrt{2}\ln(2) - 4 \left[ \sqrt{x} \right]_1^2 \\ &= 2\sqrt{2}\ln(2) - 4 \sqrt{2}+4 \end{aligned}\]

2. Les fonctions \(u : x\mapsto \ln(1+x)\) et \(v: x\mapsto - \frac{1}{x}\) sont dérivables sur \([1,2]\) et on a : \[\forall x\in [1,2],\ u'(x) = \frac{1}{1+x}\quad \text{et} \quad v'(x) = \frac{1}{x^2}\]

   Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([1,2]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\ln(1+ x)}{x^2}\,\mathrm{d}x&= \left[ - \frac{\ln(1+ x)}{x}\right]_1^2 - \int_1^2 - \frac{1}{x \left( 1+x \right)} \,\mathrm{d}x\\ &= - \frac{\ln(3)}{2} + \ln(2) + \int_1^2 \frac{1}{x \left( 1+x \right)} \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]

   Méthode

   Pour calculer une intégrale de la forme \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{(ax+b)(cx+d)}\), il est en général utile de chercher deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que : \[\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{\alpha}{ax+b} + \frac{\beta}{cx+d}\]

   On a alors : \[\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\ln(1+x)}{x^2}\,\mathrm{d}x&= - \frac{\ln(3)}{2} + \ln(2) + \int_1^2 \frac{1+x-x}{x \left( 1+x \right)} \,\mathrm{d}x\\ &= - \frac{\ln(3)}{2} + \ln(2) + \int_1^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} \right) \mathrm{d}x\\ &= - \frac{\ln(3)}{2} + \ln(2) + \left[ \ln(x) - \ln(x+1) \right]_1^2 \\ &= - \frac{\ln(3)}{2} + \ln(2) + \ln(2) - \ln(3) - \ln(1) + \ln(2) \\ &= - \frac{3\ln(3)}{2} + 3 \ln(2) \end{aligned}\]

3. Les fonctions \(u : x\mapsto x\) et \(v: x\mapsto - \mathrm{e}^{1-x}\) sont dérivables sur \([0,1]\) et on a : \[\forall x\in [0,1],\ u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v'(x) = \mathrm{e}^{1-x}\]

   Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0,1]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_0^1 x\,\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x&= \left[ -x\,\mathrm{e}^{1-x} \right]_0^1 - \int_0^1- \mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x\\ &= - 1 - \left[ \mathrm{e}^{1-x} \right]_0^1 \\ &= -1-1 + \mathrm{e}\\ &= \mathrm{e}- 2 \end{aligned}\]

4. Les fonctions \(u : x\mapsto \ln(1+2x)\) et \(v: x\mapsto - \frac{1}{x}\) sont dérivables sur \([1,2]\) et on a : \[\forall x\in [1,2],\ u'(x) = \frac{2}{1+2x}\quad \text{et} \quad v'(x) = \frac{1}{x^2}\]

   Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([1,2]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\ln(1+2x)}{x^2}\,\mathrm{d}x&= \left[ - \frac{\ln(1+2x)}{x}\right]_1^2 - \int_1^2 - \frac{2}{x \left( 1+2x \right)} \,\mathrm{d}x\\ &= - \frac{\ln(5)}{2} + \ln(3) + \int_1^2 \frac{2}{x \left( 1+2x \right)} \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]

   On a alors : \[\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\ln(1+2x)}{x^2}\,\mathrm{d}x&= - \frac{\ln(5)}{2} + \ln(3) + \int_1^2 \frac{(2+4x)-4x}{x \left( 1+2x \right)} \,\mathrm{d}x\\ &= - \frac{\ln(5)}{2} + \ln(3) + \int_1^2 \left( \frac{2}{x} - \frac{4}{1+2x} \right) \mathrm{d}x\\ &= - \frac{\ln(5)}{2} + \ln(3) + \left[ 2 \ln(x) - 2 \ln(1+2x) \right]_1^2 \\ &= - \frac{\ln(5)}{2} + \ln(3) + 2 \ln(2) - 2 \ln(5) + 2\ln(3) \\ &= - \frac{5\ln(5)}{2} + 3 \ln(3) + 2 \ln(2) \end{aligned}\]