Intégration par parties-1 (Prérentrée – Maths approfondies)
Exercice 1 (🔥) : Intégrations par parties
📄 Énoncé
À l’aide d’intégrations par parties, calculer les intégrales suivantes.
\(\displaystyle \int_0^1 x\,\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle \int_1^\mathrm{e}\frac{\ln(t)}{t}\,\mathrm{d}t\)
\(\displaystyle \int_1^\mathrm{e}u^2\ln(u)\,\mathrm{d}u\)
\(\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle \int_0^\pi x^2\cos(x)\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle \int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x)\,\mathrm{d}x\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \int_0^1 x\,\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x= 1\)
\(\displaystyle \int_1^\mathrm{e}\frac{\ln(t)}{t}\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \int_1^\mathrm{e}u^2\ln(u)\,\mathrm{d}u= \frac{2\,\mathrm{e}^3+1}{9}\)
\(\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x= 2 \,\mathrm{e}^2 - 2\)
\(\displaystyle \int_0^\pi x^2\cos(x)\,\mathrm{d}x= -2\pi\)
\(\displaystyle \int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x)\,\mathrm{d}x= - \frac{\mathrm{e}^\pi +1}{2}\)
Solutions détaillées
Rappel de cours
Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([a,b]\) et si \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([a,b]\) (on dit dans ce cas que \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a,b]\)) alors : \[\int_a^b u'(t)\, v(t)\, \mathrm{d}t= \left[ u(t)\, v(t) \right]_a^b - \int_a^b u(t)\, v'(t)\,\mathrm{d}t\]
Détail des calculs
Les fonctions \(u : x\mapsto x\) et \(v: x\mapsto \mathrm{e}^x\) sont dérivables sur \([0,1]\) et on a : \[\forall x\in [0,1],\ u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v'(x) = \mathrm{e}^x\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0,1]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_0^1 x\,\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x&= \left[ x\,\mathrm{e}^x \right]_0^1 - \int_0^1 1 \times \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x\\ &= \mathrm{e}- \left[ \mathrm{e}^x \right]_0^1 \\ &= \mathrm{e}- \mathrm{e}+ 1 \\ &= 1 \end{aligned}\]
Les fonctions \(u : t\mapsto \ln(t)\) et \(v: t\mapsto\ln(t)\) sont dérivables sur \([1,\mathrm{e}]\) et on a : \[\forall t\in [1,\mathrm{e}],\ u'(t) = \frac{1}{t} \quad \text{et} \quad v'(t) = \frac{1}{t}\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([1,\mathrm{e}]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_1^\mathrm{e}\frac{\ln(t)}{t}\,\mathrm{d}t&= \left[ \ln(t)\,\ln(t) \right]_1^\mathrm{e}- \int_1^\mathrm{e}\frac{\ln(t)}{t}\,\mathrm{d}t\\ &= 1- \int_1^\mathrm{e}\frac{\ln(t)}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}\]
d’où : \[2 \int_1^\mathrm{e}\frac{\ln(t)}{t}\,\mathrm{d}t= 1\]
et donc : \[\int_1^\mathrm{e}\frac{\ln(t)}{t}\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\]
Si l’énoncé n’avait pas imposé l’intégration par parties, on aurait aussi pu remarquer que : \[\int_1^\mathrm{e}\frac{\ln(t)}{t}\,\mathrm{d}t= \int_1^\mathrm{e}\ln'(t) \,\ln(t) \,\mathrm{d}t= \left[ \frac{\left[ \ln(t) \right]^2}{2} \right]_1^\mathrm{e}\]
Les fonctions \(f :u \mapsto \frac{u^3}{3}\) et \(g: u \mapsto \ln(u)\) sont dérivables sur \([1,\mathrm{e}]\) et on a : \[\forall u \in [1,\mathrm{e}],\ f'(u) =u^2 \quad \text{et} \quad g'(u) = \frac{1}{u}\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([1,\mathrm{e}]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_1^\mathrm{e}u^2\ln(u)\,\mathrm{d}u&= \left[ \frac{u^3}{3}\,\ln(u) \right]_1^\mathrm{e}- \int_1^\mathrm{e}\frac{u^3}{3} \times \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u\\ &= \frac{\mathrm{e}^3}{3} - \int_1^\mathrm{e}\frac{u^2}{3} \,\mathrm{d}u\\ &= \frac{\mathrm{e}^3}{3} - \left[ \frac{u^3}{9} \right]_1^\mathrm{e}\\ &= \frac{\mathrm{e}^3}{3} - \frac{\mathrm{e}^3}{9} + \frac{1}{9} \\ &= \frac{2\,\mathrm{e}^3+1}{9} \end{aligned}\]
Les fonctions \(u : x\mapsto x^2\) et \(v: x\mapsto \mathrm{e}^x\) sont dérivables sur \([0,2]\) et on a : \[\forall x\in [0,2],\ u'(x) = 2x \quad \text{et} \quad v'(x) = \mathrm{e}^x\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0,2]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_0^2 x^2 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x&= \left[ x^2\,\mathrm{e}^x \right]_0^2 - \int_0^2 2x \, \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x\\ &= 4 \,\mathrm{e}^2 - 2 \int_0^2 x \, \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]
De même les fonctions \(u : x\mapsto x\) et \(v: x\mapsto \mathrm{e}^x\) sont dérivables sur \([0,2]\) et on a : \[\forall x\in [0,2],\ u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v'(x) = \mathrm{e}^x\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0,2]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_0^2 x\, \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x&= \left[ x \,\mathrm{e}^x \right]_0^2 - \int_0^2 \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x\\ &= 2\, \mathrm{e}^2 - \left[ \mathrm{e}^x \right]_0^2 \\ &= 2 \, \mathrm{e}^2 - \mathrm{e}^2+1 \\ &= \mathrm{e}^2 + 1 \end{aligned}\]
d’où : \[\int_0^2 x^2 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x= 2 \,\mathrm{e}^2 - 2\]
Les fonctions \(u : x\mapsto x^2\) et \(v: x\mapsto \sin(x)\) sont dérivables sur \([0,\pi]\) et on a : \[\forall x\in [0,\pi],\ u'(x) = 2x \quad \text{et} \quad v'(x) = \cos(x)\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0,\pi]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_0^\pi x^2\cos(x)\,\mathrm{d}x&= \left[ x^2 \sin(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi 2x \sin(x) \,\mathrm{d}x\\ &= - 2 \int_0^\pi x \sin(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]
De même les fonctions \(u : x\mapsto x\) et \(v: x\mapsto - \cos(x)\) sont dérivables sur \([0,\pi]\) et on a : \[\forall x\in [0,\pi],\ u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v'(x) = \sin(x)\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0,\pi]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_0^\pi x \sin(x) \,\mathrm{d}x&= \left[ -x \cos(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi \cos(x) \,\mathrm{d}x\\ &= \left[ -x \cos(x) \right]_0^\pi - \left[ \sin(x) \right]_0^\pi \\ &= \pi \end{aligned}\]
d’où : \[\int_0^\pi x^2\cos(x)\,\mathrm{d}x= -2\pi\]
Les fonctions \(u : x\mapsto\mathrm{e}^x\) et \(v: x\mapsto \cos(x)\) sont dérivables sur \([0,\pi]\) et on a : \[\forall x\in [0,\pi],\ u'(x) = \mathrm{e}^x \quad \text{et} \quad v'(x) = -\sin(x)\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0,\pi]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x)\,\mathrm{d}x&= \left[\mathrm{e}^x \cos(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi -\mathrm{e}^x \sin(x) \,\mathrm{d}x\\ &= - \mathrm{e}^\pi-1 + \int_0^\pi \mathrm{e}^x \sin(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]
De même les fonctions \(u : x\mapsto \mathrm{e}^x\) et \(v: x\mapsto \sin(x)\) sont dérivables sur \([0,\pi]\) et on a : \[\forall x\in [0,\pi],\ u'(x) = \mathrm{e}^x \quad \text{et} \quad v'(x) = \cos(x)\]
Ainsi \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0,\pi]\) et on obtient, par intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_0^\pi \mathrm{e}^x \sin(x) \,\mathrm{d}x&= \left[ \mathrm{e}^x \sin(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x) \,\mathrm{d}x\\ &= - \int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned}\]
d’où : \[\int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x)\,\mathrm{d}x= - \mathrm{e}^\pi-1 - \int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x) \,\mathrm{d}x\]
On en déduit : \[2 \int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x)\,\mathrm{d}x= - \mathrm{e}^\pi-1\]
puis : \[\int_0^\pi \mathrm{e}^x \cos(x)\,\mathrm{d}x= - \frac{\mathrm{e}^\pi +1}{2}\]