Dérivation-1 (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Calcul de dérivée
📄 Énoncé
Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de \(f\) sur \(I\).
\(f(x) = -2x^3+3x+1\) et \(I=\mathbb{R}\)
\(f(x) = \mathrm{e}^x -\sqrt{x}\) et \(I=\mathbb{R}_+^\ast\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{3x-1}{x+2}\) et \(I=\mathbb{R}_+\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) et \(I = \mathbb{R}_+^\ast\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x-8}\) et \(I= \left] 4,{+\infty}\right[\)
\(f(x) = \left( x^2-2x+2 \right) \mathrm{e}^x\) et \(I=\mathbb{R}\)
✅ Corrigé
\(\forall x\in\mathbb{R},\ f'(x) = -6x^2+3\)
\(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = \mathrm{e}^x - \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}_+,\ f'(x) = \frac{7}{(x+2)^2}\)
\(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x = \frac{1- \ln(x)}{x^2}\)
\(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = -\frac{ x+4}{\sqrt{x} \left( 2x-8 \right)^2}\)
\(\forall x\in\mathbb{R},\ f'(x) = x^2 \, \mathrm{e}^x\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
\(f\) est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus on a : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f'(x) = -6x^2+3\]
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme somme de fonctions qui le sont et on a : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = \mathrm{e}^x - \frac{1}{2 \sqrt{x}}\]
\(f\) est une fonction rationnelle bien définie sur \(\mathbb{R}_+\) donc elle est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\). De plus on a : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+,\ f'(x) &= \frac{3 \times (x+2) - (3x-1) \time 1}{(x+2)^2} \\ &= \frac{7}{(x+2)^2} \end{aligned}\]
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme quotient, dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle et on a : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln(x) \times 1}{x^2} \\ &= \frac{1- \ln(x)}{x^2} \end{aligned}\]
\(f\) est dérivable sur \(]4 ,{+\infty}[\) comme quotient, dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle et on a : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) &= \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \left( 2x-8 \right) - 2 \sqrt{x}}{(2x-8 )^2} \\ &= \frac{ \left( x-4 \right) - 2x}{ \sqrt{x} \left( 2x-8 \right)^2} \\ &= -\frac{ x+4}{\sqrt{x} \left( 2x-8 \right)^2} \end{aligned}\]
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions qui le sont et on a : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R},\ f'(x) &= \left( 2 x -2 \right) \mathrm{e}^x + \left( x^2-2x+2 \right) \mathrm{e}^x \\ &= x^2 \, \mathrm{e}^x \end{aligned}\]