Calcul intégral-3 (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Calcul d'intégrale
📄 Énoncé
Calculer les intégrales suivantes :
\(\displaystyle K=\int_0^1 x^3\left(x^4+2\right)^2\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle J=\int_1^2 \frac{x^2-x+1}{x^3}\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle I=\int_1^3 \frac{4 x-2}{x^2+2 x+1}\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle L=\int_{-1}^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle M=\int_1^e \frac{\ln (x)}{x}\,\mathrm{d}x\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle K=\int_0^1 x^3\left(x^4+2\right)^2\,\mathrm{d}x=\frac{19}{12}\)
\(\displaystyle J=\int_1^2 \frac{x^2-x+1}{x^3}\,\mathrm{d}x=\ln (2) -\frac{1}{8}\)
\(\displaystyle I=\int_1^3 \frac{4 x-2}{x^2+2 x+1}\,\mathrm{d}x= 2 \ln (4)-\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle L=\int_{-1}^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{7}-\sqrt{4}\)
\(\displaystyle M=\int_1^e \frac{\ln (x)}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
La fonction \(x \mapsto x^3\left(x^4+2\right)^2\) est continue sur \([0,1]\) et on a : \[\begin{aligned} K &=\int_0^1 x^3\left(x^8+4 x^4+4\right) \mathrm{d}x\\ &= \int_0^1\left(x^{11}+4 x^7+4 x^3\right) \mathrm{d}x\\ &=\left[\frac{x^{12}}{12}+\frac{x^8}{2}+x^4\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1 \\ &=\frac{19}{12} \end{aligned}\]
La fonction \(x \mapsto \frac{x^2-x+1}{x^3}\) est continue sur \([1,2]\) et on a : \[\begin{aligned} J &=\int_1^2\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right] \mathrm{d}x\\ &=\left[\ln |x|+\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}\right]_1^2 \\ &=\ln (2) +\frac{1}{2}-\frac{1}{8}-1+\frac{1}{2} \\ &=\ln( 2)-\frac{1}{8} \end{aligned}\]
On remarque que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2+2 x+1=(x+1)^2\]
Comme \(-1\) n’appartient pas à \([1,3]\), la fonction \(x \mapsto \frac{4 x-2}{x^2+2 x+1}\) est donc continue sur \([1,3]\) comme fonction rationnelle définie sur \([1,3]\). Pour trouver une primitive de cette fonction :
Comme la dérivée de la fonction \(u: x \mapsto x^2+2 x+1\) est \(x \mapsto 2 x+2\), on remarque que :
Comme il s’agit d’une fonction rationnelle, on transforme l’expression de la fonction pour se ramener à une expression du type \(\frac{u^{\prime}}{u}\) ou \(\frac{u^{\prime}}{u^n}\)
\[\begin{aligned} I &=\int_1^3 \frac{2 \left( 2 x+2 \right)-6}{x^2+2 x+1}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_1^3\left[2 \times \frac{2 x+2}{x^2+2 x+1}-6 \times \frac{1}{(x+1)^2}\right] \mathrm{d}x\\ &=\left[2 \ln \left|(x+1)^2\right|+\frac{6}{x+1}\right]_1^3 \\ &=2 \ln (16)+\frac{6}{4}-2 \ln (4)-\frac{6}{2} \\ & =2 \ln (4)-\frac{3}{2} \end{aligned}\]
La méthode utilisée ici est à maîtriser parfaitement car elle est très souvent utilisée pour trouver des primitives de fonctions rationnelles.
Comme la fonction \(x \mapsto x^2+3\) est continue sur \([-1,2]\) et prend ses valeurs dans \(\mathbb{R}_{+}^*\) et comme la fonction \(t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}^*\), la fonction \(x \mapsto \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}\) est continue sur \([-1,2]\). De plus, on reconnaît une expression du type \(\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\) : \[\begin{aligned} L &=\int_{-1}^2 \frac{2 x}{2 \sqrt{x^2+3}}\,\mathrm{d}x\\ &= \left[\sqrt{x^2+3}\right]_{-1}^2 \\ &=\sqrt{7}-\sqrt{4} \\ &=\sqrt{7}-\sqrt{4} \end{aligned}\]
La fonction \(x \mapsto \frac{\ln (x)}{x}\) est continue sur \([1, \mathrm{e}]\). De plus, comme \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est la dérivée de la fonction \(\ln\), on reconnaît une expression du type \(u^{\prime} \times u\) : \[\begin{aligned} M &=\int_1^\mathrm{e}\frac{\ln (x)}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^\mathrm{e}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}\]