Calcul intégral-2 (Prérentrée – Maths appliquées)
Exercice 1 (🔥) : Calcul d'intégrale
📄 Énoncé
Calculer les intégrales suivantes.
\(\displaystyle \int_0^1 \left( \mathrm{e}^{2x} - \frac{x^2}{x^3+1} \right) \mathrm{d}x\)
\(\displaystyle \int_1^2 \dfrac{x+1}{x^2} \, \mathrm{d}x\)
\(\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \mathrm{e}^{-2x} \right) \mathrm{d}x\)
\(\displaystyle \int_0^1 \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\, \mathrm{d}x\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \int_0^1 \left( \mathrm{e}^{2x} - \frac{x^2}{x^3+1} \right) \mathrm{d}x= \frac{\mathrm{e}^{2 } -1}{2} - \frac{\ln(2)}{3}\)
\(\displaystyle \int_1^2 \dfrac{x+1}{x^2} \, \mathrm{d}x= \ln(2) + \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \mathrm{e}^{-2x} \right) \mathrm{d}x= 2 \sqrt{2} - \frac{3}{2} - \frac{\mathrm{e}^{-2}}{2}\)
\(\displaystyle \int_0^1 \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\, \mathrm{d}x= \ln(4)\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
La fonction \(x\mapsto \mathrm{e}^{2x} - \frac{x^2}{x^3+1}\) est continue sur \([0,1]\) comme somme de fonctions qui le sont (exponentielle et rationnelle bien définie sur \([0,1]\)) et on a : \[\begin{aligned} \int_0^1 \left( \mathrm{e}^{2x} - \frac{x^2}{x^3+1} \right) \mathrm{d}x&= \int_0^1 \left( \frac{1}{2} \times 2 \, \mathrm{e}^{2x} - \frac{1}{3} \times \frac{3x^2}{x^3+1} \right) \mathrm{d}x\\ &= \left[ \frac{\mathrm{e}^{2x}}{2} - \frac{\ln(x^3+1)}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{\mathrm{e}^{2 } -1}{2} - \frac{\ln(2)}{3} \end{aligned}\]
La fonction \(x\mapsto \frac{x+1}{x^2}\) est continue sur \([1,2]\) comme fonction rationnelle bien définie sur cet intervalle et on a : \[\begin{aligned} \int_1^2 \dfrac{x+1}{x^2} \, \mathrm{d}x&= \int_1^2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) \mathrm{d}x\\ &= \left[ \ln(x) - \frac{1}{x} \right]_1^2 \\ &= \ln(2) - \frac{1}{2} - \ln(1) + 1 \\ &= \ln(2) + \frac{1}{2} \end{aligned}\]
La fonction \(x\mapsto x+1\) est continue et strictement positive sur \([0,1]\). De plus la fonction \(t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}\) est continue sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) donc, par composition et somme, la fonction \(x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \mathrm{e}^{-2x}\) est continue sur \([0,1]\). On a de plus :
\[\begin{aligned} \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \mathrm{e}^{-2x} \right) \mathrm{d}x&= \int_0^1 \left(2 \times \frac{1}{2\sqrt{x+1}} -\frac{1}{2} \times (-2 \,\mathrm{e}^{-2x} ) \right) \mathrm{d}x\\ &= \left[ 2 \sqrt{x+1} - \frac{\mathrm{e}^{-2x}}{2} \right]_0^1 \\ &= 2 \sqrt{2} - \frac{\mathrm{e}^{-2}}{2} - 2 + \frac{1}{2} \\ &= 2 \sqrt{2} - \frac{3}{2} - \frac{\mathrm{e}^{-2}}{2} \end{aligned}\]
La fonction \(x\mapsto \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\) est continue sur \([0,1]\) en tant que fonction rationnelle bien définie sur cet intervalle. De plus \(x\mapsto 3x^2+2\) est la dérivée de la fonction \(x\mapsto x^3+2x+1\) donc : \[\begin{aligned} \int_0^1 \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\, \mathrm{d}x&= \left[ \ln \left| x^3+2x+1 \right| \right]_0^1 \\ &= \ln(4) - \ln(1) \\ &= \ln(4) \end{aligned}\]