Calcul intégral-1 (Prérentrée)

1. \(\displaystyle \int_0^1 \left( x-x^2\right) \mathrm{d}x= \frac{1}{6}\)

2. \(\displaystyle \int_0^1 \left( \mathrm{e}^x - x^2\right) \mathrm{d}x= \mathrm{e}- \frac{4}{3}\)

3. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t+1}= \ln(2)\)

4. \(\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x= \frac{\ln(2)}{2}\)

Solutions détaillées

1. La fonction \(x\mapsto x-x^2\) est continue sur \([0,1]\) en tant que fonction polynôme et on a: \[\begin{aligned} \int_0^1 \left( x-x^2\right) \mathrm{d}x&= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned}\]

2. La fonction \(x\mapsto \mathrm{e}^x - x^2\) est continue sur \([0,1]\) comme somme de fonctions qui le sont et on a :

   Commentaire

   Toujours penser à justifier la continuité de l’intégrande avant de calculer l’intégrale

   \[\begin{aligned} \int_0^1 \left( \mathrm{e}^x - x^2\right) \mathrm{d}x&= \left[ \mathrm{e}^x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \mathrm{e}- \frac{1}{3} - 1 \\ &= \mathrm{e}- \frac{4}{3} \end{aligned}\]

3. La fonction \(t\mapsto \frac{1}{t+1}\) est continue sur \([0,1]\) comme fonction rationnelle bien définie sur cet intervalle et on a : \[\begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t+1} &= \left[ \ln(t+1) \right]_0^1 \\ &= \ln(2) - \ln(1) \\ &= \ln(2) \end{aligned}\]

4. La fonction \(x\mapsto \frac{x}{x^2+1}\) est continue sur \([0,1]\) comme fonction rationnelle bien définie sur cet intervalle et on a :

   \[\begin{aligned} \int_0^1 \dfrac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x&= \left[ \frac{\ln(x^2+1)}{2} \right]_0^1 \\ &= \frac{\ln(2)}{2} \end{aligned}\]

   Commentaire

   On reconnaît une expression du type \(\dfrac{u'}{u}\), à part qu’il manque un 2 au numérateur.