Intégration-2 (Prérentrée ECG1)
Exercice 1 (🔥🔥) : Étude d'une suite d’intégrales
📄 Énoncé
Dans cet exercice, \(n\) est un entier naturel non nul.
On considère la suite \((u_n\)) définie par :
\[u_n = \int_0^2 \dfrac{2t + 3}{t + 2} \, \text{e}^{\frac{t}{n}} \:\text{d}t\]
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \([0,2]\) par \(\varphi(t) = \dfrac{2t + 3}{t + 2}\).
Étudier les variations de \(\varphi\) sur \([0,2]\). En déduire que, pour tout réel \(t\) dans \([0,2]\) :
\[\dfrac{3}{2} \leqslant \varphi(t) \leqslant \dfrac{7}{4}\]
Prouver alors que : \[\dfrac{3}{2}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) \leqslant u_n \leqslant \dfrac{7}{4}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right)\]
Montrer que, si (\(u_n\)) possède une limite \(\ell\), alors \(3 \leqslant \ell \leqslant\dfrac{7}{2}\).
Trouver deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(t\) dans \([0,2]\), on a : \(\dfrac{2t+ 3}{t+ 2} = a + \dfrac{b}{t+ 2}\).
En déduire la valeur de l’intégrale \(I =\displaystyle\int_0^2 \dfrac{2t+ 3}{t+ 2}\: \text{d}t\).
Démontrer que : \(I \leqslant u_n \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}\, I\) .
Montrer que (\(u_n\)) est convergente et déterminer sa limite \(\ell\).
✅ Corrigé
\(\varphi\) est une fonction rationnelle bien définie sur \([0,2]\) (le dénominateur ne s’annule pas) donc elle est dérivable sur \([0,2]\) et on a :
\[\begin{aligned} \forall t\in [0,2],\ \varphi'(t) &= \frac{2 \left( t+2 \right) - (2t+3)}{(t+2)^2} \\ &= \frac{1}{(t+2)^2} \\ &>0 \end{aligned}\]
Commentaire
Une fonction rationnelle n’est pas un vulgaire quotient : c’est un quotient de polynômes. Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de définiton
donc :
\(\varphi\) est strictement croissante sur \([0,2]\)
On en déduit : \[\forall t\in [0,2],\ \varphi(0) \leqslant \varphi(t) \leqslant \varphi(2)\]
d’où :
\[\forall t\in [0,2],\ \dfrac{3}{2} \leqslant \varphi(t) \leqslant \dfrac{7}{4}\]
Comme la fonction exponentielle est positive sur \(\mathbb{R}\), on en déduit : \[\forall t\in [0,2],\ \dfrac{3}{2}\,\mathrm{e}^{\frac{t}{n} } \leqslant \varphi(t)\,\mathrm{e}^{\frac{t}{n} } \leqslant \dfrac{7}{4}\,\mathrm{e}^{\frac{t}{n} }\]
donc, par croissance de l’intégration, les fonctions en présence étant continues sur \([0,2]\), avec \(0 \leqslant 2\) : \[\int_0^2 \dfrac{3}{2}\,\mathrm{e}^{\frac{t}{n} }\,\mathrm{d}t\leqslant \int_0^2 \varphi(t)\,\mathrm{e}^{\frac{t}{n} } \,\mathrm{d}t\leqslant \int_0^2 \dfrac{7}{4}\,\mathrm{e}^{\frac{t}{n} } \,\mathrm{d}t\]
soit encore : \[\left[ \dfrac{3n2}\,\mathrm{e}^{\frac{t}{n} } \right]_0^2 \leqslant u_n \leqslant \left[ \dfrac{7n}{4}\,\mathrm{e}^{\frac{t}{n} } \right]_0^2\]
d’où :
\[\dfrac{3}{2}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) \leqslant u_n \leqslant \dfrac{7}{4}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right)\]
Supposons que la suite \(u\) admette une limite \(\ell\).
Commentaire
Ne pas oublier qu’une limite peut être infinie…
On peut remarquer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) = 2\times \frac{\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1}{\frac{2}{n} - 0}\]
Or on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2}{n} = 0\] et on sait, la fonction exponentielle étant dérivable en \(0\), que : \[\lim_{t\to 0} \frac{\mathrm{e}^t - 1}{t - 0 } = \exp'(0) = 1\]
donc, par composition : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1}{\frac{2}{n} - 0} = 1\]
d’où : \[\lim\limits_{n\to+\infty}n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) = 2\]
On en déduit : \[\begin{aligned} &\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{2}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) = 3 \label{Lim1 }\\ & \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{7}{4}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) = \frac{7}{2} \label{Lim2} \end{aligned}\]
Notons alors que, d’après le théorème de prolongement des inégalités et le résultat de la question précédente, la limite [Lim1 ] interdit à \(\ell\) d’être égale à \({-\infty}\) (car sinon on aurait \(3 \leqslant {-\infty}\)), tandis que la limite [Lim2] interdit à \(\ell\) d’être égale à \({+\infty}\) (car sinon on aurait \({+\infty}\leqslant \frac{7}{2}\), ce qui nous permet d’affirmer que \(\ell\) est finie et alors, en faisant tendre \(n\) vers \({+\infty}\) dans le résultat de la question précédente :
Si (\(u_n\)) possède une limite \(\ell\), alors \(3 \leqslant \ell \leqslant\dfrac{7}{2}\)
On a : \[\begin{aligned} \forall t \in [0,2],\ \frac{2t+3}{t+2} &= \frac{2 \left( t+2 \right) - 1}{t+2} \\ &= 2 - \frac{1}{t+2} \end{aligned}\] donc :
\((a,b) = (2,-1)\) convient
Notons que la fonction \(t\mapsto \frac{2t+3}{t+2}\) est continue sur \([0,2]\) donc l’intégrale \(I\) est bien définie et on a, d’après le résultat précédent : \[\begin{aligned} I &= \int_0^2 \dfrac{2t+ 3}{t+ 2}\: \text{d}t \\ &= \int_0^2 \left( 2 - \frac{1}{t+2} \right) \text{d}t \\ &= \left[ 2t - \ln\left| t+2 \right| \right]_0^2 \\ &= 4 - \ln(4) - 0 + \ln(2) \end{aligned}\]
d’où :
\[I = 4 - \ln(2)\]
La fonction exponentielle étant croissante sur \(\mathbb{R}\), on a :
Commentaire
Quand on veut encadrer une intégrale, on commence par encadrer l’intégrande
\[\begin{aligned} \forall t\in [0,2],\ 1 \leqslant \text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}} \end{aligned}\]
donc, comme \(t\mapsto \frac{2t+3}{t+2}\) est positive sur \([0,2]\) : \[\forall t\in [0,2],\ \frac{2t+3}{t+2} \leqslant \frac{2t+3}{t+2} \, \text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \frac{2t+3}{t+2} \, \text{e}^{\frac{2}{n}}\]
donc, par croissance de l’intégration, les fonctions en présence étant continues sur \([0,2]\), avec \(0 \leqslant 2\) : \[\int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} \,\mathrm{d}t\leqslant \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} \, \text{e}^{\frac{t}{n}} \,\mathrm{d}t\leqslant \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} \, \text{e}^{\frac{2}{n}} \,\mathrm{d}t\]
soit encore, par linéarité de l’intégration et par définition de \(I\) :
\[I \leqslant u_n \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}\, I\]
On a: \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2}{n} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{t\to 0 } \mathrm{e}^t = 1\] donc, par composition : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{\frac{2}{n}} = 1\]
On a ainsi : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{\frac{2}{n}}\, I = I\]
donc,d ’après le résultat de la question précédente et le théorème de l’encadrement :
La suite (\(u_n\)) est convergente et sa limite est \(\ell = I = 4-\ln(2)\)
📝 Mes notes :
Exercice 2 (🔥🔥) : Étude d'une suite d’intégrales
📄 Énoncé
Partie A - Préliminaires
Étudier le sens de variation de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[g(t) = \text{e}^t - t - 1\]
Quel est le minimum de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(\mathbb{R}\) ?
En déduire les inégalités suivantes :
Pour tout réel \(t,~\text{e}^t \geqslant t + 1 ,~\text{e}^t > t\) et \(- t \, \text{e}^{- t} > - 1\).
Pour tout réel \(t\) tel que \(t > - 1 ,~ \ln (1 + t) \leqslant t\) .
En déduire que pour tout réel \(x,~\ln \left(1 - x \, \text{e}^{-x}\right) < - x \, \text{e}^{-x}\).
Partie B - Étude d’une intégrale
Soit \(n\) un entier naturel. On pose : \(u_{n} = \displaystyle\int_{0}^n x \, \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\)
Démontrer que la suite \(u\) de terme général \(u_{n}\) est croissante.
Calculer \(u_{n}\) à l’aide d’une intégration par parties.
Déterminer la limite de la suite \(u_{n}\).
Soit \(n\) un entier naturel. On pose : \[I_{n} = - 2\displaystyle\int_{0}^n \ln (1 - x \, \text{e}^{- x} ) \text{d}x\]
Montrer que \(I_{n} \geqslant 2u_{n}\).
En admettant que la suite \(\left(I_{n}\right)\) est majorée, prouver qu’elle a une limite finie \(\ell\) puis que : \(\ell \geqslant 2\).
✅ Corrigé
Partie A - Préliminaires
La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions qui le sont et on a : \[\begin{aligned} \forall t\in\mathbb{R},\ g'(t) &= \mathrm{e}^t - 1 \end{aligned}\]
De plus \(\mathrm{e}^0 = 1\) et la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). On en déduit le tableau de variations suivant (la limite en \({+\infty}\) est obtenue en remarquant que \(\mathrm{e}^t - t = \mathrm{e}^t \left( 1 - t\,\mathrm{e}^{-t} \right)\) et en utilisant les croissances comparées, celle en \({-\infty}\) est obtenue sans indétermination :
On en déduit en particulier que :
\(g\) a un minimum sur \(\mathbb{R}\), égal à \(0\)
On a ainsi : \[\forall t\in\mathbb{R},\ e^t - (t+1) \geqslant 0\]
d’où :
\[\forall t\in\mathbb{R},\ \text{e}^t \geqslant t + 1\]
On a de plus : \[\forall t\in\mathbb{R},\ t+ 1 > t\]
donc :
\[\forall t\in\mathbb{R},\ \text{e}^t > t\]
En divisant par \(\mathrm{e}^t\) (qui est strictement positif), on obtient enfin : \[\forall t\in\mathbb{R},\ 1 > t\,\mathrm{e}^{-t}\]
d’où
\[\forall t\in\mathbb{R},\ - t \, \text{e}^{- t} > - 1\]
Rappelons que l’on a : \[\forall t\in\mathbb{R},\ \mathrm{e}^t \geqslant 1+t\]
donc en particulier : \[\forall t\in \left] -1,{+\infty}\right[,\ \mathrm{e}^t \geqslant 1+t>0\]
d’où, comme la fonction exponentielle est croissante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) :
\[\forall t\in \left] -1,{+\infty}\right[,\ \ln (1 + t) \leqslant t\]
D’après le résultat de la question 2a, on a : \[\forall x \in\mathbb{R},\ - x \, \text{e}^{- x} > - 1\]
donc, d’après le résultat de la question précédente avec \(t= - x \, \text{e}^{- x}\) :
\[\forall x\in\mathbb{R},\ \ln \left(1 - x \, \text{e}^{-x}\right) < - x \, \text{e}^{-x}\]
Partie B - Étude d’une intégrale
On a : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}- u_n = \int_{0}^{n+1} x \, \text{e}^{- x}\:\text{d}x - \int_{0}^n x \, \text{e}^{- x}\:\text{d}x\]
donc, d’après la relation de Chasles : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}- u_n &= \int_{n}^{n+1} x \, \text{e}^{- x}\:\text{d}x \end{aligned}\]
De plus la fonction \(x \mapsto x \, \text{e}^{- x}\) est continue et positive sur \([n,n+1]\) et \(n \leqslant n+1\) donc, par croissance de l’intégration :
Commentaire
Ne pas oublier les hypothèses pour appliquer la croissance de l’intégration : continuité et sens des bornes
\[\forall n \in \mathbb{N},\ \int_{n}^{n+1} x \, \text{e}^{- x}\:\text{d}x \geqslant 0\]
On a ainsi : \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}- u_n \geqslant 0\] ce qui nous permet de conclure :
On aurait aussi pu remarquer que, comme la fonction \(f: x\mapsto x\,\mathrm{e}^{-x}\) est continue sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(F : t \mapsto \displaystyle \int_0^t x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\) en est une primitive. La positivité de \(f\) implique alors que la fonction \(F\) est croissante, ce qui permet de conclure en remarquant que \(u_n = F(n)\).
La suite \(u\) est croissante.
Soit \(n \in\mathbb{N}\). Les fonctions \(u:x\mapsto x\) et \(v:x\mapsto -\mathrm{e}^{-x}\) sont dérivables sur \([0,n]\) et on a : \[\forall x\in [0,n],\ u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v'(x) = \mathrm{e}^{-x}\]
Les fonctions \(u'\) et \(v'\) sont donc continues sur \([0,n]\) et on obtient alors, par intégration par parties :
\[\begin{aligned} u_n &= \left[ -x\,\mathrm{e}^{-x} \right]_0^n - \int_0^n -\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ &= -n\,\mathrm{e}^{-n} - \left[ \mathrm{e}^{-x} \right]_0^n \\ &= -n\,\mathrm{e}^{-n} - \mathrm{e}^{-n} + 1 \end{aligned}\]
Commentaire
\(\int uv' = [uv] - \int u'v\)
d’où :
\[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = 1 - \left( n+1 \right) \mathrm{e}^{-n}\]
On sait que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-n} = 0\] et que, par croissances comparées : \[\lim\limits_{n\to+\infty}n \,\mathrm{e}^{-n} = 0\]
donc, par somme :
\[\lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 1\]
D’après le résultat de la question 3, on sait que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \ln \left(1 - x \, \text{e}^{-x}\right) \leqslant - x \, \text{e}^{-x}\]
donc on a, par croissance de l’intégration, les fonctions en présence étant continues sur \([0,n]\), avec \(0 \leqslant n\) : \[\int_0^n \ln \left(1 - x \, \text{e}^{-x}\right) \mathrm{d}x\leqslant \int_0^n - x \, \text{e}^{-x} \,\mathrm{d}x\]
d’où, en multipliant par \(-2\) (qui est évidemment négatif, donc change le sens de l’inégalité) :
\[I_{n} \geqslant 2u_{n}\]
La fonction \(h: x\mapsto -2 \ln \left(1 - x \, \text{e}^{-x}\right)\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme composée de la fonction \(x\mapsto - x \, \text{e}^{-x}\), continue sur \(\mathbb{R}\) (comme produit de fonctions qui le sont) et à valeurs dans \(]-1,{+\infty}[\) (d’après la question 3), par la fonction \(\ln\), continue sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). La fonction \(h\) admet donc une primitive \(H\) et on a : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R},\ H'(x) &= -2 \ln \left(1 - x \, \text{e}^{-x}\right) \end{aligned}\]
De plus on a : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+,\ 1 - x \, \text{e}^{-x} \leqslant 1 \end{aligned}\]
donc : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+,\ \ln \left(1 - x \, \text{e}^{-x}\right) \leqslant 0 \end{aligned}\] d’où : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+,\ H'(x) \geqslant 0 \end{aligned}\]
Ainsi \(H\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\) donc : \[\forall n \in \mathbb{N},\ H(n) \leqslant H(n+1)\] c’est-à-dire : \[I_{n} \leqslant I_{n+1}\] donc la suite \((I_n)\) est croissante. Comme on a admis qu’elle est majorée, on en déduit, d’après le théorème de la limite monotone :
La suite \(\left(I_{n}\right)\) a une limite finie \(\ell\).
On en conclut alors, en faisant tendre \(n\) vers \({+\infty}\) dans le résultat de la question précédente :
\[\ell \geqslant 2\]