Études de suites-1 (Prérentrée ECG1)

1. On a : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ u_n=\frac{n^2+2 n}{n^2+2 n+1}\]

   Or on a par ailleurs : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, 0<n^2+2 n<n^2+2 n+1\] d’où :

   \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ 0<u_n<1\]

   Le fait que \(u_n\) est strictement positif étant assez immédiat, on pouvait aussi prouver l’inégalité \(u_n<1\) en calculant et simplifiant \(1-u_n\) : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ 1-u_n &= 1- \frac{n \left( n+2 \right)}{(n+1)^2} \\ &= \frac{(n+1)^2 - n \left( n+2 \right)}{(n+1)^2} \\ &= \frac{1}{(n+1)^2} \\ &>0 \end{aligned}\]

2. • Pour simplifier, les calculs on peut remarquer que : \[\begin{aligned} \label{fSimpl} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^*, \ f(x) &=\frac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2} \nonumber \\ &=1-\frac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}\]

     \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^*\) comme fonction rationnelle définie sur cet intervalle et : \[\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R}_{+}^*, \ f^{\prime}(x) &=\frac{2}{(x+1)^3} . \\ &>0 \end{aligned}\]

     On peut donc conclure :

     \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^*\)

   • On a : \[\label{uSimpl} \forall n \in \mathbb{N}, \ u_n=f(n)\]

     On déduit donc du résultat précédent que la suite \(u\) est strictement croissante. Comme elle est majorée (par \(1\) d’après la question 1a), on peut donc en déduire, d’après le théorème de la limite monotone :

     \(u\) est strictement croissante et convergente

3. D’après [uSimpl] et [fSimpl], on a : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ u_n=1- \frac{1}{(n+1)^2}\]

   Or on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)^2 = {+\infty}\quad \text{et} \quad \lim_{x\to {+\infty}} \frac{1}{x} = 0\] donc : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{(n+1)^2} = 0\] d’où :

   \[\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=1\]

1. Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on note \(\mathcal H(n)\) la proposition \(\displaystyle v_n=\frac{n+2}{2 \left( n+1 \right)}\) .

   • Pour \(n=1\). Par définition, on a : \[v_1=u_1=\frac{1 \times 3}{(1+1)^2}=\frac{1+2}{2 \left( 1+1 \right)}\]

     Ainsi, \(\mathcal H(1)\) est vraie.

   • Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Supposons que \(\mathcal H(n)\) soit vraie. Par définition, on a : \[\begin{aligned} v_{n+1} &=\prod_{k=1}^{n+1} u_k \\ &=v_n \times u_{n+1} \end{aligned}\]

     D’après \(\mathcal H(n)\), on en déduit : \[\begin{aligned} v_{n+1} &=\frac{(n+2)}{2 \left( n+1 \right)} \times \frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)(n+2)} \\ &=\frac{n+3}{2 \left( n+2 \right)} \end{aligned}\]

     Ainsi : \(\mathcal H(n) \Rightarrow \mathcal H(n+1)\).

   • On peut finalement conclure :

   \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ v_n=\frac{n+2}{2 \left( n+1 \right)}\]

2. D’après le résultat précédent, on obtient, en factorisant le terme dominant au numérateur et au dénominateur : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^*, \ v_n &=\frac{n \left(1+\frac{2}{n}\right)}{n\left(2+\frac{2}{n}\right)} \\ &=\frac{1+\frac{2}{n}}{2+\frac{2}{n}} \end{aligned}\]

   Or on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right) = 1 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left(2+\frac{2}{n}\right) = 2 \neq 0\]

   donc, par quotient :

   \[\lim _{n \rightarrow+\infty} v_n=\frac{1}{2}\]

1. D’après les résultats des questions 1a et 1b, on a : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ 0<u_n<u_{n+1}<1\]

   donc, comme la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^*\) : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \ln (u_n)<\ln (u_{n+1})<\ln (1)\]

   c’est-à-dire : \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \ w_n<w_{n+1}<0\]

   ce qui nous permet de conclure :

   La suite \(w\) est strictement croissante et négative

2. Comme la suite \(u\) converge vers 1 et comme la fonction \(\ln\) est continue en \(1\), on a :

   \[\lim _{n \rightarrow+\infty} w_n= \ln(1) = 0\]

• La fonction \(f: x \mapsto \frac{5 x-1}{x+3}=5-\frac{16}{x+3}\) est dérivable sur \([1,2]\) comme fonction rationnelle définie sur cet intervalle et on a :

  \[\begin{aligned} \forall x \in[1,2], \ f^{\prime}(x)&=\frac{16}{(x+3)^2} \\ &>0 \end{aligned}\]

  Commentaire

  Quand on veut encadrer une fonction simple, il est souvent efficace d’étudier ses variations

  La fonction \(f\) est donc croissante sur \([1,2]\). Comme \(f(1)=1\) et \(f(2)=\frac{9}{5}\), on a donc : \[\forall x\in [1,2],\ 1 \leqslant f(x) \leqslant \frac{9}{5} \leqslant 2\] d’où :

  \[\forall x \in[1,2], \ 1 \leqslant \frac{5 x-1}{x+3} \leqslant 2\]

• Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), la proposition \(\mathcal P(n )\) : \(u_n\) existe et appartient à \([1,2]\) est vraie.

  • Pour \(n=0\). Par définition, \(u_0=2\) donc \(\mathcal P(0)\) est vraie.

  • Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal P(n)\) soit vraie. Comme \(u_n\) existe et appartient à \([1,2]\), le résultat précédent nous permet de dire que \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\) existe et appartient également à \([1,2]\).

    Ainsi : \(\mathcal P(n) \Rightarrow \mathcal P(n+1)\).

  • Ainsi, pour tout entier naturel \(n, P(n)\) est vraie et donc :

  La suite \(u\) est bien définie

On a : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}-u_n & =\frac{5 u_n-1}{u_n+3}-u_n \\ & =\frac{-u_n{ }^2+2 u_n-1}{u_n+3} \\ &=-\frac{\left(u_n-1\right)^2}{u_n+3} \\ &\leqslant 0 \end{aligned}\]

d’où :

Comme la suite \(u\) est décroissante et bornée par 1 et 2 (cf. question 1), le théorème de la limite monotone assure qu’elle converge vers une limite \(\ell\) comprise entre 1 et 2.

De plus, on a : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=f(u_n)\]

Comme \(f\) est continue sur \([1,2]\), on a donc : \(\ell=f(\ell)\). De plus, on a : \[\begin{aligned} \ell=f(\ell) & \Leftrightarrow \ell=\frac{5 \ell-1}{\ell+3} \\ &\Leftrightarrow \ell^2+3 \ell=5 \ell-1 \\ &\Leftrightarrow \ell^2-2 \ell+1=0 \\ & \Leftrightarrow(\ell-1)^2=0 \\ &\Leftrightarrow \ell=1 \end{aligned}\]

ce qui nous permet de conclure :

On a : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}-u_n &=\frac{1+u_n{ }^2}{2}-u_n \\ &=\frac{u_n{ }^2-2 u_n+1}{2} \\ &=\frac{\left(u_n-1\right)^2}{2} \\ &\geqslant 0 \end{aligned}\]

On peut donc conclure :

Supposons que la suite \(u\) converge vers une limite \(\ell\). Comme la fonction \(x \mapsto \frac{1+x^2}{2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\), on obtient alors, en faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\) dans la relation définissant la suite : \[\ell=\frac{1+\ell^2}{2}\]

Or on a, pour tout réel \(x\) : \[\begin{aligned} x= \frac{1+x^2}{2} &\Leftrightarrow 2x=1+x^2 \\ &\Leftrightarrow x^2-2x+1 = 0 \\ &\Leftrightarrow (x-1)^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow x=1 \end{aligned}\]

Ainsi, si la suite \(u\) converge, sa limite est égale à \(1\). De plus elle est croissante donc si elle a une limite infinie, celle-ci est nécessairement égaler à \({+\infty}\) donc :

D’après le théorème de la limite monotone, comme la suite \(u\) est croissante, elle a une limite \(\ell\), finie ou infinie. De plus, cette limite est finie si, et seulement si, la suite \(u\) est majorée.

En outre, la suite \(u\) étant croissante, si elle converge vers \(\ell\), elle est nécessairement majorée par \(\ell\). Deux cas se présentent donc :

• si \(u_0>1\). Dans ce cas, la suite \(u\) n’est pas majorée par 1 (car elle est croissante), donc ne peut pas converger vers 1. D’après le résultat de la question précédente, elle ne peut donc avoir de limite finie et donc : \(\ell=+\infty\).

• si \(u_0 \in[0,1]\). Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : \(0 \leqslant u_n \leqslant 1\) est vraie.

  • Pour \(n=0\). Par hypothèse, \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

  • Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie. On a alors, comme la fonction \(t\mapsto t^2\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\) : \[0 \leqslant u_n^2 \leqslant 1\] donc : \[\frac{1+0}{2}\leqslant \frac{1+u_n{ }^2}{2} \leqslant \frac{1+1}{2}\] d’où : \[0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\] Ainsi \(\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)\).

  • Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a bien : \(0 \leqslant u_n \leqslant 1\).

  Dans ce cas, la suite \(u\) est donc croissante et majorée, donc elle converge et, d’après la question précédente, sa limite ne peut être que 1.

On peut finalement conclure :