Intégration par parties-3 (Prérentrée ECG – Maths appliquées)
Exercice 1 (🔥) : Intégrations par parties
📄 Énoncé
À l’aide d’intégrations par parties, calculer les intégrales suivantes :
\(\displaystyle I=\int_0^1 x^2 \, \mathrm{e}^{2 x+1}\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle K=\int_1^e x^3 \ln (x)\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle L=\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{2 x+3}}\,\mathrm{d}x\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle I=\int_0^1 x^2 \, \mathrm{e}^{2 x+1}\,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{e}^3-\mathrm{e}}{4}\)
\(\displaystyle K=\int_1^e x^3 \ln (x)\,\mathrm{d}x=\frac{3 \,\mathrm{e}^4+1}{16}\)
\(\displaystyle J=\int_0^\pi \sin (3 x) \, \mathrm{e}^{2 x}\,\mathrm{d}x=\frac{3\left(\mathrm{e}^{2 \pi}+1\right)}{13}\)
\(\displaystyle L=\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{2 x+3}}\,\mathrm{d}x=-\frac{\sqrt{7}}{3}+\sqrt{3}\)
Solutions détaillées
On pose : \[\forall x \in[0,1], \ u(x)=x^2 \quad \text{et} \quad v(x)=\frac{\\e^{2 x+1}}{2}\]
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal C^1\) sur \([0,1]\) et on a : \[\forall x \in[0,1], \ u^{\prime}(x)=2 x \quad \text{et} \quad v^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{2 x+1}\]
Commentaire
On dit qu’une fonction \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur un intervalle \(I\) si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si sa dérivée est continue sur cet intervalle
Par intégration par parties, on en déduit :
\[\begin{aligned} I &=\left[x^2 \, \frac{\mathrm{e}^{2 x+1}}{2}\right]_0^1-\int_0^1 2 x \, \frac{\mathrm{e}^{2 x+1}}{2}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\mathrm{e}^3}{2}-\int_0^1 x \mathrm{e}^{2 x+1}\,\mathrm{d}x \end{aligned}\]
Comme les fonctions \(x \mapsto x\) et \(x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{2 x+1}}{2}\) sont de classe \(\mathcal C^1\) sur \([0,1]\), on obtient alors, à l’aide d’une seconde intégration par parties : \[\begin{aligned} I &=\frac{e^3}{2}-\left(\left[x \, \frac{\mathrm{e}^{2 x+1}}{2}\right]_0^1-\int_0^1 1 \times \frac{\mathrm{e}^{2 x+1}}{2}\,\mathrm{d}x\right) \\ &=\frac{e^3}{2}-\left[x \, \frac{\mathrm{e}^{2 x+1}}{2}\right]_0^1+\left[\frac{\mathrm{e}^{2 x+1}}{4}\right]_0^1 \\ &=\frac{\mathrm{e}^3}{2}-\frac{\mathrm{e}^3}{2}+\frac{\mathrm{e}^3}{4}-\frac{\mathrm{e}}{4} \\ &=\frac{\mathrm{e}^3-\mathrm{e}}{4} \end{aligned}\]
Méthode
Penser que, quand on veut effectuer une intégration par parties sur une intégrale, on dérive en priorité (dans cet ordre) : la fonction Ln, la fonction Polynôme, la fonction Exponentielle, la fonction Trigonométrique et on intègre l’autre fonction (règle LPET).
Si on souhaite calculer une intégrale par intégration par parties et si la fonction dérivée est une fonction polynôme de degré \(n\), on sera souvent amené à effectuer \(n\) intégrations par parties.
On pose : \[\forall x \in[1, \mathrm{e}], \ u(x)=\ln (x) \quad \text{et} \quad v(x)=\frac{x^4}{4}\]
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal C^1\) sur \([1, \mathrm{e}]\) et on a : \[\forall x \in[1, \mathrm{e}], \ u^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \quad \text{et} \quad v^{\prime}(x)=x^3\]
Par intégration par parties, on en déduit : \[\begin{aligned} K &=\left[\frac{x^4}{4} \ln (x)\right]_1^\mathrm{e}-\int_1^\mathrm{e}\frac{x^4}{4} \times \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\mathrm{e}^4}{4}-\int_1^\mathrm{e}\frac{x^3}{4}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\mathrm{e}^4}{4}-\left[\frac{x^4}{16}\right]_1^\mathrm{e}\\ &=\frac{\mathrm{e}^4}{4}-\frac{\mathrm{e}^4}{16}+\frac{1}{16} \\ &=\frac{3 \,\mathrm{e}^4+1}{16} \end{aligned}\]
On pose : \[\forall x \in[0,2], \ u(x)=x \quad \text{et} \quad v(x)=\sqrt{2 x+3}\]
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal C^1\) sur \([0,2]\) et on a : \[\forall x \in[0,2], \ u^{\prime}(x)=1 \quad \text{et} \quad v^{\prime}(x)=\frac{2}{2 \sqrt{2 x+3}}=\frac{1}{\sqrt{2 x+3}}\]
Par intégration par parties, on en déduit : \[\begin{aligned} L &=[x \sqrt{2 x+3}]_0^2-\int_0^2 \sqrt{2 x+3}\,\mathrm{d}x\\ &=2 \sqrt{7}-\frac{1}{2} \int_0^2 2 \left(2 x+3 \right)^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{d}x\\ &=2 \sqrt{7}-\frac{1}{2}\left[\frac{(2 x+3)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_0^2 \\ &=2 \sqrt{7}-\frac{1}{3} 7^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3} 3^{\frac{3}{2}} \\ &=-\frac{\sqrt{7}}{3}+\sqrt{3} \end{aligned}\]
Si l’énoncé n’avait pas imposé de procéder par intégration par parties, on aurait également pu modifier la forme de l’intégrande pour intégrer une somme de fonctions simples : \[\forall x \in[0,2], \ \frac{x}{\sqrt{2 x+3}}=\frac{2 x+3-3}{2 \sqrt{2 x+3}}= \frac{ \sqrt{2 x+3}}{2} - \frac{ 3}{2 \sqrt{2 x+3}}\]