Dérivation-2 (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Calcul de dérivée
📄 Énoncé
Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de \(f\) sur \(I\).
\(f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x+1}\) et \(I=\mathbb{R}_+\)
\(f(x) =\dfrac{1-2x^2}{x}\) et \(I=\mathbb{R}_+^\ast\)
\(\displaystyle f(x) =\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\) et \(I= \left] 1,{+\infty}\right[\)
\(\displaystyle f(x) = \ln\! \left( \frac{2-x}{2+x} \right)\) et \(I = \left] -2,2\right[\)
\(\displaystyle f(x) = \exp\! \left( x^2 + \frac{1}{x} \right)\) et \(I= \mathbb{R}_+^\ast\)
\(f(x) = \ln \! \left( \mathrm{e}^x + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)\) et \(I=\mathbb{R}_+^\ast\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}_+,\ f'(x) = \frac{x\,\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\)
\(f(x) =\dfrac{1-2x^2}{x}\) et \(I=\mathbb{R}_+^\ast\)
\(\displaystyle\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\)
\(\displaystyle \forall x \in \left] -2,2 \right[,\ f'(x) = - \frac{4}{4-x^2}\)
\(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) =\left( \frac{2x^2 -1}{x} \right) \exp\! \left( x^2 + \frac{1}{x} \right)\)
\(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = \frac{2x \sqrt{x} \,\mathrm{e}^x -1}{2x\sqrt{x}\, +2x}\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\) comme quotient, dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle, de fonctions qui le sont et on a: \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+,\ f'(x) &= \frac{\mathrm{e}^x \times (x+1) - \mathrm{e}^x \times 1}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x\,\mathrm{e}^x}{(x+1)^2} \end{aligned}\]
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme fonction rationnelle bien définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). De plus on a : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x) = \frac{1}{x} - 2x\]
Commentaire
Il est parfois intéressant de simplifier la fonction avant de dériver pour aller plus vite
On en déduit : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = - \frac{1}{x^2} - 2 = - \frac{1+2x^2}{x^2}\]
La fonction \(u : x\mapsto \frac{x+1}{x-1}\) est dérivable sur \(\left] 1,{+\infty}\right[\) en tant que fonction rationnelle bien définie sur cet intervalle. De plus elle prend ses valeurs dans \(\mathbb{R}_+^\ast\) et la fonction \(t\mapsto \sqrt{t}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). Par composition, la fonction \(f\) est donc dérivable sur \(\left] 1,{+\infty}\right[\).
De plus on a : \[\begin{aligned} \forall x\in \left] 1,{+\infty}\right[,\ u(x) &= \frac{x-1+2}{x-1} \\ &= 1 + \frac{2}{x-1} \end{aligned}\]
donc : \[\begin{aligned} \forall x\in \left] 1,{+\infty}\right[,\ u'(x) &= - \frac{2}{(x-1)^2} \end{aligned}\]
d’où : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) &= \frac{ - \frac{2}{(x-1)^2}}{ 2 \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}} \\ &= -\frac{1}{(x-1)^2} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \end{aligned}\]
\((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
Les fonctions \(x\mapsto 2-x\) et \(x\mapsto 2+x\) sont strictement positives sur \(]-2,2[\) donc \(f\) est bien définie et on a : \[\forall x\in \left] -2,2\right[,\ f(x) = \ln(2-x) - \ln(2+x)\]
De plus les fonctions \(x\mapsto 2-x\) et \(x\mapsto 2+x\) sont dérivables sur \(]-2,2[\), à valeurs dans \(\mathbb{R}_+^\ast\), et la fonction \(\ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), donc, par composition et somme, \(f\) est dérivable sur \(]-2,2[\). De plus on a: \[\begin{aligned} \forall x \in \left] -2,2 \right[,\ f'(x) &= - \frac{1}{2-x} - \frac{1}{2+x} \\ &= - \frac{(2+x)+(2-x)}{(2-x)(2+x)} \\ &= - \frac{4}{4-x^2} \end{aligned}\]
La fonction \(x\mapsto x^2+ \frac{1}{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme somme de fonctions qui le sont. De plus la fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) donc, par composition, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). De plus on a :
\[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) &=\left( 2x - \frac{1}{x} \right) \exp\! \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) \\ &=\left( \frac{2x^2 -1}{x} \right) \exp\! \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) \end{aligned}\]
Commentaire
\((\mathrm{e}^u)' = u'\,\mathrm{e}^u\)
La fonction \(u: x\mapsto \mathrm{e}^x + \frac{1}{\sqrt{x}}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) comme somme et quotient, dont le dénominateur ne s’annule pas, de fonctions qui le sont. De plus elle prend ses valeurs dans \(\mathbb{R}_+^\ast\) et \(\ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) donc, par composition, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
On a par ailleurs : \[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ u(x) &= \mathrm{e}^x + x^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\]
donc :
\[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ u'(x) &= \mathrm{e}^x - \frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}-1} \\ &= \mathrm{e}^x - \frac{1}{2}\,x^{-\frac{3}{2}} \\ &= \mathrm{e}^x - \frac{1}{2x \sqrt{x}} \end{aligned}\]
\((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\)
On a alors :
\[\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) &= \frac{ \mathrm{e}^x -\frac{1}{2x \sqrt{x}} }{ \mathrm{e}^x + \frac{1}{\sqrt{x}} } \\ &= \frac{2x \sqrt{x} \,\mathrm{e}^x -1}{2x\sqrt{x}\, +2x} \end{aligned}\]
\((\ln(u))' = \frac{u'}{u}\)