Limites de suites-2 (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Calcul de limite
📄 Énoncé
Calculer la limite de la suite \(u\) dans chacun des cas suivants :
\(\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \displaystyle u_n = \frac{\mathrm{e}^n}{1+\frac{1}{n}}\)
\(\forall n \in \mathbb{N},\ \displaystyle u_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\)
\(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n}\)
\(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\)
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n = \mathrm{e}^{-n}+ \frac{\ln(n)}{n}\)
\(\displaystyle \forall n \geqslant 2,\ u_n = \mathrm{e}^n - \frac{n}{\ln(n)}\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^n}{1+\frac{1}{n}} = {+\infty}\)
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0\)
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n} \right) = {+\infty}\)
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) = 0\)
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \mathrm{e}^{-n}+ \frac{\ln(n)}{n} \right) = 0\)
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \mathrm{e}^n - \frac{n}{\ln(n)} \right) = {+\infty}\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
On a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^n = {+\infty}\quad \text{et} \quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left( 1+ \frac{1}{n} \right) = 1\]
donc, par quotient : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^n}{1+\frac{1}{n}} = {+\infty}\]
On a : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} &= \frac{ \sqrt{n} \left[ \sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1 \right]}{\sqrt{n} \left[ \sqrt{1+ \frac{1}{n}} + 1 \right]} \\ &= \frac{ \sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1 }{ \sqrt{1+ \frac{1}{n}} + 1 } \end{aligned}\]
De plus on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left( 1+ \frac{1}{n} \right) = 1\]
donc, comme la fonction \(t\mapsto \sqrt{t}\) est continue en \(1\) : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}} = 1\]
d’où : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left[ \sqrt{1+\frac{1}{n}} -1 \right] = 0 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left[ \sqrt{1+\frac{1}{n}} +1 \right] = 2 \neq 0\]
donc, par quotient : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0\]
On a : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N},\ u_n &= \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n} \\ &= n \sqrt{1+ \frac{1}{n^2}} - \sqrt{n} \\ &= n \left[ \sqrt{1+ \frac{1}{n^2}} - \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \end{aligned}\]
Or on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left[ 1+ \frac{1}{n^2} \right] = 1\]
donc, la fonction \(t\mapsto \sqrt{t}\) étant continue en \(1\) : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{1+ \frac{1}{n^2}} = 1\]
On sait par ailleurs que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0\]
donc on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left[ \sqrt{1+ \frac{1}{n^2}} - \frac{1}{\sqrt{n}} \right] = 1\]
et ainsi, par produit : \[\lim\limits_{n\to+\infty}( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n} ) = {+\infty}\]
On a : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N},\ u_n &= \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \\ &= \frac{( \sqrt{n+1} - \sqrt{n})( \sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{( \sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \\ &= \frac{1}{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \end{aligned}\]
Une forme indéterminée avec une différence de racines : on peut penser à multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
Or on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} ) = {+\infty}\quad \text{et} \quad \lim_{x\to {+\infty}} \frac{1}{x} = 0\]
d’où, par quotient :
\[\lim\limits_{n\to+\infty}( \sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = 0\]
On a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-n} = 0\]
et, par croissances comparées : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln(n)}{n} = 0\]
donc, par somme : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left[ \mathrm{e}^{-n}+ \frac{\ln(n)}{n} \right] = 0\]
On a : \[\begin{aligned} \forall n \geqslant 2,\ \mathrm{e}^n - \frac{n}{\ln(n)} &= \mathrm{e}^n \left[ 1- \frac{n}{\mathrm{e}^n\ln(n)} \right] \\ &= \mathrm{e}^n \left[ 1- \frac{n}{\mathrm{e}^n} \times \frac{1}{\ln(n)} \right] \end{aligned}\]
Commentaire
Une forme indéterminée avec une somme, donc on factorise le terme prépondérant.
De plus on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln(n)} = 0\] et, par croissances comparées : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n}{\mathrm{e}^n} = 0\]
donc, par produit et somme : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left[ 1- \frac{n}{\mathrm{e}^n} \times \frac{1}{\ln(n)} \right] = 1\]
Or on a de plus : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^n = {+\infty}\]
d’où, par produit : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left[ \mathrm{e}^n - \frac{n}{\ln(n)} \right] = {+\infty}\]