Limites de suites-1 (Prérentrée)
Exercice 1 (🔥) : Calcul de limite
📄 Énoncé
Calculer la limite de la suite \(u\) dans chacun des cas suivants :
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n = \frac{n+1}{n}\)
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n = \frac{3}{n+2}\)
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n = \frac{3-n}{n^2+1}\)
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n = \frac{n^2+2n+1}{3+n}\)
\(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = \mathrm{e}^{-n} +n\)
\(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = n^2 + \ln(n+1)\)
✅ Corrigé
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n} = 1\)
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{3}{n+2} = 0\)
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{3-n}{n^2+1} = 0\)
\(\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^2+2n+1}{3+n} = {+\infty}\)
\(\lim\limits_{n\to+\infty}(\mathrm{e}^{-n} +n ) = {+\infty}\)
\(\lim\limits_{n\to+\infty}(n^2 + \ln(n+1)) = {+\infty}\)
Solutions détaillées
Détail des calculs
On a : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n &= \frac{n+1}{n} \\ &= 1+ \frac{1}{n} \end{aligned}\] De plus on sait que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n} = 0\]
donc on a, par somme : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n} = 1\]
On a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}(n+2)= {+\infty}\quad \text{et} \quad \lim_{x\to {+\infty}} \frac{3}{x} = 0\]
donc, par composition : \[\lim\limits_{n\to+\infty}u_n = \frac{3}{n+2}\]
On a : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ u_n &= \frac{3-n}{n^2+1} \\ &= \frac{ n \left( \frac{3}{n} -1 \right) }{n^2 \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)} \\ &= \frac{ \frac{3}{n} -1 }{ n \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) } \end{aligned}\]
Il s’agit d’une forme indéterminée du type \(\frac{\infty}{\infty}\) donc on factorise le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur.
De plus on a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{3}{n} = \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2} = 0\]
donc, sans indétermination : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left( \frac{3}{n} -1 \right) = -1 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{n\to+\infty}n \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) = {+\infty}\]
d’où, par quotient : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{3-n}{n^2+1} = 0\]
On a de même : \[\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \frac{n^2+2n+1}{3+n} &= \frac{n^2 \left( 1+ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^2} \right)}{n \left( \frac{3}{n} + 1 \right)} \\ &= \frac{n \left( 1+ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^2} \right)}{ \frac{3}{n} + 1 } \end{aligned}\]
De plus on a, sans indétermination : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\left( 1+ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^2} \right) = 1 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \frac{3}{n} + 1 \right) = 1\]
donc, par produit et quotient, sans indétermination : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^2+2n+1}{3+n} = {+\infty}\]
On a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-n} = 0 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{n\to+\infty}n = {+\infty}\] donc, par somme : \[\lim\limits_{n\to+\infty}(\mathrm{e}^{-n} +n ) = {+\infty}\]
On a : \[\lim\limits_{n\to+\infty}n^2 = {+\infty}\quad \text{et} \quad \lim\limits_{n\to+\infty}\ln(n+1) = {+\infty}\] donc, par somme : \[\lim\limits_{n\to+\infty}( n^2 + \ln(n+1) ) = {+\infty}\]